限制排列与棋盘多项式
首先來說說限制排列
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例子：
相鄰禁位排列問題：在整數1，2，3，...，n的無重全排列中，要求，求全體排列數
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分析：利用容斥不難得到
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旋轉木馬問題：8個小孩圍坐在旋轉木馬上，問有多少種變換座位的方法，使得每個小孩前面坐的都不是原來的小孩？
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分析：其實做法跟上面的方法一樣，只是注意這里是換排列，那么總數就應該是7！，得到結果為：
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棋盤多項式：
n個不同元素的一個全排列可以看成是n個相同的棋子在n*n的棋盤上的一個布局，這個布局滿足每一行或每一列只有一個棋子。
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例如：41352對應如圖。
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那么如果把棋盤推廣到任意形狀
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我們令表示k個棋子布到棋盤C上的方案數。所以容易知道：
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這里規定
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設是棋盤C的某一指定格子所在的行和列都去掉后所得的棋盤，是僅去掉該格子后所得到的棋盤。
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那么有：
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設C為一棋盤，那么稱為C的棋盤多項式。
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那么我們先來看它的一些性質：
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(1)
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推導過程：
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(2)如果C由相互分離的組成，即的任意格子所在的行和列都沒有的格子，則有：
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所以結合上面的兩個性質，我們可以得到：
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下面介紹一個定理：
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設為k個棋子布入禁區的方案數，則有禁區的布子方案數為(即禁區內不布棋子的方案數)：
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那么現在我們就可以來解題了，現在給出下面的一題：
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1，2，3，4四位工人，A,B,C,D四項任務，條件是：1不干B，2不干B,C，3不干C,D，4不干D，問有多少種方案？
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分析：那么按照上面的思路，寫出禁區的棋盤多項式
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那么進一步就可以得到：
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到了這里，對于錯排公式，我們也可以通過棋盤多項式來認識它了。
對于它，我們可以看成是棋盤的主對角線是禁區，然后它的棋盤多項式很容易根據上述性質(2)得到是
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所以這樣我們就知道了，所以進一步得到錯排公式了。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的限制排列与棋盘多项式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
