前言

這是分析復雜度的一個玩意兒，東西不多，原本只要死記一下就好了，但是考慮到我不太好的記憶力，所以還是解析一遍比較好

正文

主定理是用來分析$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$滿足$a,b\ge 1$的復雜度的
其實感覺也挺好分析的
考慮$T(n)$的瓶頸問題
假設$aT(\frac{n}{b})>>f(n)$
那么$T(1)=\mathcal{O}(1),T(n)=aT(\frac{n}{b})=a^{lo{g}_{b}n}=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$
因為要滿足$aT(\frac{n}{b})>>f(n)$，所以此時的條件為$f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a??}),?>0$
即當$f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a??}),?>0$時，$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$

假設$aT(\frac{n}{b})<<f(n)$
因為前者的$n$會變小，使得$f(x)$差的非常快，所以顯然瓶頸在后者
所以當$f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a+?}),?>0$時，$T(n)=\Theta (f(n))$

然后我們考慮一下$f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a})$的情況
那么$T(1)=\mathcal{O}(1),T(n)=aT(\frac{n}{b})+O(n^{lo{g}_{b}a})$
這個東西列出來其實不好算，但是我們可以腦補一下這個遞歸大概有l(wèi)ogn層，也許會想到假如$a、b$的數(shù)值極端怎么辦，但其實后面的$n^{lo{g}_{b}a}$已經保證了結論的正確性，大霧
所以最后的復雜度是$\Theta (f(n)logn)$
在實際寫的時候可以設$f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k}n)$，那么$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k+1}n)$

總結

對于$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$，滿足$a,b\ge 1$
$$T(n)=?\begin{array}{ll}\Theta (n^{lo{g}_{b}a})& f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a??}),?>0\\ \Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k+1}n)& f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k}n)\\ \Theta (f(n))& f(n)=\mathcal{O}(n^{lo{g}_{b}a+?}),?>0\end{array}$$

后記

本篇文章一些符號不怎么嚴謹，僅能表意，主要是寫一個推的方法，如果有什么好的建議歡迎在評論提出
另外如果有更好的理解方式，也歡迎與我交流
2019.10.17：之前有一些錯誤進行了改正

總結

以上是生活随笔為你收集整理的主定理(master theorem)学习小记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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