首先介紹一個(gè)重要定理：

設(shè)S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復(fù)數(shù)。那么S的r組合的個(gè)數(shù)等于：

?

?

問題一：多重集合的組合問題

?

問題描述：給定3個(gè)a，4個(gè)b，5個(gè)c，現(xiàn)在要選10個(gè)元素，求一共有多少種組合？

?

分析：本問題就是相當(dāng)于求S={3·a,4·b,5·c}的10組合數(shù)。

首先，多重集合的組合有一個(gè)定理，定理描述如下：

設(shè)S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復(fù)數(shù)，那么S的r組合的個(gè)數(shù)等于：

?

那么既然這樣，我們令S∞={∞·a, ∞·b,∞·c}，那么S的10-組合數(shù)為

設(shè)集合A是S∞的10-組合全體，則|A|＝66，現(xiàn)在要求在10-組合中的a的個(gè)數(shù)小于等于3，b的個(gè)數(shù)小于等于4，c的個(gè)數(shù)小于等

于5的組合數(shù).

?

定義性質(zhì)集合P={P1,P2,P3},其中：?

P1：10組合中a的個(gè)數(shù)大于等于4；
P2：10組合中b的個(gè)數(shù)大于等于5；
P3：10組合中c的個(gè)數(shù)大于等于6；

將滿足性質(zhì)Pi的10-組合全體記為Ai(1≤i≤3).

那么，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6組合再拼上4個(gè)a構(gòu)成的，所以

同理有：，，

?

所以根據(jù)容斥原理，原問題的解為：

?

問題二：方程解的個(gè)數(shù)問題

(1)問題描述：已知非負(fù)整數(shù)不大于7，求方程整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

?

分析：其實(shí)用容斥，跟上題一樣，先求出總數(shù)，因?yàn)椴豢赡艹霈F(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)大于等于8，所以這里就簡單很多了。

首先，S的10-組合數(shù)為：，由于只會出現(xiàn)中的一個(gè)大于等于8的情況，所以四種情況一樣的，

其結(jié)果都是，所以問題的解就是286-4*10=246

?

(2)問題描述：求方程整數(shù)解的個(gè)數(shù)，其中

?

分析：對于這個(gè)問題需要先轉(zhuǎn)化一下就跟上題一樣了。

令：，然后就有，此類問題不再贅述。答案為21

?

?

問題三：集合劃分問題

問題描述：將一個(gè)n元集合劃分為r個(gè)非空子集，并給每個(gè)子集標(biāo)上號1，2，3，...r，求劃分方案數(shù)。

?

分析：設(shè)S為將n元集劃分成有序r部分的全部劃分方案集，注意這里每一部分可以為空，那么我們用總數(shù)減去為空的情況就可

以了，那么進(jìn)一步有一個(gè)不為空，兩個(gè)不為空，三個(gè)不為空，...等等。這樣我們就可以容斥。

?

我們知道?，，?

?

所以最后得到方案數(shù)為：

?

?

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的容斥原理与多重集合的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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