前言

學了容斥與二項式反演，也該寫寫題了

題目介紹

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題意簡介

現在有個人，要用$M$步從$(0,0)$跳到$(T_x,T_y)$，每次只能向右上方跳（即坐標值只能加），不能在原地跳
給出一些限制：給出$K$個限制$k_i$，表示兩個坐標不能同時加$k_i$。給出一個數$G$，保證所有$k_i$都是$G$的倍數，求方案數（模$10^9+7$）

數據范圍

$T_x,T_y\le 10^6,M_x\le T_x,M_y\le T_y$
$R\le 1000,10000\le G\le 50000,K\le 50$

題解

$K=0$

先考慮$K=0$的情況
兩個維度，都是$10^6$級別的，一起做一定不好做
然后發現除了“兩維不能同時停在原地”這個限制以外，兩維是獨立的
考慮對于一維，我們已知其長度$T$以及單步最大距離$M$
求不違反規則恰好走$x$步的方案數
直接$dp$復雜度是$\Theta (TMR)$的，顯然不行
我們發現至少違反$a$次規則恰好走$R$步的方案數很好求
設$calc(a)$為至少違反$a$次規則的方案數，我們發現可以選$a$步，讓這些步一開始就有$M+1$的值，那么其無論再加多少都一定是違反規則的
那么就得出$calc(a)$的式子：$$calc(a)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{R}{a}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{T?(M+1)?a+R?1}{R?1}\right)$$
預處理組合數后計算$calc(a)$單次$\Theta (1)$
考慮容斥，容易發現我們要求的答案就是$$\sum _{i=0}^R(?1{)}^{i}calc(i)$$
所以對于一維的答案的復雜度是$\Theta (R)$的，那么我們把兩維都求出來
我們發現，兩維的乘積的結果并不是我們想要的恰好$R$步，而是至多$R$步
所以我們如果要合并，我們不能直接相乘
給定$T,M$,設$L(R)$為給至多走$R$步的方案數，$E(R)$為恰好走$R$步的方案數
$$L(R)=\sum _{i=0}^R\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{R}{i}\right)E(i)$$
二項式反演
$$E(R)=\sum _{i=0}^R(?1{)}^{R?i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{R}{i})L(i)$$
然后發現求一次$E(R)$是$\Theta (R^2)$的，比較優越

$K?=0$

然后我們考慮有$K$限制的情況
我們發現我們要求的是不違反限制的情況，但是并不好求
又發現，至少違反$n$次數的情況很好統計
同樣考慮容斥，$g(x)$為至少違反$x$次的方案數，容易發現我們要求的就是$$\sum _{i=0}^{\infty }(?1{)}^{i}g(i)$$
我們先來思考$i$的范圍，由于$k_i$都是$G$的倍數，而$G\ge 10000$，所以$i$的取值范圍是$\Theta (\frac{T}{G})=\Theta (100)$的
考慮$dp$來統計$g$，定義$f_{i,j}$為至少違反$j$次、$\sum k=j?G$的方案數，容易發現第二維也是$\Theta (100)$的
$f_{i,j}$對答案的貢獻系數即$T_x?j?G,T_y?j?G,x?i$步并且沒有任何限制的答案，通過前面$K=0$的部分的分析可以得知這部分的復雜度是$\Theta (Mx)$的，總復雜度大概是$\Theta (1000?1000?100?100)$的
貌似能過？？而且跑的飛快
當然我們要科學的復雜度，只要預處理$L(x)$即可，我們發現$T$的取值因為$j$的不同只有$\Theta (100)$組，步數是$\Theta (R)$的，一次處理是$\Theta (R)$的
所以總復雜度為$\Theta (\frac{T}{G}{R}^2)$大約$10^8$左右，再加上根本跑不滿，所以很容易就過了

代碼

#include<cstdio> #include<cctype> #include<algorithm> namespace fast_IO {const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);} } using namespace fast_IO; #define getchar() getchar_() #define putchar(x) putchar_((x)) //#include<ctime> #define rg register typedef long long LL; template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;} template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;} template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;} template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;} template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;} template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;} //template <typename T> inline void swap(T*a,T*b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;} template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;}; template <typename T> inline void read(T&x) {char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x; } template <typename T> inline void printe(const T x) {if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0'); } template <typename T> inline void print(const T x) {if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x); } const LL mod=1000000007; inline void md(LL&x){if(x>=mod)x-=mod;} LL fac[1000001],inv[1000001]; inline LL pow(LL x,LL y) {LL res=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;return res; } inline LL C(LL x,LL y){return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;} inline void init() {fac[0]=1;for(rg int i=1;i<=1000000;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[1000000]=pow(fac[1000000],mod-2);for(rg int i=1000000;i>=1;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod; } int T,Tx,Ty,Mx,My,R,G; int K,k[51]; LL f[101][101],g[101]; LL calc[101][1001]; inline LL solve(const int x,const int step) {LL res=0;for(rg int i=0;i<=step;i++){if((i&1)==(step&1))md(res+=calc[x][i]*C(step,i)%mod);else md(res+=mod-calc[x][i]*C(step,i)%mod);}return res; } int main() {init();read(Tx),read(Ty),T=min(Tx,Ty),read(Mx),read(My),read(R),read(G);for(rg int i=0;G*i<=T;i++){const int tx=Tx-G*i,ty=Ty-G*i;for(rg int j=R;j>=0;j--){if(j*Mx<tx||j*My<ty)break;LL valx=0,valy=0;for(rg int step=0;step<=j&&(Mx+1)*step<=tx;step++)if(step&1)md(valx+=mod-C(j,step)*C(tx-(Mx+1)*step+j-1,j-1)%mod);else md(valx+=C(j,step)*C(tx-(Mx+1)*step+j-1,j-1)%mod);for(rg int step=0;step<=j&&(My+1)*step<=ty;step++)if(step&1)md(valy+=mod-C(j,step)*C(ty-(My+1)*step+j-1,j-1)%mod);else md(valy+=C(j,step)*C(ty-(My+1)*step+j-1,j-1)%mod);calc[i][j]=valx*valy%mod;}}read(K);for(rg int i=1;i<=K;i++)read(k[i]);std::sort(k+1,k+K+1);K=std::unique(k+1,k+K+1)-k-1;for(rg int i=1;i<=K;i++)k[i]/=G;f[0][0]=1,g[0]=solve(0,R);for(rg int i=1;G*i<=T;i++)for(rg int j=0;G*j<=T;j++){for(rg int kind=1;kind<=K;kind++)if(k[kind]<=j)md(f[i][j]+=f[i-1][j-k[kind]]);md(g[i]+=solve(j,R-i)*f[i][j]%mod);}LL ans=0;for(rg int i=0;G*i<=T;i++)if(i&1)md(ans+=mod-g[i]*C(R,i)%mod);else md(ans+=g[i]*C(R,i)%mod);print(ans);return flush(),0; }

總結

這道題的非常巧妙，多次運用容斥與反演的技巧，值得深思
致謝：感謝yx2003在本題上對我的指導

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[SDWC2018 Day1]网格的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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