文章目錄

• 前言
• 一、非線性系統的擴散耦合
• 二、不同系統間的混沌同步
• 三、混沌同步結果

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前言

混沌是確定性系統中，有限相空間內的高度不穩定運動。自1963年Lorenz證明大氣對流模型中存在混沌，非線性系統的混沌被廣泛研究。人們一方面希望電路產生混沌，另一方面又希望混沌是可控的，以此來達到混沌通信或者混沌控制的目的，因此混沌同步是必不可少的。1991年，美國海軍實驗室的Pecora和Carroll研究 𝑛 維動態系統驅動同步問題時，得出了子系統同步的必要條件：子系統分量的李亞普諾夫指數全為負。本文是非線性系統混沌同步的MATLAB仿真。

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一、非線性系統的擴散耦合

首先考慮典型參數的Lorenz系統和Rossler系統，系統設置詳見以往的文章MATLAB混沌系統仿真其一：Lorenz系統和Rossler系統。根據文章的研究結果，典型參數下，相同系統主從式驅動時，其響應系統的三個分量的李亞普諾夫指數分別如下：

因此使用$y$分量驅動的Rossler系統、使用$x$或$z$分量驅動的Lorenz系統可以混沌同步。利用混沌同步進行電路通信的仿真與實驗也早已做出。

二、不同系統間的混沌同步

在他們后續的研究中，混沌的同步可以拓展到更大范圍，比如完全不同的兩個非線性系統，在合適的條件下驅動也可以達成混沌同步(可見其97年的相關專著)，當然，通常是增加注入強度。

這就非常有意思了，不妨仿真其在文章中證明可以同步的系統：這里采用擴散耦合的方式使用Rossler系統的$y$分量驅動Lorenz系統：

Rossler系統Lorenz系統

$d{x}_1=?\left(y_1+z_1\right)$	$d{x}_2=?\sigma \left(x_2?y_2\right)$
$d{y}_1=x_1+a{y}_1$	$d{y}_2=r{x}_2?y_2?x_2{z}_2+K(y_2?y_1)$
$d{z}_1=b+z\left(x_1?c\right)$	$d{z}_2=?\beta z_2+x_2{y}_2$

其中$K$是耦合強度。
驅動的Rossler系統直接使用定步長的ode45函數計算，方便簡潔，可參考以下程序：

y0=[1;0;1];%初值矩陣 tspan=0:0.001:200; k=40;%耦合強度 t0=100;%注入時間 [t,y]=ode45(@rossler,tspan,y0);

Rossler的吸引子如下，可以看出，與Lorenz的蝴蝶型吸引子完全不相同。

而對于從系統，只需要在之前文章MATLAB混沌系統仿真其一：Lorenz系統和Rossler系統的基礎上，修改Lorenz系統公式，加入上述Rossler系統$y$分量的擴散耦合項，然后進行正常迭代求解即可。

同時，為了追求更直觀地顯示結果，這里修改了以前其一中寫的rk4函數(使用ode也可以完成)，將注入時間設定為100，然后不斷增加注入強度，觀察兩個系統輸出的$y$分量波形的比較。

修改后的完整程序已經上傳，可以直接下載運行對應程序

三、混沌同步結果

可以看出，在非線性系統中，使用子系統驅動另一個非線性系統(就像此處的使用Rossler系統的$y$分量驅動Lorenz的$y$分量)，在耦合強度$K$足夠大，超過臨界耦合條件，可以達成兩系統的同步。

不同的驅動方式和不同的系統在混沌同步中具有不同的表現，耦合方式也不僅有擴散耦合，如Deniz Eroglu在17年的論文里直接使用兩個初值不同的Lorenz系統，但兩個系統的$x$分量相同。本文的混沌同步是不完全的同步(因為驅動-響應并非相同的系統)，屬于廣義同步，但是這樣的同步已經足夠用于通信。在一些文章的理論分析與實驗結果中，驅動-響應系統越接近，則同步效果越好。電路系統可以輕易達成混沌同步，但由于帶寬限制和衰減，電路的混沌通信受到嚴重限制，全光混沌通信雖然對器件的要求更高，但是其通信的高速率與高帶寬，使其在未來更具有潛力。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB系统仿真其三：Lorenz和Rossler系统混沌同步的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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