目錄

1 、小波變換的基本概念

2、 連續(xù)小波變換

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1 、小波變換的基本概念

信號(hào)分析：獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系。
傅立葉變換：提供頻率域的信息，但有關(guān)時(shí)間的局部化信息卻基本丟失。
小波變換：縮放母小波的寬度來獲得信號(hào)的頻率特征，平移母小波來獲得信號(hào)的時(shí)間信息。縮放和平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，小波系數(shù)反映了小波和局部信號(hào)之間的相關(guān)度程度。

小波Wvlt(Wavelet)，“小波”就是小區(qū)域、長(zhǎng)度有限、均值為0的波形。
所謂“小”是指它具有減衰性；而稱之為“波”是它則是指它的動(dòng)波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。

小波變換可以采用多種小波函數(shù)，其中 haar 小波變換就是基于Haar小波函數(shù)的小波變換。

Haar 小波函數(shù)：

各種小波函數(shù)示圖。?

?墨西哥帽小波

?離散小波變換將一幅圖象分解為大小，位置和方向都不同的分量。一個(gè)圖像作小波分解后，可得一系列不同分辨率的子圖像，小波變換正是沿著多分辨率這條線發(fā)展起來的。
一幅地圖的尺度是地域?qū)嶋H大小與它在地圖上表示的比值，地圖通常以不同尺度來描述。例如大小一樣的世界地圖、中國(guó)地圖、市區(qū)地圖，尺度不一樣，表示的精細(xì)程度也不一樣，尺度越大看到大致的概貌，尺度越小看到的是越細(xì)的東西，尺度實(shí)際上就是比例的縮放。

?小波變換進(jìn)行圖像分解

?與Fourier變換相比:小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意節(jié)細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。

小波：一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，平均值為0，小波趨于不規(guī)則、不對(duì)稱。
正弦波：從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，平滑而且可預(yù)測(cè)的。
小波和正弦波形狀看出：變化劇烈的信號(hào)用不規(guī)則的小波分析比用平滑的正弦波更好，用小波更能描述信號(hào)的部局特征。

連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform，? WCWT）：?

?小波變換：信號(hào)(f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)(ψ()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子）和平移的函數(shù)。小波變換信號(hào)取全部，但小波衰減到零，信號(hào)函數(shù)f(t)與小波零的信息相乘為零，只有靠近小波移到的中心位置附近的點(diǎn)才有值，小波的值與信號(hào)的值相乘累加取和就是小波變換的值（小波系數(shù)）。這里和傅里葉變換信號(hào)乘正弦波函數(shù)所對(duì)應(yīng)的值形式一樣。

小波變換累加求和不是每個(gè)值都算，小波衰減到0，很多地方都是0，只有小波有值的地方才有值，所以是局部信號(hào)分析。

2、 連續(xù)小波變換

一維連續(xù)小波變換?

a是縮放的尺度，b是平移的位置， ψ是小波函數(shù)。所有時(shí)間域上的信號(hào)值與小波函數(shù)相乘累加取和就是對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)。

?一維連續(xù)小波逆換

?墨西哥帽小波

?

?一維離散小波變換

?

二進(jìn)小波變換(縮放因子a取的是2)

?

?二維連續(xù)小波變換

?

?二維連續(xù)小波逆變換

?小波變換---縮放

縮放：壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄。?

第一個(gè)f(t)是縮放比例為1的 ψ(t)

第二個(gè)f(t)是縮放比例為0.5的 ψ(2t)

第三個(gè)f(t)是縮放比例為0.25的 ψ(4t)

小波變換---平移

平移：小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上， 函數(shù)f(t)遲延遲k的表達(dá)式為f(t-k)。

?(a) 波數(shù)小波函數(shù)ψ(t)

?(b) 移的波數(shù)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)

?

?二維小波的二進(jìn)小波變換，不斷的縮小，不斷的平移。以第一幅圖為中心做一次小波變換，在小波變換的一次左上角上把中心移到它這個(gè)圖的中心，再進(jìn)行一次小波變換。小波每進(jìn)行一次變換中心都進(jìn)行了一次平移。

小波變換—步驟

CWT計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟：?
1)取一個(gè)小波，將其與原始信號(hào)的開始一節(jié)行較進(jìn)行比較。
2)計(jì)算數(shù)值C，C表示小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀。
3)向右移動(dòng)小波，重復(fù)第一步和第二步，直覆蓋整個(gè)信號(hào)。
4)伸展小波，重復(fù)第一步至第三步。 ?
5)對(duì)于所有縮放，重復(fù)第一至第四步。

小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系：縮放因子scale越小，表示小波越窄，表示信號(hào)頻率越高,度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化；縮放因子scale越大，表示小波越寬，表示信號(hào)頻率越低,度量的是信號(hào)的粗糙程度。

雙通道子帶編碼:原始的輸入信號(hào)，通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組。
1）低通濾波器，通過該濾波器可得到信號(hào)的近似值A(chǔ)，也就是小波相當(dāng)于伸展了，獲得當(dāng)前低頻信號(hào)的特征，大致的輪廓性特征；
2）高通濾波器，通過該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值D，也就是把小波伸縮了，獲得當(dāng)前信號(hào)高頻的特征，壓縮方面的信號(hào)細(xì)節(jié)特征。

?

?近似值:是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量。

細(xì)節(jié)值:是小的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。

實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的低頻分量往往是最重要，高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。

?小波變換:可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號(hào)經(jīng)過一對(duì)互補(bǔ)的濾波器組進(jìn)行的分解稱為一級(jí)分解，可以進(jìn)行多級(jí)分解。

DWT(Discrete wavelet transform)離散小波變換
信號(hào)的多分辨率分析:如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解，而對(duì)低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解，可得信號(hào)不同分辨率下的低頻分量。

?

?在每個(gè)縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，計(jì)算量大，數(shù)據(jù)多，還有許多無用數(shù)據(jù)。選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量減少。
雙尺度小波變換:如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j>0且為整數(shù)）的倍數(shù)，在每個(gè)通道內(nèi)（高通和低通道）每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，可得離散小波變換的系數(shù)。

?雙尺度小波變換

?小波分解：具體實(shí)現(xiàn)過程可以分別設(shè)計(jì)高通濾波器和低通濾波器，得到高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，并且每分解一次數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度減半。
?利用各層系數(shù)進(jìn)行信號(hào)分解過程，是將信號(hào)通過一系列的不同類型的濾波器，從而得到不同頻率范圍內(nèi)的信號(hào)，及將信號(hào)分解。

對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解：

?小波重構(gòu)：利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)（IDWT離散小波逆變換）。為分分解的逆過程，先進(jìn)行增采樣，及在每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間插入一個(gè)0，與共軛濾波器卷積，最后對(duì)卷求結(jié)果。

?在應(yīng)用程中，利用各層系數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)（注意雖然系數(shù)數(shù)少于原信號(hào)點(diǎn)數(shù)，但是重構(gòu)后的長(zhǎng)度是一樣的），從而可有選擇性地觀看每一頻段的時(shí)域波形，確定沖擊成分所在頻率范圍。

二維離散小波變換

二維離散小波變換：是一維離散小波變換的推廣，是將二維信號(hào)在不同尺度上的分解，得到原始信號(hào)的近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號(hào)是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為：近似分量、水平細(xì)節(jié)分量、垂直細(xì)節(jié)分量和對(duì)角細(xì)節(jié)分量。

?用小波變換進(jìn)行圖像分解

使用小波變換完成圖像分解的方法很多，例如，均勻分解、非均勻分解、八帶分解、波分等小波包分解等。
八帶分解：把低頻部分分解成比較窄的頻帶，而對(duì)每一級(jí)分解得到的高頻部分不再進(jìn)一步分解。

小波去噪

使用小波分析可以將原始信號(hào)分解為一系列的似量分量和細(xì)節(jié)分量，信號(hào)的噪聲主要集中表現(xiàn)在信號(hào)的細(xì)分節(jié)分量上。使用一定的閾值處理細(xì)節(jié)分量后，再經(jīng)過小波重構(gòu)就可以得到平滑的信號(hào)。

方法：硬門限：當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于給定的門時(shí)限時(shí)令其為零,而數(shù)據(jù)為其他值時(shí)不變。軟門限:當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于給定的門時(shí)限時(shí),令其為零,然后把其他數(shù)據(jù)點(diǎn)向零縮收縮

?圖像增強(qiáng)問題主要通過空域和頻域處理兩種方法。
空域法：方便快速，但會(huì)丟失很多點(diǎn)與點(diǎn)之間的相關(guān)信息。
頻域法：詳細(xì)地分離出點(diǎn)之間的相關(guān)性，計(jì)算量大。基于原始圖像尺度上所有點(diǎn)的變換，但
對(duì)于問題本身的要求，不需要這么大的分辨率，而單純的空域分析又顯得太粗糙。
小波變換:是一種時(shí)間－尺度分析方法，而且具有多分辨率的特點(diǎn)，在處理時(shí)所進(jìn)行的是空域和頻域的局部變換。

小波變換不同于傅立葉變換，小波系數(shù)于原始圖象存在著空間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此對(duì)于濾波處理十分有利，通過了解小波系數(shù)的分布情況，利用不同的濾波小波系數(shù)，經(jīng)過逆變換后可以得到理想的處理結(jié)果。

一般的傅里葉算法，一般可以是IIIR波濾波和IFIR濾波。兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)，而小波的消噪，一般也是由多層分解閾值策略組成。要了解信號(hào)的特點(diǎn)，噪聲的特點(diǎn)，然后確定用不用小波，或用什么小波。這點(diǎn)上，小波的優(yōu)勢(shì)并不是很顯明顯。

小波壓縮

???? 壓縮小波最大的優(yōu)勢(shì)。小波包是從頻域上實(shí)現(xiàn)的。從時(shí)域上，我們也可采用類似的分裂和并算法，來實(shí)信號(hào)最優(yōu)的表達(dá)。
?????? 傅里葉變換的壓縮，已經(jīng)廣泛應(yīng)用了。簡(jiǎn)化版本就是DCT變換。而小波的提出，也就使DCT有些相形見拙。

小波變換與傅里葉變換比較

傅里葉變換：用正弦函數(shù)的和來表示，只在頻域上是局部的。

短時(shí)傅里葉變換 (STFT)也是時(shí)域和頻域都局部化的.但有些頻率和時(shí)間的分辨率問題。
小波：在時(shí)域和頻域都是局部的。通常過通過多分辨率分析出信號(hào)更好的表示。

對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，傅里葉再好不過了。它反映的是信號(hào)總體的整個(gè)時(shí)間段的特點(diǎn)。在頻率上，是點(diǎn)頻的。
對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，它就無能為力了。而小波恰好對(duì)此派上用場(chǎng)。小波是反映信號(hào)，某個(gè)時(shí)間段的特點(diǎn)的。在頻域上，是某個(gè)頻率段的表現(xiàn)。但小波，作為頻譜分析的確存在很多問題。

離散小波變換種類

?連續(xù)小波變換種類

墨西哥帽小波

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像的小波变换处理（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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