接著上道題，這道題也是用來感受暴力遞歸優化成動態規劃的套路。先想暴力嘗試的方法，然后優化成動態規劃。首先是原問題的暴力嘗試方法。只有想出嘗試方法是最難、最重要的。

我們首先來看一下題目：

給你一個數組arr，arr中所有的值都為正數且不重復，和一個整數aim。如果可以任意選擇arr中的數字，每個數字只能選一次，能不能累加得到aim，返回true或者false。

思路類似字符串的子序列問題：令f（i，sum）中的i表示數組下標，sum表示數組最開始元素到當前元素的和，以arr={3,2,7,13}，aim=9為例，則遞歸過程如下圖所示：（PS：這是一張只有本人看得懂的圖，o(╯□╰)o）

所以解決步驟如下：

1.寫出嘗試（遞歸）版本

public static boolean money1(int[] arr, int aim) {return process1(arr, 0, 0, aim);}public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) {if (i == arr.length) {return sum == aim;}//繼續往下執行，兩種情況：要么選要么不選return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);}

2. 分析是否滿足轉動態規劃的條件：

? ? ?（1）.存在大量重復計算：上述例子不夠清楚，可以換成{3，2，5，13}，則到第三步將會出現兩個f(3,5)，一個是由f(2,5)+0，一個是由f(2,0)+5所得，而f(3,5)的后續返回值肯定相同，所以存在重復計算。

? ? ?（2）.該問題屬于“無后效性”問題：同1，不管哪條路徑到達的f(3,5)，得到的返回值都一樣，則表示為“無后效性”。

綜述所述，可以轉為動態規劃。

3.?分析可變參數，哪幾個可變參數的值能代表返回狀態，幾個可變參數，以及它們的變化范圍，即可構造幾維dp表。

數組和aim不可變，i,sum可變。

4.看base case，列出不依賴的位置。（以數組{3, 2, 5 }，aim=7為例，減少工作量）

二維表行代表i,列代表sum即全部元素的和（aim原則上不會超過這個數，如果超過了很顯然返回false）。

可知base case為最后一行，只有當sum==aim的時候才是T，其它都是F。所以可得下表內容：

I \ SUM	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
1	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
2	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
3	F	F	F	F	F	F	F	T	F	F	F

?

5.分析一個普遍位置的依賴。

return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);

可知，要知道一個普遍位置的值，就得知道它的下一行的值和下一行并向右加arr[i]列的值。例如f(2,0)，根據上述代碼可知，依賴于f(3,0)和f(3,5)，所以f(2,0)為F（因為f(3,0)和f(3,5)都為F）。

綜述所述，最后一行知道了，反過來就能填完了整張表。

I \ SUM	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	T	F	T	F	T	T	F	T	F	F	F
1	T	F	T	F	F	T	F	T	F	F	F
2	F	F	T	F	F	F	F	T	F	F	F
3	F	F	F	F	F	F	F	T	F	F	F

整體代碼如下：

package com.gxu.dawnlab_algorithm8;/*** 換錢問題* * @author junbin** 2019年7月12日*/ public class Money_Problem {public static boolean money1(int[] arr, int aim) {return process1(arr, 0, 0, aim);}public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) {if (sum == aim) { //如果遍歷過程中滿足該條件，則停止后續遍歷return true;}// sum != aimif (i == arr.length) { //如果已經到了數組末尾，則直接輸出return false;}//繼續往下執行，兩種情況：要么選要么不選return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);}//動態規劃public static boolean money2(int[] arr, int aim) {boolean[][] dp = new boolean[arr.length + 1][aim + 1];//列改為aim+1可以更節省空間for (int i = 0; i < dp.length; i++) {dp[i][aim] = true;}for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {for (int j = aim - 1; j >= 0; j--) {dp[i][j] = dp[i + 1][j];if (j + arr[i] <= aim) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i + 1][j + arr[i]];}}}return dp[0][0];}public static void main(String[] args) {int[] arr = { 1, 4, 8 };int aim = 12;System.out.println(money1(arr, aim));System.out.println(money2(arr, aim));} }

總結：到現在已經體驗了兩道暴力遞歸轉動態規劃的經典題目了，可以感覺到高度的套路化，但是仍然覺得很不熟練，特別是最難的寫出嘗試版本和畫出dp表階段，繼續加油！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的暴力递归转动态规划----以货币数问题展开的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。