數(shù)學(xué)建模課程作業(yè)

論文題目：

對商人過河問題的研究

指導(dǎo)教師：黃光輝

小組成員：黃志宇(20156260)車輛工程04班

牛凱春(20151927)電氣工程05

班

文逸楚(20150382)工商管理

02

班

一、問題重述

3名商人帶3名隨從乘一條小船過河，小船每次只能承載至多兩人。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。乘船渡河的方案由商人決定，商人們?nèi)绾尾拍馨踩珊幽?#xff1f;

二、問題分析

本題針對商人們能否安全過河問題，需要選擇一種合理的過河方案。對該問題可視為一個(gè)多步?jīng)Q策模型，通過對每一次過河的方案的篩選優(yōu)化，最終得到商人們?nèi)堪踩^到河對岸的最優(yōu)決策方案。對于每一次的過河過程都看成一個(gè)隨機(jī)決策狀態(tài)量，商人們能夠安全到達(dá)彼岸或此岸我們可以看成目標(biāo)決策允許的狀態(tài)量，通過對允許的狀態(tài)量的層層篩選，從而得到過河的目標(biāo)。

三、模型假設(shè)

1. 過河途中不會(huì)出現(xiàn)不可抗力的自然因素。

2. 當(dāng)隨從人數(shù)大于商人數(shù)時(shí)，隨從們不會(huì)改變殺人的計(jì)劃。

3．船的質(zhì)量很好，在多次滿載的情況下也能正常運(yùn)作。

4. 隨從會(huì)聽從商人的調(diào)度，所有人都到達(dá)河對岸。

四、符號(hào)說明第k 次渡河前此岸的商人數(shù)

第k 次渡河前此岸的隨從數(shù)

過程的狀態(tài)向量

允許狀態(tài)集合

第k 次渡船上的商人數(shù)

第k 次渡船上的隨從數(shù)

決策向量

允許決策集合

五、模型建立

本題為多步?jīng)Q策模型，每一次過河都是狀態(tài)量的轉(zhuǎn)移過程。

用二維向量表示過程的狀態(tài)，其中分別表示對應(yīng)時(shí)刻此岸的商人，仆人數(shù)以及船的行進(jìn)方向，其中則允許狀態(tài)集合:

=

又將二維向量定義為決策，則允許的決策合集為:

因?yàn)閗 為奇數(shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸，k 為偶數(shù)時(shí)船從彼岸駛向此岸，所以狀態(tài)隨決策的變化規(guī)律是

該式稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。

求決策，使, 并按照轉(zhuǎn)移律，由經(jīng)過有限步n 到達(dá)狀態(tài)

六、模型求解

本模型使用MATLAB 軟件編程，通過窮舉法獲得決策方案如下(完整matlab 程序詳見附錄):

初始狀態(tài)：

X0=

3

狀態(tài)為:

S =

3

3

3

3

1

2

決策為:

D =

0可用圖片表示為：3y [**************]1s n +12

2

1

2

[1**********]

七、模型推廣

該商人和隨從過河模型可以完美解決此類商人過河的決策問題，并且該模型還可推廣至解決m 個(gè)商人和n 個(gè)隨從過河，以及小船的最大載重人數(shù)改變時(shí)的問題，只需適當(dāng)?shù)馗淖兿嚓P(guān)的語句即可輕松實(shí)現(xiàn)模型的轉(zhuǎn)換。

如當(dāng)商人數(shù)和隨從數(shù)均為4，小船最大載重人數(shù)為2時(shí)，只需將程序的參數(shù)修改為m=4,n=4,h=2即可。

若需求更多人數(shù)，則推廣過程只需要將其中的(x,y)(限定范圍)改成相對應(yīng)的情況即可。

例如，商人基于仆人數(shù)都為4時(shí)允許狀態(tài)集合，S={(x, y)|x=0,y=0,1,2,3,4;x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}。由程序結(jié)果可得該問題無解。

八、模型評價(jià)

1. 本文通過matlab 編程，運(yùn)用窮舉法找出解決方案，并且程序可推廣至m 個(gè)商人n 個(gè)隨從的問題，具有實(shí)用性。

2. 本文存在的不足是程序只能求解出一種解決方案，無法列出所有解決方法。

附錄

matlab 源程序

clear all

%n 為商人數(shù)，m為仆人數(shù)，h為每次過河的最多人數(shù)%n=3;m=3;h=2;%初始狀態(tài)及數(shù)據(jù)

m0=0;n0=0;

tic

LS=0;%允許的狀態(tài)集合S 與個(gè)數(shù)LS

LD=0;%允許的決策集合D 與個(gè)數(shù)LD

for i=0:n

for j=0:m

if i>=j&n-i>=m-j|i==n|i==0

LS=LS+1;S(LS,:)=[ij];

end

if i+j>0&i+j=j|i==0)

LD=LD+1;D(LD,:)=[ij];

end

end

end

%用搜尋法找出符合條件的渡河方案%

N=15;

Q1=inf*ones(2*N,2*N);

Q2=inf*ones(2*N,2*N);

t=1;

le=1;

q=[mn];

f0=0;%判斷循環(huán)終止標(biāo)記

while f0~=1&t

k=1;

sa=[];

sb=[];

for i0=1:le%第n 次允許的策略集逐次搜索

s0=q(i0,:);

if f0==1

break

end

for i=1:LD%由s0搜索D 后得到允許的狀態(tài)

s1=s0+(-1)^t*D(i,:);

if s1==[m0,n0]

sa=[m0,n0];

sb=D(i,:);

f0=1;

break

end

for j=2:LS-1%搜索對比S 后允許狀態(tài)%

if s1==S(j,:)

if k==1

sa(k,:)=s1;

sb(k,:)=D(i,:);

k=k+1;

break

end

if k>1%對重復(fù)狀態(tài)刪除處理%f1=0;

for ii=1:k-1

if s1==sa(ii,:)

f1=1;

break

end

end

end

if f1==0

sa(k,:)=s1;

sb(k,:)=D(i,:);

k=k+1;

break

end

end

end

end

end

q=sa;

le=size(q,1);

Q1(1:le,t*2-1:t*2)=q;

Q2(1:le,t*2-1:t*2)=sb;

t=t+1;

end

%在可行方案集合中逆向搜尋唯一方案%tr=t-1;saa1=sa;

S=zeros(tr,2);D=zeros(tr,2);for k=tr:-1:2

k1=k-1;f0=0;

sbb=Q2(:,k*2-1:k*2);

saa=Q1(:,k1*2-1:k1*2);

for i=1:2*N

saa2=saa1-(-1)^k*sbb(i,:);for j=1:2*N

if saa2==saa(j,:)

saa1=saa2;

sbb1=sbb(i,:);

f0=1;

break

end

end

if f0==1

break

end

end

S(k1,:)=saa1;

D(k,:)=sbb1;

end

S(tr,:)=[m0n0];

D(1,:)=[m,n]-SA(1,:);disp '初始狀態(tài)：'X0=[m,n]

disp '狀態(tài)為:'

S

disp '決策為:'

D

toc

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab三个商人三个随从,数学建模 商人过河的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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