上下取整函数的关系以及一些重要性质(附证明)
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寫在前面
今天(2022.12.7)的lc每日一題, 雖然是中等但也有很多需要注意的點, 看到了0x3f大佬的題解才發(fā)現(xiàn)自己知識點的太多不足, 比如下面這個式子:(出自具體數(shù)學(xué)練習(xí)3.12)
? n m ? = ? n + m ? 1 m ? = ? n ? 1 m ? + 1. \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1. ?mn??=?mn+m?1??=?mn?1??+1.
本文主要給出取整函數(shù)的一些內(nèi)容, 包括幾個重要的取整函數(shù)以及上下取整函數(shù)之間的關(guān)系等.
參考了具體數(shù)學(xué)1, Wikipedia2以及3.
基本概念
這里的一些定義, 記號等均參考了具體數(shù)學(xué).
取整函數(shù)
數(shù)的表示
設(shè) x ∈ R x\in\mathbb R x∈R, 則
? x ? \lfloor x\rfloor ?x?表示 x x x的整數(shù)部分(integer part)
{ x } \{x\} {x}表示 x x x的分?jǐn)?shù)部分(fractional part), (不與單元素集合混淆的情況下)
關(guān)系:
x = ? x ? + { x } ? { x } = x ? ? x ? . x=\lfloor x\rfloor+\{x\}\iff\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. x=?x?+{x}?{x}=x??x?.
取余運算
(下取整表示)設(shè) m , n ∈ N ? m,n\in\mathbb N^* m,n∈N?, 則
n = m ? ? n / m ? ? 商 + n m o d m ? 余數(shù) (1) n=m\cdot\underbrace{\lfloor n/m \rfloor}_{\text{商}}+\underbrace{n\bmod m}_{\text{余數(shù)}}\tag{1} n=m?商 ?n/m???+余數(shù) nmodm??(1)
其中, n m o d m ∈ [ 0 , m ) n\bmod m\in[0, m) nmodm∈[0,m).
性質(zhì)
取余運算
范圍
由 ( 1 ) (1) (1), 得
n m o d m = n ? m ? n / m ? n\bmod m=n-m\lfloor n/m \rfloor nmodm=n?m?n/m?
推廣:(設(shè) x , y ∈ R x,y\in\mathbb R x,y∈R)
x m o d y = x ? y ? x / y ? , y ≠ 0. x\bmod y=x-y\lfloor x/y \rfloor,\ y\ne0. xmody=x?y?x/y?,?y?=0.
于是:
{ x m o d y ∈ [ 0 , y ) , y > 0 x m o d y ∈ ( y , 0 ] , y < 0 \begin{cases} x\bmod y\in [0,y),&y>0\\ x\bmod y\in (y,0],&y<0 \end{cases} {xmody∈[0,y),xmody∈(y,0],?y>0y<0?
另外, 定義
x m o d 0 = x . (2) x\bmod 0=x.\tag{2} xmod0=x.(2)
類似, 定義一個新的運算 m u m b l e \rm mumble mumble, 用上取整表示數(shù):
x = y ? ? x / y ? ? x m u m b l e y , y ≠ 0. x=y\cdot \lceil x/y\rceil-x\ \rm{mumble}\ y, \ y\ne0. x=y??x/y??x?mumble?y,?y?=0.
分配律
? c , x , y ∈ R \forall c,x,y\in \mathbb R ?c,x,y∈R,
c ( x m o d y ) = ( c x ) m o d ( c y ) . c(x\bmod y)=(cx)\bmod(cy). c(xmody)=(cx)mod(cy).
證明:
? c y ≠ 0 \forall cy\ne0 ?cy?=0,
c ( x m o d y ) = c ( x ? y ? x / y ? ) = c x ? c y ? c x / c y ? = ( c x ) m o d ( c y ) . \begin{aligned} c(x\bmod y) &=c(x-y\lfloor x/y\rfloor)\\ &=cx-cy\lfloor cx/cy\rfloor\\ &=(cx)\bmod(cy). \end{aligned} c(xmody)?=c(x?y?x/y?)=cx?cy?cx/cy?=(cx)mod(cy).?
當(dāng) y = 0 y=0 y=0時, 根據(jù)定義 ( 2 ) (2) (2), 分配律依然成立.
數(shù)的表示
用取余重寫數(shù)的表示(整數(shù)部分, 分?jǐn)?shù)部分)
x = ? x ? + x m o d 1. x=\lfloor x\rfloor+x\bmod 1. x=?x?+xmod1.
關(guān)系
冪等性
? ? x ? ? = ? x ? , ? ? x ? ? = ? x ? , { { x } } = { x } . \begin{aligned} \Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\ \Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil, \\ \Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \}. \end{aligned} ??x????x??{{x}}?=?x?,=?x?,={x}.?
并有:(只關(guān)注內(nèi)層作用)
? ? x ? ? = ? x ? , ? ? x ? ? = ? x ? , \begin{aligned} \Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\ \Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor, \end{aligned} ??x????x???=?x?,=?x?,?
互反律
? x ? + ? ? x ? = 0 , ? ? x ? = ? ? x ? , ? ? x ? = ? ? x ? . \begin{aligned} \lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0, \\ -\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil, \\ -\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor. \end{aligned} ?x?+??x???x???x??=0,=??x?,=??x?.?
并且:
? x ? + ? ? x ? = { 0 , 若?? x ∈ Z , ? 1 , 若?? x ∈? Z , ? x ? + ? ? x ? = { 0 , 若?? x ∈ Z , 1 , 若?? x ∈? Z . \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} 0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\ -1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}, \end{cases} \\[5pt] \lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases} 0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\ 1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}. \end{cases} ?x?+??x?={0,?1,??若??x∈Z,?若??x?∈Z,??x?+??x?={0,1,??若??x∈Z,?若??x?∈Z.?
針對小數(shù)部分( { x } = x ? ? x ? \{x \} = x - \lfloor x \rfloor {x}=x??x?):
{ x } + { ? x } = { 0 , 若?? x ∈ Z , 1 , 若?? x ∈? Z . \{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases} 0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\ 1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}. \end{cases} {x}+{?x}={0,1,??若??x∈Z,?若??x?∈Z.?
與整數(shù)的關(guān)系
? x ? ? x \lceil x\rceil\geqslant x ?x??x; ? x ? ? x \lfloor x\rfloor\leqslant x ?x??x; ? x ? ? ? x ? \lfloor x \rfloor \leqslant \lceil x \rceil ?x???x?.
? x ? = x ? x ∈ Z ? ? x ? = x \lfloor x\rfloor=x\iff x\in \mathbb Z\iff \lceil x\rceil=x ?x?=x?x∈Z??x?=x;
If x ? Z x\notin \mathbb Z x∈/?Z, then ? x ? ? ? x ? = [ x not?an?integer ] = 1 \lceil x\rceil-\lfloor x\rfloor=[x\ \text{not an integer}]=1 ?x???x?=[x?not?an?integer]=1.
另一種表述:
? x ? ? ? x ? = [ x 是否為整數(shù) ] = { 0 , 若?? x ∈ Z , 1 , 若?? x ∈? Z . \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = [x\text{是否為整數(shù)}]= \begin{cases} 0,&\text{ 若 }\ x\in \mathbb{Z},\\ 1,&\text{ 若 }\ x\not\in \mathbb{Z}. \end{cases} ?x???x?=[x是否為整數(shù)]={0,1,??若??x∈Z,?若??x?∈Z.?
x ? 1 < ? x ? x-1<\lfloor x\rfloor x?1<?x?, x + 1 > ? x ? x+1>\lceil x\rceil x+1>?x?, so we have:
x ? 1 < ? x ? ? x ? ? x ? < x + 1. x-1<\lfloor x\rfloor\leqslant x\leqslant \lceil x\rceil<x+1. x?1<?x??x??x?<x+1.
設(shè) n ∈ Z , x ∈ R n\in\mathbb Z,\ x\in \mathbb R n∈Z,?x∈R, 則有:
{ ? x ? = n ? n ? x < n + 1 ? x ? = n ? x ? 1 < n ? x ? x ? = n ? n ? 1 < x ? n ? x ? = n ? x ? n < x + 1 \begin{cases} \lfloor x\rfloor=n\iff n\leqslant x<n+1\\ \lfloor x\rfloor=n\iff x-1<n\leqslant x\\[10pt] \lceil x\rceil=n\iff n-1<x\leqslant n\\ \lceil x\rceil=n\iff x\leqslant n<x+1\\ \end{cases} ???????????????x?=n?n?x<n+1?x?=n?x?1<n?x?x?=n?n?1<x?n?x?=n?x?n<x+1?
并有, 整數(shù)項移出取整號:
{ ? x + n ? = ? x ? + n , ? x + n ? = ? x ? + n , (*) \begin{cases} \lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n,\\ \tag{*} \lceil x+n\rceil=\lceil x\rceil+n, \end{cases} {?x+n?=?x?+n,?x+n?=?x?+n,?(*)
不等式的轉(zhuǎn)換:
{ ? x ? < n ? x < n ? x ? ? n ? x ? n ? x ? > n ? x > n ? x ? ? n ? x ? n \begin{cases} \lfloor x\rfloor<n \iff x<n\\ \lfloor x\rfloor\geqslant n\iff x\geqslant n \\[10pt] \lceil x\rceil>n\iff x> n\\ \lceil x\rceil\leqslant n\iff x\leqslant n\\ \end{cases} ???????????????x?<n?x<n?x??n?x?n?x?>n?x>n?x??n?x?n?
與函數(shù)的關(guān)系
設(shè) f ( x ) f(x) f(x)是任意一個具有如下性質(zhì)且在一個實數(shù)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的單調(diào)遞增函數(shù), 即:
f ( x ) = integer ? x = integer . f(x)=\text{integer}\Longrightarrow x=\text{integer}. f(x)=integer?x=integer.
則有(若函數(shù) f ( x ) , f ( ? x ? ) , f ( ? x ? ) f(x),f(\lfloor x\rfloor),f(\lceil x\rceil) f(x),f(?x?),f(?x?)有定義)
? f ( x ) ? = ? f ( ? x ? ) ? , ? f ( x ) ? = ? f ( ? x ? ) ? . \lfloor f(x)\rfloor=\lfloor f(\lfloor x\rfloor)\rfloor,\quad \lceil f(x)\rceil=\lceil f(\lceil x\rceil)\rceil. ?f(x)?=?f(?x?)?,?f(x)?=?f(?x?)?.
證明:(反證)
-
當(dāng) x = ? x ? x=\lceil x\rceil x=?x?, 顯然成立.
-
當(dāng) x < ? x ? x<\lceil x\rceil x<?x?時, 根據(jù)函數(shù) f ( x ) f(x) f(x)單調(diào)性得到:
f ( x ) < f ( ? x ? ) , f(x)<f(\lceil x\rceil), f(x)<f(?x?),
根據(jù)上取整函數(shù)非降性質(zhì), 又可得到:
? f ( x ) ? ? ? f ( ? x ? ) ? , \lceil f(x)\rceil\leqslant \lceil f(\lceil x\rceil)\rceil, ?f(x)???f(?x?)?,- 若 ? f ( x ) ? < ? f ( ? x ? ) ? \lceil f(x)\rceil< \lceil f(\lceil x\rceil)\rceil ?f(x)?<?f(?x?)?, 由 f f f連續(xù)性, 必定存在數(shù) y y y, 使得 x ? y < ? x ? x\leqslant y<\lceil x\rceil x?y<?x?, 以及 f ( y ) = ? f ( x ) ? f(y)=\lceil f(x)\rceil f(y)=?f(x)?. 由于 f f f定義, y ∈ Z y\in\mathbb Z y∈Z, 但是不存在介于 ? x ? \lfloor x\rfloor ?x?和 ? x ? \lceil x\rceil ?x?之間的整數(shù), 矛盾, 由此得證.
由此得到一個特例:
? m ∈ Z \forall m\in \mathbb Z ?m∈Z, n ∈ N ? n\in\mathbb N^* n∈N?, 有
? x + m n ? = ? ? x ? + m n ? , ? x + m n ? = ? ? x ? + m n ? . (**) \left\lceil \frac {x+m}n\right\rceil=\left\lceil \frac {\lceil x\rceil+m}n\right\rceil,\ \left\lfloor \frac {x+m}n\right\rfloor=\left\lfloor \frac {\lfloor x\rfloor+m}n\right\rfloor.\tag{**} ?nx+m??=?n?x?+m??,??nx+m??=?n?x?+m??.(**)
恒等式
每組近似分配(埃爾米特恒等式的特例)
將 n n n個物品分成 m m m組, 按照非增次序排列且盡可能相等的部分的劃分:
n = ? n m ? + ? n ? 1 m ? + ? + ? n ? m + 1 m ? . (3) n=\left\lceil \frac nm\right\rceil+\left\lceil \frac {n-1}m\right\rceil+\cdots+\left\lceil \frac {n-m+1}m\right\rceil.\tag{3} n=?mn??+?mn?1??+?+?mn?m+1??.(3)
證明: (構(gòu)造)
設(shè) n = q m + r n=qm+r n=qm+r, 其中 q = ? n / m ? q=\lfloor n/m\rfloor q=?n/m?, r = n m o d m , 0 ? r < m r=n\bmod m, 0\leqslant r<m r=nmodm,0?r<m, 則:
-
當(dāng) r = 0 r=0 r=0, 此時將 q = ? n / m ? q=\lfloor n/m\rfloor q=?n/m?件物品放入第一組, 并且用 n ′ = n ? q n'=n-q n′=n?q替換 n n n, 讓 n ′ = q m ′ n'=qm' n′=qm′件物品放入剩下的 m ′ = m ? 1 m'=m-1 m′=m?1組中, 重復(fù)這個操作直到物品都被分組.
-
當(dāng) r > 0 r>0 r>0, 將 ? n / m ? = ? n / m ? + 1 = q + 1 \lceil n/m\rceil=\lfloor n/m\rfloor+1= q+1 ?n/m?=?n/m?+1=q+1件物品放進第一組, 用 n ′ = n ? q ? 1 n'=n-q-1 n′=n?q?1替換 n n n,
n ′ = n ? q ? 1 = q m + r ? q ? 1 = q ( m ? 1 ? m ′ ) + r ? 1 ? r ′ n'=n-q-1=qm+r-q-1=q(\underbrace{m-1}_{m'})+\underbrace{r-1}_{r'} n′=n?q?1=qm+r?q?1=q(m′ m?1??)+r′ r?1??
即 n ′ = q m ′ + r ? 1 n'=qm'+r-1 n′=qm′+r?1件物品留給后面的分組. 此時新的余數(shù)為 r ′ = r ? 1 r'=r-1 r′=r?1, 但 q q q保持不變.
當(dāng)余數(shù) r r r減到 0 0 0時, 此時情況同上, 所以有
n 件 商 品 : { r 個 組 : q + 1 件 物 品 m ? r 個 組 : q 件 物 品 n件商品:\begin{cases} \qquad r個組:q+1件物品\\ m-r個組:q件物品 \end{cases} n件商品:{r個組:q+1件物品m?r個組:q件物品?
那么在第 k k k組( 1 ? k ? m 1\leqslant k\leqslant m 1?k?m)中有多少物品?
應(yīng)該是:
? n ? k + 1 m ? \left\lceil \frac {n-k+1}m\right\rceil ?mn?k+1??
證明:
將 n = q m + r n=qm+r n=qm+r代入上式, 得到:
? n ? k + 1 m ? = ? q m + r ? k + 1 m ? = ( ? ) q + ? r ? k + 1 m ? \left\lceil \frac {n-k+1}m\right\rceil=\left\lceil \frac {qm+r-k+1}m\right\rceil\stackrel{(*)}{=}q+\left\lceil \frac {r-k+1}m\right\rceil ?mn?k+1??=?mqm+r?k+1??=(?)q+?mr?k+1??
應(yīng)用邊界條件: 1 ? k ? m , 0 ? r < m 1\leqslant k\leqslant m,\ 0\leqslant r<m 1?k?m,?0?r<m, 得到
? r ? k + 1 m ? = [ k ? r ] \left\lceil \frac {r-k+1}m\right\rceil=[k\leqslant r] ?mr?k+1??=[k?r]
上面的 [ k ? r ] [k\leqslant r] [k?r]表示當(dāng)滿足 k ? r k\leqslant r k?r時, 取 1 1 1, 否則取 0 0 0, 這正好滿足我們上面給出的構(gòu)造分組的方法.
將其寫成累加形式, 則有:
n = ? n m ? + ? n ? 1 m ? + ? + ? n ? m + 1 m ? = ∑ i = 0 m ? 1 ? n ? i m ? = q m + ∑ i = 0 m ? 1 ? r ? i m ? = q m + ∑ i = 0 r ? 1 ? r ? i m ? = q m + r \begin{aligned} n&=\left\lceil \frac nm\right\rceil+\left\lceil \frac {n-1}m\right\rceil+\cdots+\left\lceil \frac {n-m+1}m\right\rceil\\ &=\sum_{i=0}^{m-1}\left\lceil \frac {n-i}m\right\rceil=qm+\sum_{i=0}^{m-1}\left\lceil \frac {r-i}m\right\rceil\\ &=qm+\sum_{i=0}^{r-1}\left\lceil \frac {r-i}m\right\rceil=qm+r\\ \end{aligned} n?=?mn??+?mn?1??+?+?mn?m+1??=i=0∑m?1??mn?i??=qm+i=0∑m?1??mr?i??=qm+i=0∑r?1??mr?i??=qm+r?
同理, 根據(jù)各個部分按照非減的次序排列, 小的組放在前面, ( ? n / m ? \lfloor n/m\rfloor ?n/m?在第一組)就得到:
n = ? n m ? + ? n + 1 m ? + ? + ? n + m ? 1 m ? . (3’) n=\left\lfloor \frac nm\right\rfloor+\left\lfloor \frac {n+1}m\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor \frac {n+m-1}m\right\rfloor.\tag{3'} n=?mn??+?mn+1??+?+?mn+m?1??.(3’)
針對上面得到的結(jié)論, 還可以進行推廣:
利用 ? m x ? \lfloor mx\rfloor ?mx?替換 ( 3 ′ ) (3') (3′)式中的 n n n, 并用 ( ? ? ) (**) (??)式去掉下取整函數(shù)中的下取整函數(shù)可以得到:
? m x ? = ? x ? + ? x + 1 m ? + ? + ? x + m ? 1 m ? . \lfloor mx\rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+\frac 1m\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor x+\frac{m-1}m\right\rfloor. ?mx?=?x?+?x+m1??+?+?x+mm?1??.
上式就是埃爾米特恒等式.
★ \bigstar ★上下取整轉(zhuǎn)換
下面介紹前言部分提到的一個重要的關(guān)系, 利用這個式子可以方便的轉(zhuǎn)換上取整和下取整, 因為計算機編程語言中常用下取整.
? n m ? = ? n + m ? 1 m ? = ? n ? 1 m ? + 1. (***) \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1.\tag{***} ?mn??=?mn+m?1??=?mn?1??+1.(***)
以及:
? n m ? = ? n ? m + 1 m ? = ? n + 1 m ? ? 1. \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n-m+1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1. ?mn??=?mn?m+1??=?mn+1???1.
證明:(方法1)
直接由埃爾米特恒等式的特例 ( 3 ) (3) (3)的第一項等于 ( 3 ′ ) (3') (3′)式的第二項, 即為本結(jié)論, 需要從組合意義角度出發(fā). (分組方法)
證明:(方法2)
對 ( ? ? ? ? ? ) (*\!*\!*) (???)兩端同時減去 ? n m ? \left\lfloor \dfrac nm\right\rfloor ?mn??, 得到:
-
左邊:(利用與整數(shù)的關(guān)系之3)
? n m ? ? ? n m ? = ? n m o d m m ? = { 0 , 若? n m o d m = 0 , 1 , 若? n m o d m > 0. \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil-\left\lfloor \dfrac nm\right\rfloor=\left\lceil\frac{n\bmod m}{m}\right\rceil=\begin{cases} 0,&\text{ 若 }n\bmod m=0,\\ 1,&\text{ 若 }n\bmod m>0. \end{cases} ?mn????mn??=?mnmodm??={0,1,??若?nmodm=0,?若?nmodm>0.? -
右邊:
可設(shè) n = m q + r n=mq+r n=mq+r, 并有 q = ? n / m ? , 0 ? r = n m o d m < m q=\lfloor n/m \rfloor,0\leqslant r=n\bmod m<m q=?n/m?,0?r=nmodm<m, 則
? n + m ? 1 m ? ? ? n m ? = ? m q + m + r ? 1 m ? ? ? m q + r m ? = ? r + m ? 1 m ? ? ? r m ? = ? r + m ? 1 m ? = ? n m o d m + m ? 1 m ? = { 0 , 若? n m o d m = 0 , 1 , 若? n m o d m > 0. \begin{aligned} \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor-\left\lfloor \frac nm\right\rfloor &=\left\lfloor \frac{mq+m+r-1}{m} \right\rfloor-\left\lfloor \frac {mq+r}m\right\rfloor\\ &=\left\lfloor \frac{r+m-1}{m} \right\rfloor-\left\lfloor \frac {r}m\right\rfloor\\ &=\left\lfloor \frac{r+m-1}{m} \right\rfloor\\ &=\left\lfloor \frac{n\bmod m+m-1}{m} \right\rfloor\\ &=\begin{cases} 0,&\text{ 若 }n\bmod m=0,\\ 1,&\text{ 若 }n\bmod m>0. \end{cases} \end{aligned} ?mn+m?1????mn???=?mmq+m+r?1????mmq+r??=?mr+m?1????mr??=?mr+m?1??=?mnmodm+m?1??={0,1,??若?nmodm=0,?若?nmodm>0.??
即得結(jié)論.
當(dāng)然, 還有通過廣義Ramsey定理證明的方法(鴿巢原理的推廣), 可以參見3.
總的來看, 這個結(jié)論通過上面的近似分組問題就可以解釋了.
ref
具體數(shù)學(xué); ??
取整函數(shù) - 維基百科，自由的百科全書 (wikipedia.org); ??
上取整與下取整的轉(zhuǎn)換 - flyor - 博客園 (cnblogs.com); ?? ??
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的上下取整函数的关系以及一些重要性质(附证明)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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