題目相關(guān)

題面：

BZOJ的題目鏈接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5017
LOJ的數(shù)據(jù)下載鏈接：https://loj.ac/problem/2255/testdata
一句話題意？題面那么短，自己看吧

解法

首先看到題目，容易發(fā)現(xiàn)一個(gè)性質(zhì)，一個(gè)炸彈能炸到的范圍是一個(gè)區(qū)間，這個(gè)性質(zhì)看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是事實(shí)上非常有用，方便解題
考慮每個(gè)炸彈炸到的范圍是一個(gè)區(qū)間，也就是說(shuō)求出每個(gè)炸彈炸到的區(qū)間就可以計(jì)算答案了，很容易想到的一個(gè)想法是把最左端和最右端分別求出來(lái)，但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)炸到右邊的點(diǎn)可能會(huì)炸到更左邊，然后再炸到更右邊，所以無(wú)法分別計(jì)算區(qū)間左端點(diǎn)和區(qū)間右端點(diǎn)

算法1

考慮暴力算法，對(duì)于每個(gè)炸彈，向自己能炸到的炸彈連邊，對(duì)于互相能炸到的炸彈，其能炸到的區(qū)間一定是相同的，所以用tarjan進(jìn)行有向圖縮點(diǎn)，對(duì)于剩下的這個(gè)DAG進(jìn)行dp，統(tǒng)計(jì)一個(gè)點(diǎn)子孫的數(shù)量，f[i][j]表示第j個(gè)點(diǎn)是否是i的子孫，時(shí)間和空間復(fù)雜度均為$O(n^2)$，所以不是很優(yōu)。考慮一個(gè)點(diǎn)的的子孫集合一定是一段連續(xù)的區(qū)間，所以在dp的時(shí)候記子節(jié)點(diǎn)的最大、最小編號(hào)即可，空間復(fù)雜度轉(zhuǎn)成$O(n)$，此時(shí)算法瓶頸在邊數(shù)過(guò)多，考慮線段樹(shù)優(yōu)化連邊，點(diǎn)數(shù)仍然為$O(n)$，邊數(shù)優(yōu)化成$O(nlogn)$，就可以過(guò)了，這種算法是網(wǎng)上最常見(jiàn)的算法，但并不是最優(yōu)的

算法2

這道題事實(shí)上能做到$O(n)$，先講一個(gè)并不是網(wǎng)上看到的$O(n)$算法，考慮連邊的時(shí)候不使用線段樹(shù)優(yōu)化連邊，而是對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)找到其左側(cè)和右側(cè)分別離自己最近的能炸到自己的點(diǎn)，將這兩個(gè)點(diǎn)向自己連邊。由于連邊需要的只要先讓能直接炸到自己的點(diǎn)向自己連邊，容易發(fā)現(xiàn)，在左邊的點(diǎn)如果能炸到自己，那么也一定能炸到左邊連邊的那個(gè)點(diǎn)，右邊同理，所以這個(gè)算法正確，由于每個(gè)點(diǎn)只連出2條邊，復(fù)雜度$O(n)$
這個(gè)算法我自己寫過(guò)驗(yàn)證的，所以貼出一波代碼
總復(fù)雜度由于離散化所以是$O(nlogn)$的，但是其實(shí)可以通過(guò)基數(shù)排序來(lái)使復(fù)雜度變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$O(n)$優(yōu)于算法1

#include<cstdio> #include<cctype> #include<algorithm> #include<cstring> #define rg register typedef long long LL; template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;} template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;} template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;} template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;} template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;} template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;} template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;}; template <typename T> inline void read(T&x) {char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x; } template <typename T> void printe(const T x) {if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0'); } template <typename T> inline void print(const T x) {if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x); } const int maxn=500003,maxm=1000003; int n,Stack[maxn],Top; LL x[maxn],l[maxn],r[maxn]; int head[maxn],nxt[maxm],tow[maxm],tmp; int belo[maxn],n_d,MIN[maxn],MAX[maxn]; int stack[maxn],top; inline void addb(const int u,const int v) {tmp++;nxt[tmp]=head[u];head[u]=tmp;tow[tmp]=v; } int tot,DFN[maxn],LOW[maxn]; int beg; inline void push(const int x){stack[++top]=x;} inline int pop(){return stack[top--];} void DFS(int u) {DFN[u]=LOW[u]=++tot;push(u);for(rg int i=head[u];i;i=nxt[i]){const int v=tow[i];if(!DFN[v])DFS(v),mind(LOW[u],LOW[v]);else if(belo[v]==0)mind(LOW[u],DFN[v]);}if(LOW[u]==DFN[u]){n_d++;int cl=pop();MIN[n_d]=cl,MAX[n_d]=cl,belo[cl]=n_d;while(cl!=u)cl=pop(),mind(MIN[n_d],cl),maxd(MAX[n_d],cl),belo[cl]=n_d;} } int head_d[maxn],nxt_d[maxm],tow_d[maxm],tmp_d; inline void addb_d(const int u,const int v) {if(u==v)return;tmp_d++;nxt_d[tmp_d]=head_d[u];head_d[u]=tmp_d;tow_d[tmp_d]=v; } int dp[maxn]; int mini[maxn],maxi[maxn]; void draw() {for(rg int i=1;i<=n;i++)for(rg int j=head[i];j;j=nxt[j])addb_d(belo[i],belo[tow[j]]); } const LL mod=1000000007; LL res;LL ans[maxn]; void calc(const int u) {dp[u]=0;mini[u]=MIN[u],maxi[u]=MAX[u];for(rg int i=head_d[u];i;i=nxt_d[i]){const int v=tow_d[i];if(dp[v]==-1)calc(v);mind(mini[u],mini[v]),maxd(maxi[u],maxi[v]);}ans[u]=maxi[u]-mini[u]+1; } int main() { read(n);for(rg int i=1;i<=n;i++)read(x[i]),read(r[i]);for(rg int i=1;i<=n;i++){l[i]=std::lower_bound(x+1,x+n+1,x[i]-r[i])-x;r[i]=std::upper_bound(x+1,x+n+1,x[i]+r[i])-x-1;}for(rg int i=1;i<=n;i++){while(Top&&r[Stack[Top]]<i)Top--;if(Top)addb(Stack[Top],i);Stack[++Top]=i;}Top=0;for(rg int i=n;i>=1;i--){while(Top&&l[Stack[Top]]>i)Top--;if(Top)addb(Stack[Top],i);Stack[++Top]=i;}for(beg=1;beg<=n;beg++)if(!DFN[beg])DFS(beg);draw();memset(dp,-1,sizeof(dp));for(rg int i=1;i<=n_d;i++)if(dp[i]==-1)calc(i);for(rg int i=1;i<=n;i++)res=(res+(LL)i*ans[belo[i]])%mod;print(res);return 0; }

算法3（搬自https://blog.csdn.net/C_K_Y_/article/details/79980119）（假算法）

這個(gè)算法同樣是$O(n)$的復(fù)雜度，代碼量、常數(shù)都比算法2要優(yōu)
先拋開(kāi)建圖縮點(diǎn)跑dp的思路，考慮之前貪心拓展的算法
為什么往兩邊分別找最遠(yuǎn)的點(diǎn)求出的答案不對(duì)呢？容易發(fā)現(xiàn)，你炸到的左邊的點(diǎn)可能炸的比你還右邊，也就是說(shuō)兩邊會(huì)相互影響
而算法3通過(guò)掃兩遍的方式解決了這個(gè)問(wèn)題，第一遍維護(hù)了向左拓展對(duì)向右拓展的貢獻(xiàn)，第二遍算出向右的最遠(yuǎn)值并更新右對(duì)左的影響
對(duì)于復(fù)雜度，容易發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)while循環(huán)中最多循環(huán)2次，第一次是用到自己原有的數(shù)據(jù)，第二次是跟著拓展出去的點(diǎn)更新信息，容易發(fā)現(xiàn)更新出去后已經(jīng)為最優(yōu)，所以總復(fù)雜度是O（n）
然而不幸的是，這個(gè)算法雖然能過(guò)bzoj然而卻是錯(cuò)的，數(shù)據(jù)

5 1 0 30 100 50 20 90 0 100 0

能叉掉這個(gè)算法
因?yàn)樗看味际窍蜃筇淮?#xff0c;而這移動(dòng)一格+一跳會(huì)跳過(guò)中間可能時(shí)答案更優(yōu)的點(diǎn)，所以本來(lái)求的所謂向左、向右最遠(yuǎn)就是錯(cuò)的
然而，對(duì)于卡一般暴力向左、右分別跳的此種數(shù)據(jù)卻能過(guò)：

4 60 0 90 20 100 10 110 50

（我一開(kāi)始測(cè)了這個(gè)算法這個(gè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)過(guò)了，bzoj上也AC了，覺(jué)得真是很優(yōu)越，然后最后卻被告知這是一個(gè)假算法，深深感受到自己看別人的算法嚴(yán)謹(jǐn)性不足）

總結(jié)

這道題網(wǎng)上大多是算法1，而算法2在一定程度上優(yōu)化了算法復(fù)雜度，算法3能通過(guò)此題，復(fù)雜度看起來(lái)十分優(yōu)越，但是卻是錯(cuò)的（數(shù)據(jù)好水啊）。整個(gè)優(yōu)化算法的想法和思路都很有趣，所以用這篇博客來(lái)記錄一下。現(xiàn)在的很多題都有多種解法，倘若能夠優(yōu)化算法復(fù)雜度、代碼量與常數(shù)，那么你將可以感受到算法的樂(lè)趣（并且加大數(shù)據(jù)范圍使題目變成毒瘤題）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[Snoi2017]炸弹的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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