图像的小波变换处理（一）
目錄
1 、小波變換的基本概念
2、 連續小波變換
1 、小波變換的基本概念
信號分析：獲得時間和頻率之間的相互關系。
傅立葉變換：提供頻率域的信息，但有關時間的局部化信息卻基本丟失。
小波變換：縮放母小波的寬度來獲得信號的頻率特征，平移母小波來獲得信號的時間信息。縮放和平移操作是為了計算小波系數，小波系數反映了小波和局部信號之間的相關度程度。
小波Wvlt(Wavelet)，“小波”就是小區域、長度有限、均值為0的波形。
所謂“小”是指它具有減衰性；而稱之為“波”是它則是指它的動波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。
小波變換可以采用多種小波函數，其中 haar 小波變換就是基于Haar小波函數的小波變換。
Haar 小波函數：
各種小波函數示圖。?
?墨西哥帽小波
?離散小波變換將一幅圖象分解為大小，位置和方向都不同的分量。一個圖像作小波分解后，可得一系列不同分辨率的子圖像，小波變換正是沿著多分辨率這條線發展起來的。
一幅地圖的尺度是地域實際大小與它在地圖上表示的比值，地圖通常以不同尺度來描述。例如大小一樣的世界地圖、中國地圖、市區地圖，尺度不一樣，表示的精細程度也不一樣，尺度越大看到大致的概貌，尺度越小看到的是越細的東西，尺度實際上就是比例的縮放。
?小波變換進行圖像分解
?與Fourier變換相比:小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意節細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。
小波：一類在有限區間內快速衰減到0的函數，平均值為0，小波趨于不規則、不對稱。
正弦波：從負無窮一直延續到正無窮，平滑而且可預測的。
小波和正弦波形狀看出：變化劇烈的信號用不規則的小波分析比用平滑的正弦波更好，用小波更能描述信號的部局特征。
連續小波變換（Continuous Wavelet Transform，? WCWT）：?
?小波變換：信號(f(x)與被縮放和平移的小波函數(ψ()之積在信號存在的整個期間里求和的結果。CWT的變換結果是小波系數C，這些系數是縮放因子）和平移的函數。小波變換信號取全部，但小波衰減到零，信號函數f(t)與小波零的信息相乘為零，只有靠近小波移到的中心位置附近的點才有值，小波的值與信號的值相乘累加取和就是小波變換的值（小波系數）。這里和傅里葉變換信號乘正弦波函數所對應的值形式一樣。
小波變換累加求和不是每個值都算，小波衰減到0，很多地方都是0，只有小波有值的地方才有值，所以是局部信號分析。
2、 連續小波變換
一維連續小波變換?
a是縮放的尺度，b是平移的位置， ψ是小波函數。所有時間域上的信號值與小波函數相乘累加取和就是對應的小波系數。
?一維連續小波逆換
?墨西哥帽小波
?
?一維離散小波變換
?
二進小波變換(縮放因子a取的是2)
?
?二維連續小波變換
?
?二維連續小波逆變換
?小波變換---縮放
縮放：壓縮或伸展基本小波，縮放系數越小，則小波越窄。?
第一個f(t)是縮放比例為1的 ψ(t)
第二個f(t)是縮放比例為0.5的 ψ(2t)
第三個f(t)是縮放比例為0.25的 ψ(4t)
小波變換---平移
平移：小波的延遲或超前。在數學上， 函數f(t)遲延遲k的表達式為f(t-k)。
?(a) 波數小波函數ψ(t)
?(b) 移的波數位移后的小波函數ψ(t-k)
?
?二維小波的二進小波變換，不斷的縮小，不斷的平移。以第一幅圖為中心做一次小波變換，在小波變換的一次左上角上把中心移到它這個圖的中心，再進行一次小波變換。小波每進行一次變換中心都進行了一次平移。
小波變換—步驟
CWT計算主要有如下五個步驟：?
1)取一個小波，將其與原始信號的開始一節行較進行比較。
2)計算數值C，C表示小波與所取一節信號的相似程度，計算結果取決于所選小波的形狀。
3)向右移動小波，重復第一步和第二步，直覆蓋整個信號。
4)伸展小波，重復第一步至第三步。 ?
5)對于所有縮放，重復第一至第四步。
小波的縮放因子與信號頻率之間的關系：縮放因子scale越小，表示小波越窄，表示信號頻率越高,度量的是信號的細節變化；縮放因子scale越大，表示小波越寬，表示信號頻率越低,度量的是信號的粗糙程度。
雙通道子帶編碼:原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器組。
1）低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值A，也就是小波相當于伸展了，獲得當前低頻信號的特征，大致的輪廓性特征；
2）高通濾波器，通過該濾波器可得到信號的細節值D，也就是把小波伸縮了，獲得當前信號高頻的特征，壓縮方面的信號細節特征。
?
?近似值:是大的縮放因子計算的系數，表示信號的低頻分量。
細節值:是小的縮放因子計算的系數，表示信號的高頻分量。
實際應用中，信號的低頻分量往往是最重要，高頻分量只起一個修飾的作用。
?小波變換:可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，可以進行多級分解。
DWT(Discrete wavelet transform)離散小波變換
信號的多分辨率分析:如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進行連續分解，可得信號不同分辨率下的低頻分量。
?
?在每個縮放因子和平移參數下計算小波系數，計算量大，數據多，還有許多無用數據。選擇部分縮放因子和平移參數來進行計算，會使分析的數據量減少。
雙尺度小波變換:如果縮放因子和平移參數都選擇為2j（j>0且為整數）的倍數，在每個通道內（高通和低通道）每兩個樣本數據取一個，可得離散小波變換的系數。
?雙尺度小波變換
?小波分解：具體實現過程可以分別設計高通濾波器和低通濾波器，得到高頻系數和低頻系數，并且每分解一次數據的長度減半。
?利用各層系數進行信號分解過程，是將信號通過一系列的不同類型的濾波器，從而得到不同頻率范圍內的信號，及將信號分解。
對應于信號的多層小波分解：
?小波重構：利用信號的小波分解的系數還原出原始信號（IDWT離散小波逆變換）。為分分解的逆過程，先進行增采樣，及在每兩個數之間插入一個0，與共軛濾波器卷積，最后對卷求結果。
?在應用程中，利用各層系數對信號進行重構（注意雖然系數數少于原信號點數，但是重構后的長度是一樣的），從而可有選擇性地觀看每一頻段的時域波形，確定沖擊成分所在頻率范圍。
二維離散小波變換
二維離散小波變換：是一維離散小波變換的推廣，是將二維信號在不同尺度上的分解，得到原始信號的近似值和細節值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。分解的結果為：近似分量、水平細節分量、垂直細節分量和對角細節分量。
?用小波變換進行圖像分解
使用小波變換完成圖像分解的方法很多，例如，均勻分解、非均勻分解、八帶分解、波分等小波包分解等。
八帶分解：把低頻部分分解成比較窄的頻帶，而對每一級分解得到的高頻部分不再進一步分解。
小波去噪
使用小波分析可以將原始信號分解為一系列的似量分量和細節分量，信號的噪聲主要集中表現在信號的細分節分量上。使用一定的閾值處理細節分量后，再經過小波重構就可以得到平滑的信號。
方法：硬門限：當數據的絕對值小于給定的門時限時令其為零,而數據為其他值時不變。軟門限:當數據的絕對值小于給定的門時限時,令其為零,然后把其他數據點向零縮收縮
?圖像增強問題主要通過空域和頻域處理兩種方法。
空域法：方便快速，但會丟失很多點與點之間的相關信息。
頻域法：詳細地分離出點之間的相關性，計算量大。基于原始圖像尺度上所有點的變換，但
對于問題本身的要求，不需要這么大的分辨率，而單純的空域分析又顯得太粗糙。
小波變換:是一種時間－尺度分析方法，而且具有多分辨率的特點，在處理時所進行的是空域和頻域的局部變換。
小波變換不同于傅立葉變換，小波系數于原始圖象存在著空間上的對應關系，因此對于濾波處理十分有利，通過了解小波系數的分布情況，利用不同的濾波小波系數，經過逆變換后可以得到理想的處理結果。
一般的傅里葉算法，一般可以是IIIR波濾波和IFIR濾波。兩者各有優缺點，而小波的消噪，一般也是由多層分解閾值策略組成。要了解信號的特點，噪聲的特點，然后確定用不用小波，或用什么小波。這點上，小波的優勢并不是很顯明顯。
小波壓縮
???? 壓縮小波最大的優勢。小波包是從頻域上實現的。從時域上，我們也可采用類似的分裂和并算法，來實信號最優的表達。
?????? 傅里葉變換的壓縮，已經廣泛應用了。簡化版本就是DCT變換。而小波的提出，也就使DCT有些相形見拙。
小波變換與傅里葉變換比較
傅里葉變換：用正弦函數的和來表示，只在頻域上是局部的。
短時傅里葉變換 (STFT)也是時域和頻域都局部化的.但有些頻率和時間的分辨率問題。
小波：在時域和頻域都是局部的。通常過通過多分辨率分析出信號更好的表示。
對于平穩信號，傅里葉再好不過了。它反映的是信號總體的整個時間段的特點。在頻率上，是點頻的。
對于非平穩信號，它就無能為力了。而小波恰好對此派上用場。小波是反映信號，某個時間段的特點的。在頻域上，是某個頻率段的表現。但小波，作為頻譜分析的確存在很多問題。
離散小波變換種類
?連續小波變換種類
墨西哥帽小波
?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的图像的小波变换处理（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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