一、理想低通濾波器單位脈沖響應是什么樣

在如何快速設計一個FIR濾波器(一)中，我們介紹了一種簡單設計FIR的方法——零極點法。這個方法非常簡單，稍加培訓，用筆和紙就能完成；當然缺點也很顯而易見：零極點設計出的濾波器，只能給出大概的頻率響應，對于一些要求較高的系統，顯得無能為力。今天我們介紹一種更加嚴謹的方法。

現在假設我們要設計一個低通濾波器，截止頻率為

，其理想頻率響應可以用如下函數表示：

則該濾波器的脈沖響應為：

可見脈沖響應為一個sinc函數。畫出來大概張這個樣子：

這個函數非常重要哦，建議都自己手動推導一下，非常有意思，我們把幅值最大的那一瓣稱之為主瓣，剩下稱之為從瓣，是不是很形象呢？注意主瓣的周期是從瓣的2倍哦。

可能你已經看見了，脈沖響應是由無窮多個——不對呀，我們是想設計一個有限脈沖響應的，結果出現了無窮多個響應，這可如何搞？——既然臣妾做不到把所有的脈沖響應都用上(因為我是有限脈沖濾波器FIR啊)，那我只能截取有限一部分進行代替了，也就是——加窗。

窗函數這個東西很不好理解，我們就多花點功夫說說這個事。

二、什么是加窗

現在假設有一個函數，表達式為

，為簡單起見，令

，

，很顯然，余弦函數的頻域包含兩個分量

，即

Hz。

假如我們現在以10Hz的頻率進行采樣，顯然是滿足香濃采樣定理的，采樣脈沖及其頻譜如下圖：

采樣過程就是拿采樣信號和原始信號進行乘積，那采樣之后的信號長啥樣呢？

上圖即為采樣后的信號及其頻譜。注意：此時采樣后的信號是在時域無限擴展的，頻譜也一樣。但實際的計算中是不可能處理無窮多數量的信號的，那怎么辦呢？——截短唄，只觀察一部分樣本行不？貌似我們也沒有更好的選擇了。

那怎么截短呢？最簡單的方式就是矩形函數了，如下圖所示：

矩形函數的方法簡單粗暴，只保留一部分(幅值為1)，其余全部設為0，然后那矩形函數和采樣信號相乘，就得到加窗(矩形窗)之后的采樣信號了。矩形信號的頻譜就是我們熟悉的sinc函數。加窗之后的采樣信號及其頻譜如下：

加窗后的離散余弦信號可以看成窗函數(矩形，頻譜為sinc函數)與余弦離散信號的乘積。那在頻域呢就是sinc函數和余弦頻譜的卷積。看一個圖就明白加窗后的頻譜是怎么來的了：

可以看出，由于加窗行為，頻譜中頻率成分變復雜了，由于矩形窗函數的頻譜是無限寬的，在頻譜的最大值處也出現了一定的畸變(略大于1)。這種有限長的離散信號在時域中計算機是可以處理(離散的)，但是在頻域還是不能，因為還是連續信號。在如何理解離散傅里葉變換及Z變換一文中，我們介紹了將有限長的信號進行周期延拓，就得到一個周期的離散信號，其傅里葉變換也是周期離散的，這樣就可以在計算機中處理了。關于離散傅里葉變換，可以參照：J Pan：如何理解離散傅里葉變換及Z變換?zhuanlan.zhihu.com

現在問題就變成了如何進行周期延拓——卷積，什么意思呢？我們現在找一個采樣脈沖，時域中周期和加窗后的采樣信號的周期一致(都是1)，其形貌如下圖(左)所示：

我們已經知道，周期延拓采樣脈沖的頻譜仍未采樣脈沖如上圖(右)所示。現在就可以做一個有意思的事情：周期延拓在數學上可以看成是一個有限長的信號(長度即為周期)和一個同樣周期的無限長采樣脈沖的卷積。什么意思呢？看一個圖就一目了然了：

感興趣的可以用卷積的數學定義推導一下看看是不是這樣，很簡單的。由卷積定理我們知道，卷積和乘積在時域和頻域是對偶的，也就是說剛才我們所做的周期延拓(時域卷積)在頻域是乘積哦，具體如下圖所示。

所以最終得到的經過周期延拓的加窗信號及其頻譜如下圖所示。可以看出，進過周期延拓，加窗導致的頻譜泄漏似乎得到了抑制，加窗對頻譜沒什么影響。

事實是不是這樣呢？——直覺告訴我們應該不是。我們之所以最終得到這個結論，是因為我們選的初始函數太簡單了。余弦函數是周期信號，頻譜是有限寬度的，如果窗函數的寬度是信號周期的整數倍，則頻域采樣(時域周期延拓)將正好采在sinc函數的從瓣取值為零的地方，泄漏的頻譜沒有采到而已，具體如下圖所示。

可能心細有童鞋會有疑問，為啥主瓣的最大值會有一定的偏移？——原因就是sinc函數主瓣和從瓣的周期不一樣，卷積時主瓣與從半疊加，最大值就偏移了。

實際工程中，我們可能不知道被處理信號的周期，或者壓根就不是周期的信號，那會出現什么呢？現在假如我們把窗函數加寬，比如增加到原來的1.4倍，如下圖所示：

則可以得到加窗后的信號及頻譜為：

加窗并進行周期延拓后的信號及頻譜為：

可見，由于窗函數寬度和原信號周期不一致，加窗后的信號進行周期延拓時出現了不連續，頻域采樣時不像前面那樣只采集到sinc為零的地方，頻譜出現了較大的泄漏，如下圖所示。

實際工程上絕大多數信號都不是周期信號，也不是有限長信號，而是我們只能觀察有限長度而已。要想不出現頻譜泄漏，需要窗函數長度是被處理信號頻譜所有分量的整數倍，這幾乎是不能達到的。因此加窗后，頻譜泄漏是不可避免的，只能盡量減小。本節中所用的算例來自離散傅里葉變換DFT基本原理圖解，感興趣請前往閱讀。

三、窗函數都有哪些

最開始我們介紹了一個理想的低通濾波器，在頻域內其幅值響應是一個矩形。這個矩形進行傅里葉逆變換，發現單位沖擊響應有無窮多個，我們沒辦法，用了一個矩形窗進行截短，注意著兩個矩形不是同一個事情哦，一個是幅值響應(頻域)，一個截短函數(時域)，只不過樣子都呈現矩形。

現在我們都放在頻域來看：首先時域矩形函數在頻域為sinc函數，時域的矩形函數截短(乘積)在頻域對應卷積。也就是說在頻域里，脈沖響應截短后的濾波器頻域幅值響應是矩形信號和sinc信號的卷積，仔細想想這段話哦！下圖展示了卷積之后的信號的樣子。

可以想象：假設窗函數寬度無窮大，則對應的sinc函數無窮窄，則卷積之后的函數非常接近理想矩形；反之，若窗函數很窄，在sinc函數就會變得很寬，則卷積之后的函數與理想矩形差別就比較大，這就是傳說中的不確定原理哦，具體可參照：J Pan：如何理解不確定性原理—不確定or測不準？?zhuanlan.zhihu.com

那什么樣的窗函數比較好呢？——在頻域看就是要能量相對集中，也就是旁瓣要低。因為出現泄漏的主要原因就是窗函數的頻譜是無限長的，與信號的頻譜卷積時，主瓣與從瓣會出現疊加，因此從瓣的能量越小，影響就越小。在時域看就是加窗后的函數在進行周期延拓時盡量不要有非連續，因為非連續就需要很多分量來模擬，就造成了頻譜泄露。那什么樣函數的頻譜主瓣能量較集中呢？——主要有以下是幾種常見的窗函數：矩形窗、漢寧窗、漢明窗、凱撒窗等。

這些窗函數對應的頻譜分別為：

現在我們拿漢寧窗(Hanning)來舉個例子。還是原來的余弦函數

，

，

。假設窗函數的寬度

，Hanning窗窗函數及其頻譜為：

可見其頻譜中主瓣能量與矩形窗比，集中了很多。余弦信號采樣、加窗之后的信號及其頻譜為：

由于Hanning窗從零開始，結束的時候也是零，因此加窗之后的信號開始和結束也都是零，連續性好了，從頻譜看，泄漏也少了。這個從周期延拓后(DTFT)的信號與頻譜看的更清楚。

四、如何基于窗函數法設計FIR

這篇文章中，我們主要說怎么較為精確的設計一個FIR，我們花了大量篇幅說了窗函數，這是因為窗函數在實際的工程應用中很多，比如基于窗函數的FIR就是FIR設計中最廣泛運用的一個方法。接下來，我們要介紹一下什么是用窗函數設計FIR。

在文章開始的時候，我們已經介紹了，對于理想低通濾波器，其脈沖響應為sinc函數，且有無窮多個，我們必須加窗才能處理，加窗就會有一定的頻譜泄漏，因此實際設計出來的濾波器和理想濾波器還是有差別的。

基于窗函數的FIR設計就是通過選擇合適常函數來找到滿足要求的濾波器，一般步驟是這樣的：

1)確定頻域的響應函數

，低通、高通、帶通或者其他；

2)確定頻域的響應函數

的傅里葉逆變換，找到連續脈沖響應函數

；

3)對脈沖響應函數

按照一定的采樣頻率進行采樣，獲得離散信號

；

4)選擇合適的窗函數，對離散信號

加窗，獲得有限長度的脈沖響應

；

當然實際實踐中，我們只需要知道這個過程，具體細節不需要我們考慮，因為MATLAB提供了一個強大的函數，幫我們都做好了——fir1。

fir1的基本語法如下：h = fir1(n,Wn,ftype,window)

其中n表示濾波器的階數(order)，Wn表示歸一化后的濾波器的截止頻率，可表示成

的形式。舉個例子，比如一個帶狀濾波器，采樣頻率

是200Hz，兩個截止頻率分別為10Hz和50Hz，則

，即截止頻率除以

。ftype表示濾波器類型，可以是lowpass, highpass, bandpass, bandstop, or multiband filter。window表示窗函數類型，前面我們列到的窗函數都可以選擇。h為所設計的濾波器的系數。

舉個簡單的例子：

h = fir1(48,[0.35 0.65]);

freqz(h,1,512)

這是一個48階的帶通濾波器，歸一化的截止頻率為[0.35 0.65]，其幅值響應和相位響應如下圖所示。

可見，采用fir1函數設計FIR濾波器非常方便。

除了fir1函數，fir2函數也有時候會用到，fir2函數是什么意思呢？——我們稱之為基于頻率采樣法的設計方法，具體做法就是：把濾波器期望的幅值響應用一組分立的點

來表示，

表示頻率為

時的期望幅值響應，然后在不同的點之間進行線性插值，得到完成的期望幅值響應，然后進行傅里葉逆變換并用Hamming(漢明窗)截短來獲得濾波器的系數。

基本語法為：h = fir2(n,f,m)

n表示濾波器階數，f表示分離點的矢量，m表示分立點對應的幅值響應矢量，舉個例子就明白了。現在要設計一個低通濾波器，幅值響應如下圖所示：

顯然四個特征點的坐標分別為(0,1), (0.2,1), (0.2,0), (1,0) ，于是我們可以獲得分立點的矢量為f=[0 0.2 0.2 1] ，對應幅值響應矢量為m=[1 1 0 0]。

f=[0 0.2 0.2 1] ;

m=[1 1 0 0];

h = fir2(48,f,m);

freqz(h,1)

五、如何基于響應最優法設計FIR

前面我們說了兩種基于窗函數的方法，主要是用窗函數對無限長的脈沖進行截短，獲得近似的頻域響應。除了窗函數法，還有另外的一種解決方案也比較常用，我們稱之為“最優法”，主要思路就是找到一組脈沖響應，讓它的頻域響應

與期望的濾波器的頻域響應

盡可能的一致，主要通過兩種方法來實現，一個是最小二乘法，另一個是切比雪夫法。

(一)最小二乘法

與頻率采樣法近似，期望的頻率響應用一組分立的點

來表示，在不同的點之間進行插值，然后來尋找濾波器的系數

時期滿足

其中

為不同頻率下的權重。

MATLAB指令為：h=firls(n,f,m)

n為濾波器階數，f表示分離點的矢量，m表示分立點對應的幅值響應矢量。仍以前面說的低通濾波器為例：

f=[0 0.2 0.2 1] ;

m=[1 1 0 0];

h = firls(48,f,m);

freqz(h,1)

(二)切比雪夫法(又叫帕克斯-麥克勞林法)

與最小二乘法不同(方差最小)，切比雪夫法采用的方案是最大誤差最小，即：

MATLAB指令為：h=firpm(n,f,m)

n、f、m定義和前面一致，不同的是頻率響應在同一頻率下必須去不同的值。前面的例子中當頻率為0.2(歸一化后)時，頻率響應可直接從1降到0，對于切比雪夫法，規定不能這樣做，我們將第二個0.2改為0,21。

f=[0 0.2 0.21 1] ;

m=[1 1 0 0];

h = firpm(48,f,m);

freqz(h,1)

六、如何利用MATLAB設計FIR濾波器

要想快速設計一個FIR濾波器，MATLAB可以說是一個最有利的幫手，當你知道較多濾波器知識和相關函數時，可以直接調用函數進行設計，靈活且方便。當你不知道時，也沒有關系，打開MATLAB，在命令行輸入：filterDesigner或者fdatool(老版MATLAB)，你就能看到如下界面：

通過勾勾選選就能設計濾波器哦！

如果你又進步了一點，已經設計出一個濾波器，相看看性能怎么樣，也簡單，打開MATLAB，輸入：fvtool(h)，h就是你設計的濾波器的系數，你就會看到各種你想要的濾波器特性：幅值響應、相位響應、脈沖響應、零極點等等。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的fir1截止频率计算_如何快速设计一个FIR滤波器（二）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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