接著上道題，這道題也是用來感受暴力遞歸優(yōu)化成動態(tài)規(guī)劃的套路。先想暴力嘗試的方法，然后優(yōu)化成動態(tài)規(guī)劃。首先是原問題的暴力嘗試方法。只有想出嘗試方法是最難、最重要的。

我們首先來看一下題目：

給你一個數(shù)組arr，arr中所有的值都為正數(shù)且不重復(fù)，和一個整數(shù)aim。如果可以任意選擇arr中的數(shù)字，每個數(shù)字只能選一次，能不能累加得到aim，返回true或者false。

思路類似字符串的子序列問題：令f（i，sum）中的i表示數(shù)組下標(biāo)，sum表示數(shù)組最開始元素到當(dāng)前元素的和，以arr={3,2,7,13}，aim=9為例，則遞歸過程如下圖所示：（PS：這是一張只有本人看得懂的圖，o(╯□╰)o）

所以解決步驟如下：

1.寫出嘗試（遞歸）版本

public static boolean money1(int[] arr, int aim) {return process1(arr, 0, 0, aim);}public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) {if (i == arr.length) {return sum == aim;}//繼續(xù)往下執(zhí)行，兩種情況：要么選要么不選return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);}

2. 分析是否滿足轉(zhuǎn)動態(tài)規(guī)劃的條件：

? ? ?（1）.存在大量重復(fù)計(jì)算：上述例子不夠清楚，可以換成{3，2，5，13}，則到第三步將會出現(xiàn)兩個f(3,5)，一個是由f(2,5)+0，一個是由f(2,0)+5所得，而f(3,5)的后續(xù)返回值肯定相同，所以存在重復(fù)計(jì)算。

? ? ?（2）.該問題屬于“無后效性”問題：同1，不管哪條路徑到達(dá)的f(3,5)，得到的返回值都一樣，則表示為“無后效性”。

綜述所述，可以轉(zhuǎn)為動態(tài)規(guī)劃。

3.?分析可變參數(shù)，哪幾個可變參數(shù)的值能代表返回狀態(tài)，幾個可變參數(shù)，以及它們的變化范圍，即可構(gòu)造幾維dp表。

數(shù)組和aim不可變，i,sum可變。

4.看base case，列出不依賴的位置。（以數(shù)組{3, 2, 5 }，aim=7為例，減少工作量）

二維表行代表i,列代表sum即全部元素的和（aim原則上不會超過這個數(shù)，如果超過了很顯然返回false）。

可知base case為最后一行，只有當(dāng)sum==aim的時(shí)候才是T，其它都是F。所以可得下表內(nèi)容：

I \ SUM	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
1	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
2	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
3	F	F	F	F	F	F	F	T	F	F	F

?

5.分析一個普遍位置的依賴。

return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);

可知，要知道一個普遍位置的值，就得知道它的下一行的值和下一行并向右加arr[i]列的值。例如f(2,0)，根據(jù)上述代碼可知，依賴于f(3,0)和f(3,5)，所以f(2,0)為F（因?yàn)閒(3,0)和f(3,5)都為F）。

綜述所述，最后一行知道了，反過來就能填完了整張表。

I \ SUM	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	T	F	T	F	T	T	F	T	F	F	F
1	T	F	T	F	F	T	F	T	F	F	F
2	F	F	T	F	F	F	F	T	F	F	F
3	F	F	F	F	F	F	F	T	F	F	F

整體代碼如下：

package com.gxu.dawnlab_algorithm8;/*** 換錢問題* * @author junbin** 2019年7月12日*/ public class Money_Problem {public static boolean money1(int[] arr, int aim) {return process1(arr, 0, 0, aim);}public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) {if (sum == aim) { //如果遍歷過程中滿足該條件，則停止后續(xù)遍歷return true;}// sum != aimif (i == arr.length) { //如果已經(jīng)到了數(shù)組末尾，則直接輸出return false;}//繼續(xù)往下執(zhí)行，兩種情況：要么選要么不選return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);}//動態(tài)規(guī)劃public static boolean money2(int[] arr, int aim) {boolean[][] dp = new boolean[arr.length + 1][aim + 1];//列改為aim+1可以更節(jié)省空間for (int i = 0; i < dp.length; i++) {dp[i][aim] = true;}for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {for (int j = aim - 1; j >= 0; j--) {dp[i][j] = dp[i + 1][j];if (j + arr[i] <= aim) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i + 1][j + arr[i]];}}}return dp[0][0];}public static void main(String[] args) {int[] arr = { 1, 4, 8 };int aim = 12;System.out.println(money1(arr, aim));System.out.println(money2(arr, aim));} }

總結(jié)：到現(xiàn)在已經(jīng)體驗(yàn)了兩道暴力遞歸轉(zhuǎn)動態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典題目了，可以感覺到高度的套路化，但是仍然覺得很不熟練，特別是最難的寫出嘗試版本和畫出dp表階段，繼續(xù)加油！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的暴力递归转动态规划----以货币数问题展开的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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