• 2022.01.15.更新D | L：數學找規律 | dfs(tle)->貪心模擬
• 2022.01.14.更新L題：統計連通子圖數模型，三解：dsu,bfs,dfs

文章目錄

• B - 這是一道方塊題 [CodeForces 272C](https://vjudge.net/problem/CodeForces-272C/origin)
• [E - 這是一道果果題](https://vjudge.net/problem/CodeForces-743B)[CodeForces - 743B ](https://vjudge.net/problem/CodeForces-743B/origin)
• [G - 這是一道樹林題](https://vjudge.net/problem/POJ-3090)[POJ - 3090](https://vjudge.net/problem/POJ-3090/origin)
• [J - 這是一道貓咪題](https://vjudge.net/problem/CodeForces-1070D)[CodeForces - 1070D ](https://vjudge.net/problem/CodeForces-1070D/origin)
• [L - 這是一道玩具題](https://vjudge.net/problem/CodeForces-1209D) [CodeForces - 1209D](https://vjudge.net/problem/CodeForces-1209D/origin)
• [D - 這是一道算數題](https://vjudge.net/problem/Gym-104090D)[Gym - 104090D ](https://vjudge.net/problem/Gym-104090D/origin)
• [K - 這是一道奶茶題](https://vjudge.net/problem/CodeForces-863B) [CodeForces - 863B ](https://vjudge.net/problem/CodeForces-863B/origin)

B - 這是一道方塊題 CodeForces 272C

線段樹模版題
Description

一天，公孫晚霽正在玩這款新型的俄羅斯方塊游戲，游戲中一共有$ n $列空間，她將方塊排列成了從左到右下方填滿，依次增高的階梯形狀 第一列的高度為 $a_1$，第二列的高度為 $a_2$，…，第 n列的高度為 $ a_n (1≤a1≤a2≤…≤an)。$

這時，公孫英朗來給公孫晚霽搗亂了，他搶過了游戲手柄，將接下來的 mm 塊方塊都移動到最左側，依次下落，第 i塊方塊的寬為 $w_i$，高為 $h_i$。請幫公孫晚霽計算一下，每塊方塊下落后，方塊下邊緣距離游戲場景底部的距離。

如圖

Input

• 列數n
• 每列高度$a1,a1,...,an$
• 新方塊數m
• 每個方塊尺寸$w,h$

Output

一共輸出 mm 行，每行一個整數，表示方塊落下后，下邊緣距離游戲場景底部的距離。

Solution

線段樹板子，每個方塊下落時，落在區間最值$maxn(1:w)$位置，這個區間被賦新值$a(1:w)=maxn+h$

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;const int N=1e5+5;ll a[N]; ll d[N<<2]={0}; ll tag[N<<2]={0};inline int left(int i) { return i<<1; } inline int right(int i) { return i<<1|1; } inline int fa(int i) { return i>>1; }inline void push_up(int p) { //線段樹維護區間最值d[p] = max(d[left(p)] , d[right(p)] ); } inline void push_down(int l,int r,int p) {if (!tag[p]) return;int mid = (l + r) >> 1;tag[left(p)] = tag[p];tag[right(p)] = tag[p];d[left(p)] = tag[p];d[right(p)] = tag[p];tag[p] = 0; }void build(int l,int r,int p) {if(l==r) {d[p]=a[l];return; }int mid=(l+r)>>1;build(l,mid,left(p));build(mid+1,r,right(p));push_up(p); } ll query(int lo,int hi,int l,int r,int p) {ll res=0;if(lo<=l && r<=hi) return d[p];int mid=(l+r)>>1;push_down(l,r,p);if(lo<=mid) res=max(res,query(lo,hi,l,mid,left(p)));if(hi>mid) res=max(res,query(lo,hi,mid+1,r,right(p)));return res; } void update(int lo,int hi,int l,int r,int p,ll elm) {//區間修改操作位區間賦值if(lo<=l && r<=hi){d[p]=elm;tag[p]=elm;return;}push_down(l,r,p);int mid = (l + r) >> 1;if (lo <= mid) update(lo, hi, l , mid, left(p),elm);if (hi > mid ) update(lo, hi, mid+1, r , right(p),elm);push_up(p); } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}build(1,n,1); // for(int i=1,lvl=0;i<=4*n;lvl++) {for(int j=1;j<=1<<lvl;j++) cout<<d[i++]<<" "; cout<<'\n';}int m;cin>>m;while(m--){int w,h;cin>>w>>h;ll maxn=query(1,w,1,n,1);cout<<maxn<<'\n';update(1,w,1,n,1,maxn+h);}return 0;}

E - 這是一道果果題CodeForces - 743B

找規律
Description

公孫英朗給公孫晚霽買了很多果果，公孫晚霽很喜歡，但是為了她的減肥計劃，她一天不能吃太多果果。
公孫晚霽的減肥計劃由n步生成，生成過程如下:

• 第一步規定第1天只能吃一個果果;
• 隨后每一步，將之前確定的所有計劃復制附加在末尾，并在中間插入未使用過的最小正整數。

根據這個過程，當n=1時，該計劃進行一天，這天可以吃的果果數量為1。
當n=2時，該計劃進行三天，這些天可以吃的果果數量為[1,2,1]。
當n=3時，該計劃進行七天，這些天可以吃的果果數量為[1,2,1,3,1,2,1].請你幫公孫晚霽計算一下，依照該計劃，第k天她能吃多少果果。

Input

$1\le n\le 50,1\le k\le 2^{50}?1$

Solution

這個序列為，$\{1_1,2_2,1_3,3_4,1_5,2_6,1_7,4_8,1_9,2_{10},1_{11},3_{12},1_{13},2_{14},1_{15},5_{16},1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,...\}$

可以觀察出一些性質

• 第$2^i$個元素，其值為$i+1$
• 第$K$個元素，由**“復制”**的特性，其值等于第$K?(1<<lg(K))$個元素

tle遞推式子

ll query(ll k) { ll bin=0;while( ( 1<<bin ) <= k) bin++; bin--;if(k==1<<bin) return bin+1;else return query(k-(1<<bin));

這個bin是難求而重復的，tle了，如果通過map記憶化遞歸推lg，mle了

繼續觀察這個序列$1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1$

1: 1 3 5 7 9 ，... beg=2^0,del=2^1 2: 2 6 10 ,... beg=2^1,del=2^2 3: 4 12 20 ,... beg=2^2,del=2^3 4: 8 ,... beg=2^3,del=2^4

根據這個來求就好了：減去beg，判是否整除del

Code

ll querr(ll n,ll k) {for(ll i=1;i<=n+1;i++){ll tmp=k-(1ll*1<<(i-1));if(tmp%(1ll*1<<(i))==0) {return i;}} }

G - 這是一道樹林題POJ - 3090

歐拉篩模版題

學校里的小樹林種成了一個 $(n+1)?(n+1)$ 大小的密密麻麻的正方形矩陣，公孫英朗和公孫晚霽在樹林里捉迷藏。
公孫英朗面朝樹干，公孫晚霽躲了起來。3…2…1… 隨后公孫英朗轉頭，開始捉公孫晚霽啦~

公孫英朗從 (0, 0) 的位置轉頭，公孫晚霽就藏在了這些樹后邊，因為樹之間有遮擋關系，公孫英朗只能看見一部分樹，請幫公孫晚霽計算一下，公孫英朗能看見多少樹。

小樹林中每一顆樹都看做平面直角坐標系下的一個個點，從 (0, 0) 到 (n, n)都種滿了樹。當 n=5時，小樹林的樣子如下圖所示：

當某點與 (0, 0的連線上有其它點時，該點會被連線上的點遮擋，公孫英朗就看不見這棵樹了，如 (4, 2)這棵樹會被 (2, 1)這棵樹擋住，公孫英朗看不見位于 (4, 2) 的這課樹。

Input

樣例數T $1\le T\le 1e3$

矩陣規模n$1\le n\le 1e3$

Output

看見的樹木cnt

Solution

對于起點為原點的射線，可由斜率唯一確定。

用map記錄每一對$(i,j)$的斜率，打表也能過，不優化是$O(Tnnlogn)$，T了

正解是歐拉函數板子。

$歐拉函數：小于等于n的與n互質的正整數的個數$
$$\phi (n)=?\begin{array}{ll}n?1& ,n為質數\\ j?\phi [i]& ,ij=n,i\%j==0\\ (j?1)?\phi [i]& ,ij=n\end{array}$$

矩陣左上角與右下角是對稱的，考慮一半就好.

考查右下角三角形內任意數對$(x,y)(1\le x\le y)$

其唯一確定斜率$k=\frac{y}{x}$,當$gcd(x,y)!=1$時，這個斜率可由其左下角某個數對表示（成比例）

反之，當$gcd(x,y)==1$時，即k不可再約，這個元素不重復

暨，給定$x=C$,任取$1\le y\le n$,不重復的斜率$k=\frac{y}{x}$滿足xy互質，這正是歐拉函數的定義

∴$ans=3+2?{\sum }_2^{n}phi[i]$

Code

void phis() {phi[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!vis[i]){prime[cnt++]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=0;j<cnt && i*prime[j]<=N;j++){vis[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=prime[j] * phi[i];break;}else phi[i*prime[j]]=(prime[j] -1 ) *phi[i]; }} } void solve(int n) {ll ans=0;for(int i=2;i<=n;i++) ans+=phi[i];ans=ans*2+3;cout<<ans<<"\n"; }int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);phis();int T;cin>>T;for(int i=1;i<=T;i++){int n;cin>>n;cout<<i<<" "<<n<<" ";solve(n);}return 0;}

J - 這是一道貓咪題CodeForces - 1070D

小模擬
Description

公孫晚霽領養了一只學校里的流浪貓咪，并將給貓咪剪指甲這個工作交給了公孫英朗，讓貓咪做公孫英朗的貓主子。

假設貓咪指甲的正常長度為一確定值，且當貓咪的指甲長度比正常長度長出長度為$k$ 時，可能會傷到別人，因此當貓咪的指甲達到$ 正常長度 ＋k$ 時就必須進行一次修剪。貓咪的指甲長得很快，一個月之內可能進行多次修剪。為了保護貓咪，指甲不能被剪到正常長度以下，且晚霽認為貓咪當月長出的指甲必須在當月或下個月被剪掉。

已知貓咪當前的指甲長度為正常長度，接下來的$n$個月中的第$i$個月，貓咪指甲會增長的長度為$ a_i$。??公孫英朗想要讓個月結$ n $束后，貓咪的指甲仍然為正常長度**。請計算公孫英朗最少需要修剪貓咪指甲的次數cnt。

正常長度＝0

Input

第一行包含兩個整數 n和k $(1\le n\le 2?10^5,1\le k\le 10^9$，表示月份的數量和指甲可以超出正常長度的最長長度。

第二行包含 nn 個整數 a_i $(0\le a_i\le 10^9)$，表示第 i個月貓咪指甲的增長長度

注：當貓爪長度逾k后，需立即修剪。

Solution

模擬

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;const int N=1e5+5;int vis[N]={0}; int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,m;cin>>n>>m;int cnt=0; for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;cin>>x>>y;if(vis[x] && vis[y]){cout<<i<<' ';cnt++;}vis[x]=1;vis[y]=1;}cout<<cnt;return 0;}

L - 這是一道玩具題 CodeForces - 1209D

圖論連通分量建模
Description

公孫晚霽和公孫英朗打算去孤兒院做志愿活動。第一次去之前，公孫晚霽準備了 nn 種玩具各一個，送給 mm 小朋友們玩。在這 nn 種玩具中，每個小朋友都有2種喜歡的玩具。分玩具的步驟為：

• 首先，小朋友將按照公孫英朗的要求進行排隊。
• 然后小朋友按照排隊順序逐一獲取玩具。
• 每個小朋友會拿走他/她喜歡的所有玩具。
• 沒有拿到玩具的小朋友將會很傷心，拿到玩具的小朋友將會很開心。

已知每個小朋友喜歡的玩具的種類。請幫公孫英朗計算傷心的小朋友最少有幾個？

Input

玩具個數n，小朋友個數m

每個小朋友喜歡的玩具$xi,yi$

Output

傷心的小朋友個數cnt

Solution

圖論建模，將玩具建模為點，將小朋友建模為兩點之間的邊。對于一張有n個點的連通圖，可以證明地是最多同時滿足n-1個小朋友，即，策略是，按拓撲序加入n-1條邊，所形成的最小生成樹。此后所有點被鏈接，新邊無法加入（sad people）

而題面所述的圖可能是不連通的，求其連通分量數目即可。有bfs，dfs，dsu三種解法

$ANS=M?(n?count())$

Code

• dsu 62 ms，3900 KB

邊集數組存圖，用并查集來維護連通分量：將連通的點放在同一個集合（共祖先）里，統計dsu映射中祖先的個數即可知集合的個數

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;// 連通分量問題:將玩具建模為點，將child建模為兩點之間的邊：每入一條邊，其兩端的點被vis。 //在一張n個點(玩具)m條邊(child)的連通圖中，通過適當的（拓撲序）讀邊，可以滿足N-1個child。（生成樹） //考查本題所建模的圖，可以是不連通而有若干連通分量的，用并查集來維護連通分量數。 const int N=1e5+5,M=2*N; struct Edge{int from,to; }edge[M]; int cnt_e=0; void add(int u,int v) {edge[++cnt_e].from=u;edge[cnt_e].to=v; } int n,m; //dsu int dsu[N]={0}; int find(int x) { return dsu[x]==x?x:dsu[x]=find(dsu[x]);} void unite(int lhs,int rhs) {dsu[find(rhs)]=find(lhs); }int vis[N]; int count() {int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[find(i)]){vis[find(i)]=1;cnt++;}}return cnt; } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) dsu[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v);add(v,u);unite(u,v);}cout<<max(0,m-(n-count()));return 0;}

bfs 78 ms 2600 KB

鏈式前向星存圖，每次bfs為訪問過的邊打上

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;// 連通分量問題:將玩具建模為點，將child建模為兩點之間的邊：每入一條邊，其兩端的點被vis。 //在一張n個點(玩具)m條邊(child)的連通圖中，通過適當的（拓撲序）讀邊，可以滿足N-1個child。（生成樹） //考查本題所建模的圖，可以是不連通而有若干連通分量的，用并查集來維護連通分量數。 const int N=1e5+5,M=2*N; struct Edge{int to, nxt; }edge[M]; int cnt_e=0; int head[N]={0}; void add(int u,int v) {edge[++cnt_e].to=v;edge[cnt_e].nxt=head[u];head[u]=cnt_e; } int n,m; bool vis[N]={0}; int cnt=0; void bfs(int beg) {if(!vis[beg]) cnt++;queue<int> que;que.push(beg);while(!que.empty()){int u=que.front();que.pop();if(!vis[u]){vis[u]=1;for(int j=head[u];j;j=edge[j].nxt){int to=edge[j].to;if(!vis[to]){que.push(to);}}}} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v);add(v,u);}for(int i=1;i<=n;i++) bfs(i);cout<<max(0,m-(n-cnt));return 0;}

dfs 同上 鏈式前向星存圖 62 ms 5200 KB

void dfs(int u) {if(vis[u]) return;vis[u]=1;for(int j=head[u];j;j=edge[j].nxt){int to=edge[j].to;if(!vis[to]) dfs(to);} } for(int i=1;i<=n;i++) {if(!vis[i]){cnt++;dfs(i);} }

效率比較

D - 這是一道算數題Gym - 104090D

awesome找規律

Description

公孫英朗的算數技能太差了，公孫晚霽決定給公孫英朗進行算數訓練。
公孫晚霽準備了nn個整數，公孫英朗需要按順序完成以下操作：

• 將第i個數減去一半，并將減掉的部分加到第i+1個數上；
• 將第 n 個數減去一半，并將減掉的部分加到第1個數上；

為了讓公孫英朗表達對自己的愛意，公孫晚霽決定讓他執行以上訓練過程$5201314^{33441573}$輪。請幫公孫英朗計算出執行后的最終結果。

Solution

**打表看看每輪結果，最終結果會固定。**而while(1)等其固定會tle

再找找規律：
$$\begin{gathered} K=sum/(n+1) \\ a1=2K,ai=K \end{gathered}$$

1. 在減數和搬運的過程中，sum守恒，數列的總和從未改變

2. 基于若干次操作后，數列趨于穩定的事實：

3. 對于“將第i個數的一半搬運給第i+1個數”這個回圈的操作，2:1:1:1:1...這個比例滿足穩定的需求。

∴ 將sum分為n+1份，a1占兩份，其余占一份

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;const int N=1e5+5; int n; double a[N]; int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0);cout.tie(0);double sum=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];sum+=a[i];}double k=sum/(n+1);printf("%f ",2*k);for(int i=2;i<=n;i++) printf("%f ",k); // puts(""); // double last=-1; // while(1) // { // // for(int i=1;i<n;i++) // { // a[i]/=2; // a[i+1]+=a[i]; // } // a[n]/=2; // a[1]+=a[n]; // if(last==a[1]) // { // for(int i=1;i<=n;i++)printf("%f ",a[i]); // return 0; // } // last=a[1]; // // }return 0;}

K - 這是一道奶茶題 CodeForces - 863B

Description

公孫英朗打算請大家喝奶茶，于是他和公孫晚霽兩人到奶茶店，下單了$2n$ 杯不同的飲品。

由于購買了偶數杯，公孫晚霽本打算全部使用兩杯裝一起的方式打包帶到$T6023$。但不幸的是，奶茶店僅剩了$n?1$ 個兩杯裝袋子和若干一杯裝袋子。于是公孫晚霽不得己決定使用全部的兩杯裝包裝，再使用2個一杯裝包裝進行打包。

當使用兩杯裝包裝時，公孫晚霽發現因為每杯重量不同，這些包裝會產生不平衡值，若這兩杯的重量分別為$u$和$v$，則不平衡值為$ abs(u-v)$。一杯裝包裝不產生不平衡值。

拎著奶茶的公孫英朗想讓不平衡值的和盡可能小，請你求出該最小值。

Input

$n,1\le n\le 50$

奶茶重量$\{a0,a1,...,a2n\}$

Output

ans

人話

一個序列，選擇兩個數去掉，其他的自由組合，使總差和最小

Solution

貪心地認為，同一個袋子里的兩杯奶茶重量應該接近

即，若先對數組排序，然后分組，同組兩杯奶茶是相鄰的。

即，從序列$1,2,3,4,..,2n$中有$2n?1$對相鄰元素，選取作差最小的前$n?1$對相鄰元素即可

基此可以圖論爆搜：建邊集數組,邊$[i:?>i:1].val=a[i+1]?a[i]$然后按邊權排序，然后dfs搜$n?1$層，每層搜一條弧頭弧尾未vis的邊

Code

DFS $\theta (2n{)}^{n?1}$,TLE

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;const int N=55; int n; int a[2*N];struct Edge{int from,to,val; }edge[2*N]; int cnt_e=0; void add(int u,int v,int val) {edge[cnt_e].from=u;edge[cnt_e].to=v;edge[cnt_e++].val=val; } bool cmp(const Edge& lhs,const Edge& rhs) {return lhs.val<rhs.val;}bool vis[N]={0};int ans=0x7f7f7f7f; vector<Edge> vec; void dfs(int lvl,int sum) {if(lvl>n-1){cout<<sum<<'\n';for(auto it:vec) cout<<it.from<<" "<<it.to<<" "<<it.val<<'\n'; cout<<'\n';ans=min(ans,sum);return;}for(int i=0;i<cnt_e;i++){if(!vis[edge[i].from] && !vis[edge[i].to]){vis[edge[i].from]=1;vis[edge[i].to] =1;vec.push_back(edge[i]);dfs(lvl+1,sum+edge[i].val);vis[edge[i].from]=0;vis[edge[i].to] =0;vec.pop_back();}} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=2*n;i++) cin>>a[i];sort(a+1,a+2*n+1);for(int i=1;i<=2*n-1;i++){add(i,i+1,a[i+1]-a[i]);}sort(edge,edge+cnt_e,cmp); dfs(1,0);cout<<ans;return 0;}

枚舉

打表觀察一下選出的組合，還是前邊那句同組兩杯奶茶是相鄰的

而未選用的兩杯奶茶未必相鄰：只需滿足減去這兩個元素后，剩余序列倆倆一組依舊相鄰即可，eg,$\{\_,2,3,\_,5,6,..\}$

能枚舉出所有刪點的情況即可。

刪去兩個點將原序列分為三個區間，需要這三個區間長度均為偶數，才符合依舊相鄰的規則

，eg $\{1,2,\_,4,5,\_,7,8\}$

刪點策略為:第一個點必為奇數，第二個點與第一個點間隔偶數距離，然后簡單讀相鄰元素差即可。

一點點思維的小模擬。

Code AC

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long;int n; const int N=55; int a[2*N]; int b[2*N]; bool vis[2*N]={0}; int ans=0x7f7f7f7f;void solve() {int sum=0;for(int i=1;i<=2*n;){if(vis[i]) i++;if(vis[i]) i++;sum+=a[i+1]-a[i];i+=2;}ans=min(ans,sum); } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=2*n;i++) cin>>a[i];sort(a+1,a+2*n+1);for(int i=1;i<=2*n;i+=2){vis[i]=1;for(int j=i+1;j<=2*n;j+=2){vis[j]=1;solve();vis[j]=0;}vis[i]=0;}cout<<ans;return 0;}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ACM2023SWJTU寒假选拔赛2不完全题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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