高效進行模冪運算

文章目錄

• • 高效進行模冪運算
  • 一、題目描述
  • 二、分析
  • 三、代碼

一、題目描述

你的任務是計算 a^b 對 1337 取模，a 是一個正整數，b 是一個非常大的正整數且會以數組形式給出。

示例 1:

輸入: a = 2, b = [3] 輸出: 8

示例 2:

輸入: a = 2, b = [1,0] 輸出: 1024

二、分析

單就這道題可以有三個難點：

• 一是如何處理用數組表示的指數，現在 b 是一個數組，也就是說 b可以非常大，沒辦法直接轉成整型，否則可能溢出。你怎么把這個數組作為指數，進行運算呢？
• 二是如何得到求模之后的結果？按道理，起碼應該先把冪運算結果算出來，然后做 % 1337 這個運算。但問題是，指數運算你懂得，真實結果肯定會大得嚇人，也就是說，算出來真實結果也沒辦法表示，早都溢出報錯了。
• 三是如何高效進行冪運算，進行冪運算也是有算法技巧的，如果你不了解這個算法，后文會講解。

那么對于這幾個問題，我們分開思考，逐個擊破。

如何處理數組指數：

• 首先明確問題：現在 b 是一個數組，不能表示成整型，而且數組的特點是隨機訪問，刪除最后一個元素比較高效。
• 不考慮求模的要求，以 b = [1,5,6,4] 來舉例，結合指數運算的法則，我們可以發現這樣的一個規律：

看到這，我們的老讀者肯定已經敏感地意識到了，這就是遞歸的標志呀！因為問題的規模縮小了：

superPow(a, [1,5,6,4]) => superPow(a, [1,5,6])

那么，發現了這個規律，我們可以先簡單翻譯出代碼框架：

// 計算 a 的 k 次方的結果 // 后文我們會手動實現 int mypow(int a, int k);int superPow(int a, vector<int>& b) {// 遞歸的 base caseif (b.empty()) return 1;// 取出最后一個數int last = b.back();b.pop_back();// 將原問題化簡，縮小規模遞歸求解int part1 = mypow(a, last);int part2 = mypow(superPow(a, b), 10);// 合并出結果return part1 * part2; }

到這里，應該都不難理解吧！我們已經解決了 b 是一個數組的問題，現在來看看如何處理 mod，避免結果太大而導致的整型溢出。

如何處理 mod 運算：

• 首先明確問題：由于計算機的編碼方式，形如 (a * b) % base這樣的運算，乘法的結果可能導致溢出，我們希望找到一種技巧，能夠化簡這種表達式，避免溢出同時得到結果。
• 比如在二分查找中，我們求中點索引時用 (l+r)/2 轉化成 l+(r-l)/2，避免溢出的同時得到正確的結果。
• 那么，說一個關于模運算的技巧吧，畢竟模運算在算法中比較常見：
  (a * b) % k = (a % k)(b % k) % k

證明很簡單，假設： a = Ak +B；b = Ck + D其中 A,B,C,D 是任意常數，那么： ab = ACk^2 + ADk + BCk +BDab % k = BD % k又因為： a % k = B；b % k = D所以： (a % k)(b % k) % k = BD % k 綜上，就可以得到我們化簡求模的等式了。

• 換句話說，對乘法的結果求模，等價于先對每個因子都求模，然后對因子相乘的結果再求模。
• 那么擴展到這道題，求一個數的冪不就是對這個數連乘么？所以說只要簡單擴展剛才的思路，即可給冪運算求模：

三、代碼

int base = 1337;// 計算 a 的 k 次方然后與 base 求模的結果 int mypow(int a, int k) {// 對因子求模a %= base;int res = 1;for (int _ = 0; _ < k; _++) {// 這里有乘法，是潛在的溢出點res *= a;// 對乘法結果求模res %= base;}return res; }int superPow(int a, vector<int>& b) {if (b.empty()) return 1;int last = b.back();b.pop_back();int part1 = mypow(a, last);int part2 = mypow(superPow(a, b), 10);// 每次乘法都要求模return (part1 * part2) % base; }

• 你看，先對因子 a 求模，然后每次都對乘法結果 res 求模，這樣可以保證 res *= a 這句代碼執行時兩個因子都是小于base 的，也就一定不會造成溢出，同時結果也是正確的。
• 至此，這個問題就已經完全解決了，已經可以通過 LeetCode 的判題系統了。
  但是有的讀者可能會問，這個求冪的算法就這么簡單嗎，直接一個 for 循環累乘就行了？復雜度會不會比較高，有沒有更高效地算法呢？
• 有更高效地算法的，但是單就這道題來說，已經足夠了。
• 因為你想想，調用 mypow 函數傳入的 k 最多有多大？k 不過是 b 數組中的一個數，也就是在 0 到 9 之間，所以可以說這里每次調用 mypow 的時間復雜度就是 O(1)。整個算法的時間復雜度是 O(N)，N 為 b 的長度。

如何高效求冪：
快速求冪的算法不止一個，就說一個我們應該掌握的基本思路吧。利用冪運算的性質，我們可以寫出這樣一個遞歸式：

• 這個思想肯定比直接用 for 循環求冪要高效，因為有機會直接把問題規模（b 的大小）直接減小一半，該算法的復雜度肯定是 log級了。
• 那么就可以修改之前的 mypow 函數，翻譯這個遞歸公式，再加上求模的運算：

int base = 1337;int mypow(int a, int k) {if (k == 0) return 1;a %= base;if (k % 2 == 1) {// k 是奇數return (a * mypow(a, k - 1)) % base;} else {// k 是偶數int sub = mypow(a, k / 2);return (sub * sub) % base;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高效进行模幂运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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