題目：在一個平面坐標(biāo)系中給定（）個點，坐標(biāo)為范圍的絕對值均在范圍內(nèi)，在軸上找一點

???? 使得這點到所有點的距離之和最短。

?

分析：本題方法是三分，我們知道三分滿足的條件是這個對象必須是單峰函數(shù)。題目要求找到最小值，那么也就是說

? ? ?這個距離之和是一個下凸函數(shù)，現(xiàn)在來開始證明。

?

? ? ?設(shè)要找的點的坐標(biāo)為，那么設(shè)距離之和的函數(shù)為，那么得到

? ? ?

?

? ? ?繼續(xù)設(shè)，對求二階導(dǎo)得到

?

? ? ?

? ? ??

? ? ?在高數(shù)中我們學(xué)過下面的定理：

? ? ?定理：設(shè)在區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)，如果，則為上的下凸函數(shù)，否則如果，

??????????則為上的上凸函數(shù)。

?

???? 那么得到

?

????

?

?????也就是說為凸函數(shù)，也就是單峰函數(shù)，那么對于凸函數(shù)求最值我們利用三分即可。

代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h>using namespace std; const int N = 100005; const double eps = 1e-8;struct Point {double x,y; };Point p[N];double dist(Point A,Point B) {return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y)); }double sum(Point p[],int n,double x) {Point t;t.x = x;t.y = 0;double ans = 0;for(int i=0;i<n;i++)ans += dist(p[i],t);return ans; }double Search(Point p[],int n) {double l = -1e6;double r = 1e6;while(r - l > eps){double ll = (2 * l + r) / 3;double rr = (l + 2 * r) / 3;double ans1 = sum(p,n,ll);double ans2 = sum(p,n,rr);if(ans1 > ans2) l = ll;else r = rr;}return l; }int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);printf("%.6lf\n",Search(p,n));}return 0; }

?

?

總結(jié)

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