首先介紹一個重要定理：

設S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復數。那么S的r組合的個數等于：

?

?

問題一：多重集合的組合問題

?

問題描述：給定3個a，4個b，5個c，現在要選10個元素，求一共有多少種組合？

?

分析：本問題就是相當于求S={3·a,4·b,5·c}的10組合數。

首先，多重集合的組合有一個定理，定理描述如下：

設S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復數，那么S的r組合的個數等于：

?

那么既然這樣，我們令S∞={∞·a, ∞·b,∞·c}，那么S的10-組合數為

設集合A是S∞的10-組合全體，則|A|＝66，現在要求在10-組合中的a的個數小于等于3，b的個數小于等于4，c的個數小于等

于5的組合數.

?

定義性質集合P={P1,P2,P3},其中：?

P1：10組合中a的個數大于等于4；
P2：10組合中b的個數大于等于5；
P3：10組合中c的個數大于等于6；

將滿足性質Pi的10-組合全體記為Ai(1≤i≤3).

那么，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6組合再拼上4個a構成的，所以

同理有：，，

?

所以根據容斥原理，原問題的解為：

?

問題二：方程解的個數問題

(1)問題描述：已知非負整數不大于7，求方程整數解的個數。

?

分析：其實用容斥，跟上題一樣，先求出總數，因為不可能出現兩個或兩個以上的數大于等于8，所以這里就簡單很多了。

首先，S的10-組合數為：，由于只會出現中的一個大于等于8的情況，所以四種情況一樣的，

其結果都是，所以問題的解就是286-4*10=246

?

(2)問題描述：求方程整數解的個數，其中

?

分析：對于這個問題需要先轉化一下就跟上題一樣了。

令：，然后就有，此類問題不再贅述。答案為21

?

?

問題三：集合劃分問題

問題描述：將一個n元集合劃分為r個非空子集，并給每個子集標上號1，2，3，...r，求劃分方案數。

?

分析：設S為將n元集劃分成有序r部分的全部劃分方案集，注意這里每一部分可以為空，那么我們用總數減去為空的情況就可

以了，那么進一步有一個不為空，兩個不為空，三個不為空，...等等。這樣我們就可以容斥。

?

我們知道?，，?

?

所以最后得到方案數為：

?

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的容斥原理与多重集合的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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