核心：

牛頓-拉夫遜法在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。

其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)地對相應(yīng)的線性方程式進行求解的過程，即通常所稱的逐次線性化過程。是數(shù)值計算普遍使用的重要方法，以開方運算為例，求平方根不是四則運算，因此在計算機上求平方根使用牛頓-拉夫遜迭代法來轉(zhuǎn)化為四則運算進行求解。

將非線性代數(shù)方程組

???????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(1)

?? 在待求量? 的某一個初始估計值?附近，展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到線性化方程組

???????????????? ? ? ? ??(2)

? 稱為牛頓法的修正方程式

由上式根據(jù)初值?? 可求得第一次迭代的修正量

? ? ? ? ? ?(3)

將?和?相加，得到變量的第一次改進值

牛頓法求解的迭代格式為

? ? ? (4)

? ? ? ?(5)

(4) 和（5）兩式中??是函數(shù)?關(guān)于?的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣

即jacobi matrit雅可比矩陣 ? ?? 是迭代次數(shù)

牛頓法當(dāng)初值 ?和方程的精確解足夠接近時，具有平方收斂特性。?

如下圖：

所求??，經(jīng)常被拿來，做cost function?

如果上面的解釋仍然不是很明確的話，下面給出更詳細清楚的說法

假定 ?a > 0 ,求 ?等價于解方程

給定一個初始近似值??令

? 是一個校正量，稱為增量，于是

? ? 即 ?

由于 ?是一個小量，如果省略高階項 ? ?，則得到

即?

于是?

這里 不是 的真值， 但是是真值 ?的 進一步近似，重復(fù)以上過程可得到迭代公式

? ? ? ??

逐次求得 ? ? ? ?若

則?，容易證明序列對于任意?均收斂

簡單python 2.7代碼如下：

x=float(input("sqrt root for:"))

guess=20 while abs(guess*guess-x)>0.05:guess=(guess + x/guess)/2print(guess,guess*guess) print guess

改變 guess 以及 近似誤差(epsilon)，都會對求解過程產(chǎn)生影響。

以下貼一個二分查找求平方根:

def pow(x,epsilon):numGuesses=0low=0.0high=xans=(high + low)/2.0while abs(ans**2 - x)>=epsilon:numGuesses +=1print "high is " + str(high) + " low is " + str(low) + " ans " + str(ans)if ans**2 <x:low = anselse:high=ansans=(high + low)/2.0print ans print numGuesses

改變 guess 以及 近似誤差，都會對求解過程產(chǎn)生影響。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的牛顿-拉夫逊简单解释的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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