調度考生的座位

文章目錄

• • 調度考生的座位
  • 一、問題描述
  • 二、分析
  • 三、代碼
  • 四、進階問題
  • 五、最后總結

一、問題描述

先來描述一下題目：假設有一個考場，考場有一排共 N 個座位，索引分別是 [0..N-1]，考生會陸續進入考場考試，并且可能在任何時候離開考場。

你作為考官，要安排考生們的座位，滿足：每當一個學生進入時，你需要最大化他和最近其他人的距離；如果有多個這樣的座位，安排到他到索引最小的那個座位。這很符合實際情況對吧，

也就是請你實現下面這樣一個類：

class ExamRoom {// 構造函數，傳入座位總數 Npublic ExamRoom(int N);// 來了一名考生，返回你給他分配的座位public int seat();// 坐在 p 位置的考生離開了// 可以認為 p 位置一定坐有考生public void leave(int p); }

• 比方說考場有 5 個座位，分別是 [0…4]：
• 第一名考生進入時（調用 seat()），坐在任何位置都行，但是要給他安排索引最小的位置，也就是返回位置 0。
• 第二名學生進入時（再調用 seat()），要和旁邊的人距離最遠，也就是返回位置 4。
• 第三名學生進入時，要和旁邊的人距離最遠，應該做到中間，也就是座位 2。
• 如果再進一名學生，他可以坐在座位 1 或者 3，取較小的索引 1。
• 以此類推。
• 剛才所說的情況，沒有調用 leave 函數，不過讀者肯定能夠發現規律：
• 如果將每兩個相鄰的考生看做線段的兩端點，新安排考生就是找最長的線段，然后讓該考生在中間把這個線段「二分」，中點就是給他分配的座位。leave(p) 其實就是去除端點 p，使得相鄰兩個線段合并為一個。
• 核心思路很簡單對吧，所以這個問題實際上實在考察你對數據結構的理解。對于上述這個邏輯，你用什么數據結構來實現呢？

二、分析

• 根據上述思路，首先需要把坐在教室的學生抽象成線段，我們可以簡單的用一個大小為 2 的數組表示。
• 另外，思路需要我們找到「最長」的線段，還需要去除線段，增加線段。
• 但凡遇到在動態過程中取最值的要求，肯定要使用有序數據結構，我們常用的數據結構就是二叉堆和平衡二叉搜索樹了。
• 二叉堆實現的優先級隊列取最值的時間復雜度是 O(logN)，但是只能刪除最大值。平衡二叉樹也可以取最值，也可以修改、刪除任意一個值，而且時間復雜度都是 O(logN)。
• 綜上，二叉堆不能滿足 leave 操作，應該使用平衡二叉樹。所以這里我們會用到 一種數據結構 TreeSet，這是一種有序數據結構，底層由紅黑樹維護有序性。

首先，如果有多個可選座位，需要選擇索引最小的座位對吧？我們先簡化一下問題，暫時不管這個要求，實現上述思路。

• 這個問題還用到一個常用的編程技巧，就是使用一個「虛擬線段」讓算法正確啟動，這就和鏈表相關的算法需要「虛擬頭結點」一個道理。

// 將端點 p 映射到以 p 為左端點的線段 private Map<Integer, int[]> startMap;// 將端點 p 映射到以 p 為右端點的線段 private Map<Integer, int[]> endMap;// 根據線段長度從小到大存放所有線段 private TreeSet<int[]> pq; private int N;public ExamRoom(int N) {this.N = N;startMap = new HashMap<>();endMap = new HashMap<>();pq = new TreeSet<>((a, b) -> {// 算出兩個線段的長度int distA = distance(a);int distB = distance(b);// 長度更長的更大，排后面return distA - distB;});// 在有序集合中先放一個虛擬線段addInterval(new int[] {-1, N}); }/* 去除一個線段 */ private void removeInterval(int[] intv) {pq.remove(intv);startMap.remove(intv[0]);endMap.remove(intv[1]); }/* 增加一個線段 */ private void addInterval(int[] intv) {pq.add(intv);startMap.put(intv[0], intv);endMap.put(intv[1], intv); }/* 計算一個線段的長度 */ private int distance(int[] intv) {return intv[1] - intv[0] - 1; }

「虛擬線段」其實就是為了將所有座位表示為一個線段：

三、代碼

有了上述鋪墊，主要 API seat 和 leave 就可以寫了：

public int seat() {// 從有序集合拿出最長的線段int[] longest = pq.last();int x = longest[0];int y = longest[1];int seat;if (x == -1) { // 情況一seat = 0;} else if (y == N) { // 情況二seat = N - 1;} else { // 情況三seat = (y - x) / 2 + x;}// 將最長的線段分成兩段int[] left = new int[] {x, seat};int[] right = new int[] {seat, y};removeInterval(longest);addInterval(left);addInterval(right);return seat; }public void leave(int p) {// 將 p 左右的線段找出來int[] right = startMap.get(p);int[] left = endMap.get(p);// 合并兩個線段成為一個線段int[] merged = new int[] {left[0], right[1]};removeInterval(left);removeInterval(right);addInterval(merged); }

• 至此，算法就基本實現了，代碼雖多，但思路很簡單：找最長的線段，從中間分隔成兩段，中點就是 seat() 的返回值；找 p 的左右線段，合并成一個線段，這就是 leave(p) 的邏輯

四、進階問題

但是，題目要求多個選擇時選擇索引最小的那個座位，我們剛才忽略了這個問題。比如下面這種情況會出錯：

• 現在有序集合里有線段 [0,4] 和 [4,9]，那么最長線段 longest 就是后者，按照 seat 的邏輯，就會分割 [4,9]，也就是返回座位 6。但正確答案應該是座位 2，因為 2 和 6 都滿足最大化相鄰考生距離的條件，二者應該取較小的。
  
• 遇到題目的這種要求，解決方式就是修改有序數據結構的排序方式。具體到這個問題，就是修改 TreeMap 的比較函數邏輯：

pq = new TreeSet<>((a, b) -> {int distA = distance(a);int distB = distance(b);// 如果長度相同，就比較索引if (distA == distB)return b[0] - a[0];return distA - distB; });

• 除此之外，還要改變 distance 函數，不能簡單地讓它計算一個線段兩個端點間的長度，而是讓它計算該線段中點和端點之間的長度。

private int distance(int[] intv) {int x = intv[0];int y = intv[1];if (x == -1) return y;if (y == N) return N - 1 - x;// 中點和端點之間的長度return (y - x) / 2; }

• 這樣，[0,4] 和 [4,9] 的 distance 值就相等了，算法會比較二者的索引，取較小的線段進行分割。到這里，這道算法題目算是完全解決了。

五、最后總結

• 這個問題其實并不算難，雖然看起來代碼很多。核心問題就是考察有序數據結構的理解和使用。
• 處理動態問題一般都會用到有序數據結構，比如平衡二叉搜索樹和二叉堆，二者的時間復雜度差不多，但前者支持的操作更多。
• 既然平衡二叉搜索樹這么好用，還用二叉堆干嘛呢？因為二叉堆底層就是數組，實現簡單啊。
• 你實現個紅黑樹試試？操作復雜，而且消耗的空間相對來說會多一些。具體問題，還是要選擇恰當的數據結構來解決。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的调度考生的座位的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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