又见莫比乌斯反演
題目：http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/811
?
題意：給定兩個正整數和，其中，，求的值，其中。
?
分析：本題是典型的莫比烏斯反演問題。那么，怎么反演呢？
???? 首先，我們枚舉的所有值，根據以前學的莫比烏斯反演，可以很容易得到
?
?????，其中
?
???? 我們設
?
???? ，那么得到，反演后得到
?
???? 所以就是
?
???? 可以看出枚舉的所有因子遞歸下去就行。。。現在的關鍵問題是如何計算。
?
?????的表達式為
?
???? 由于不大，所以可以直接用自然數冪和，而在一段連續的區間值保持不變，思路跟下面這道題差不多。
?
???? 題目：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10249611
?
??????也就是說的時間復雜度為。加上遞歸的部分，本題總的時間復雜度為。
?
?
???? 代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h>using namespace std; const int N = 50000005; typedef long long LL; const LL MOD = 1000000007;LL dp[N];LL mu(LL n,int k) {LL ans = 1;for(int i=0; i<k; i++){ans *= n;ans %= MOD;}return ans; }LL calc(LL n,int k) {if(k == 1) return ((n%MOD)*((n+1)%MOD))%MOD*500000004%MOD;if(k == 2){LL a = n % MOD;LL b = (n+1) % MOD;LL c = (2*n+1) % MOD;return a*b%MOD*c%MOD*166666668%MOD;}if(k == 3){LL t = ((n%MOD)*((n+1)%MOD))%MOD*500000004%MOD;return t * t % MOD;}if(k == 4){LL t = 6*mu(n,5)%MOD + 15*mu(n,4)%MOD + 10*mu(n,3)%MOD -n%MOD;t %= MOD;t += MOD;t %= MOD;t *= 233333335;t %= MOD;return t;}if(k == 5){LL t = 2*mu(n,6)%MOD + 6*mu(n,5)%MOD + 5*mu(n,4)%MOD -mu(n,2)%MOD;t %= MOD;t += MOD;t %= MOD;t *= 83333334;t %= MOD;return t;} }LL sum(LL n,int k) {LL ans = 0;LL T = (LL)sqrt(1.0*n);for(int i=1; i<=T; i++){LL t = (n/i) % MOD;LL a = t * t % MOD;LL b = mu(i,k) * a % MOD;LL c = i * i % MOD;LL L = n/(i+1) + 1;LL R = n/i;LL d = calc(R,k) - calc(L-1,k);d %= MOD;d += MOD;d %= MOD;c = c * d % MOD;ans += b + c;ans %= MOD;}if(T*T == n)ans -= mu(T,k+2);ans %= MOD;ans += MOD;ans %= MOD;return ans; }LL dfs(LL n,int k) {if(n < N && dp[n]) return dp[n];if(n == 1) return 1;LL ans = sum(n,k);LL tmp = 0;for(LL i=1; i*i<=n; i++){if(i*i == n){tmp %= MOD;tmp += dfs(i,k);tmp %= MOD;}else{tmp %= MOD;tmp += dfs(i,k);tmp %= MOD;if(i == 1) continue;tmp += dfs(n/i,k);tmp %= MOD;}}if(n < N)dp[n] = ((ans-tmp)%MOD + MOD) % MOD;return ((ans-tmp)%MOD + MOD) % MOD; }int main() {LL n,k;memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%lld%lld",&n,&k);printf("%lld\n",dfs(n,k));return 0; }
?
?
?
?
總結
