快速傅里葉變換在信息學競賽中主要用于求卷積，或者說多項式乘法。我們知道，多項式乘法的普通算法時間復雜度

是，通過快速傅里葉變換可以使時間降為，那么接下來會詳細介紹快速傅里葉變換的原理。

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首先來介紹多項式的兩種表示方法，即系數(shù)表示法和點值表示法。從某種意義上說，這兩種方法是等價的。先設(shè)

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（1）系數(shù)表示法

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??? 對于一個次數(shù)界為的多項式來說，其系數(shù)表示法就是一個由系數(shù)組成的向量，很

??? 明顯，這樣的多項式乘法運算的時間復雜度為。

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（2）點值表示法

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????對于一個次數(shù)界為的多項式來說，其點值是個點值對所形成的集合

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???

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??? 其中各不相同，并且當時，有。可以看出一個多項式可以有多種不同的點值

??? 表示法，而通過這個不同的點值對可以表示一個唯一的多項式。而通過點值表示法來計算多項式的乘法，時間

??? 復雜度為。

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??? 從原則上來說，計算多項式的點值是簡單易行的，因為我們只需要先選取個相異的點，然后通過秦九韶算法可

??? 以在時間內(nèi)求出所有的，實際上如果我們的選得巧妙的話，就可以加速這一過程，使其運行時間變

????為。

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??? 根據(jù)多項式的系數(shù)表示法求其點值表示法的過程稱為求值，而根據(jù)點值表示法求其系數(shù)表示法的過程稱為插值。

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??? 對于求卷積或者說多項式乘法運算問題，先是通過傅里葉變換對系數(shù)表示法的多項式進行求值運算，這一步的時

??? 間復雜度為，然后在時間內(nèi)進行點值相乘，再進行插值運算。

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那么，接下來就是我們今天的重點了，如何高效地對一個多項式進行求值運算，即將多項式的表示法變?yōu)辄c值表示法。

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如果選取單位復根作為求值點，則可以通過對系數(shù)向量進行離散傅里葉變換（DFT），得到相應(yīng)的點值表示。同樣地

也可以通過對點值對進行逆DFT運算，獲得相應(yīng)的系數(shù)向量。DFT和逆DFT的時間復雜度均為。

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一. 求DFT

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??? 選取次單位復根作為來求點值是比較巧妙的做法。

??? 次單位復根是滿足的復數(shù)，次單位復根恰好有個，它們是，，為

??? 了解釋這一式子，利用復數(shù)冪的定義，值稱為主次單位根，所有其

??? 它次單位復根都是的次冪。

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????個次單位復根在乘法運算下形成一個群，該群的結(jié)構(gòu)與加法群模相同。

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??? 接下來認識幾個關(guān)于次單位復根的重要性質(zhì)。

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??? （1）相消引理

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????????對于任何整數(shù)，有

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????（2）折半引理

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????????如果且為偶數(shù)，則

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??? （3）求和引理

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??????? 對任意整數(shù)和不能被整除的非零整數(shù)，有

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???????? ?

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?????回顧一下，我們希望計算次數(shù)界為的多項式

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?????在處的值，假定是2的冪，因為給定的次數(shù)界總可以增大，如果需要，總可以添加值為零

???? 的新的高階系數(shù)。假定已知的系數(shù)形式為，對，定義結(jié)果

???? 如下

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????????????????

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?????向量是系數(shù)向量的離散傅里葉變換，寫作。

?????通過使用一種稱為快速傅里葉變換（FFT）的方法，就可以在時間內(nèi)計算出，而直接

???? 計算的方法所需時間為，FFT主要是利用單位復根的特殊性質(zhì)。FFT方法運用了分治策略，它用

???? 中偶數(shù)下標的系數(shù)與奇數(shù)下標的系數(shù)，分別定義了兩個新的次數(shù)界為的多項式和

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?????

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?????則進一步有

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???? 這樣在處的值得問題就轉(zhuǎn)換為求次數(shù)界為的多項式和在點

???? 處的值。由于在奇偶分類時導致順序發(fā)生變化，所以需要先通過Rader算法進行

???? 倒位序，在FFT中最重要的一個操作是蝴蝶操作，通過蝴蝶操作可以將前半部分和后半部分的值求出。

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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

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題意：大數(shù)乘法，需要用FFT實現(xiàn)。

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代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h>using namespace std; const int N = 500005; const double PI = acos(-1.0);struct Virt {double r, i;Virt(double r = 0.0,double i = 0.0){this->r = r;this->i = i;}Virt operator + (const Virt &x){return Virt(r + x.r, i + x.i);}Virt operator - (const Virt &x){return Virt(r - x.r, i - x.i);}Virt operator * (const Virt &x){return Virt(r * x.r - i * x.i, i * x.r + r * x.i);} };//雷德算法--倒位序 void Rader(Virt F[], int len) {int j = len >> 1;for(int i=1; i<len-1; i++){if(i < j) swap(F[i], F[j]);int k = len >> 1;while(j >= k){j -= k;k >>= 1;}if(j < k) j += k;} }//FFT實現(xiàn) void FFT(Virt F[], int len, int on) {Rader(F, len);for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后計算長度為h的DFT{Virt wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h)); //單位復根e^(2*PI/m)用歐拉公式展開for(int j=0; j<len; j+=h){Virt w(1,0); //旋轉(zhuǎn)因子for(int k=j; k<j+h/2; k++){Virt u = F[k];Virt t = w * F[k + h / 2];F[k] = u + t; //蝴蝶合并操作F[k + h / 2] = u - t;w = w * wn; //更新旋轉(zhuǎn)因子}}}if(on == -1)for(int i=0; i<len; i++)F[i].r /= len; }//求卷積 void Conv(Virt a[],Virt b[],int len) {FFT(a,len,1);FFT(b,len,1);for(int i=0; i<len; i++)a[i] = a[i]*b[i];FFT(a,len,-1); }char str1[N],str2[N]; Virt va[N],vb[N]; int result[N]; int len;void Init(char str1[],char str2[]) {int len1 = strlen(str1);int len2 = strlen(str2);len = 1;while(len < 2*len1 || len < 2*len2) len <<= 1;int i;for(i=0; i<len1; i++){va[i].r = str1[len1-i-1] - '0';va[i].i = 0.0;}while(i < len){va[i].r = va[i].i = 0.0;i++;}for(i=0; i<len2; i++){vb[i].r = str2[len2-i-1] - '0';vb[i].i = 0.0;}while(i < len){vb[i].r = vb[i].i = 0.0;i++;} }void Work() {Conv(va,vb,len);for(int i=0; i<len; i++)result[i] = va[i].r+0.5; }void Export() {for(int i=0; i<len; i++){result[i+1] += result[i]/10;result[i] %= 10;}int high = 0;for(int i=len-1; i>=0; i--){if(result[i]){high = i;break;}}for(int i=high; i>=0; i--)printf("%d",result[i]);puts(""); }int main() {while(~scanf("%s%s",str1,str2)){Init(str1,str2);Work();Export();}return 0; }

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609

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題意：給定n條長度已知的邊，求能組成多少個三角形。

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分析：用一個num數(shù)組來記錄次數(shù)，比如num[i]表示長度為i的邊有num[i]條。然后對num[]求卷積，除去本身重

???? 復的和對稱的，然后再整理一下就好了。

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代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <stdio.h> #include <math.h>using namespace std; typedef long long LL;const int N = 400005; const double PI = acos(-1.0);struct Virt {double r,i;Virt(double r = 0.0,double i = 0.0){this->r = r;this->i = i;}Virt operator + (const Virt &x){return Virt(r+x.r,i+x.i);}Virt operator - (const Virt &x){return Virt(r-x.r,i-x.i);}Virt operator * (const Virt &x){return Virt(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i);} };//雷德算法--倒位序 void Rader(Virt F[],int len) {int j = len >> 1;for(int i=1; i<len-1; i++){if(i < j) swap(F[i], F[j]);int k = len >> 1;while(j >= k){j -= k;k >>= 1;}if(j < k) j += k;} }//FFT實現(xiàn) void FFT(Virt F[],int len,int on) {Rader(F,len);for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后計算長度為h的DFT{Virt wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h)); //單位復根e^(2*PI/m)用歐拉公式展開for(int j=0; j<len; j+=h){Virt w(1,0); //旋轉(zhuǎn)因子for(int k=j; k<j+h/2; k++){Virt u = F[k];Virt t = w*F[k+h/2];F[k] = u+t; //蝴蝶合并操作F[k+h/2] = u-t;w = w*wn; //更新旋轉(zhuǎn)因子}}}if(on == -1)for(int i=0; i<len; i++)F[i].r /= len; }//求卷積 void Conv(Virt F[],int len) {FFT(F,len,1);for(int i=0; i<len; i++)F[i] = F[i]*F[i];FFT(F,len,-1); }int a[N]; Virt F[N]; LL num[N],sum[N]; int len,n;void Init() {memset(num,0,sizeof(num));scanf("%d",&n);for(int i=0; i<n; i++){scanf("%d",&a[i]);num[a[i]]++;}sort(a, a + n);int len1 = a[n-1] + 1;len = 1;while(len < len1*2) len <<= 1;for(int i=0; i<len1; i++)F[i] = Virt(num[i],0);for(int i=len1; i<len; i++)F[i] = Virt(0,0); }void Work() {Conv(F,len);for(int i=0; i<len; i++)num[i] = (LL)(F[i].r+0.5);len = a[n-1]*2;for(int i=0; i<n; i++)num[a[i]+a[i]]--;for(int i=1; i<=len; i++)num[i] >>= 1;sum[0] = 0;for(int i=1; i<=len; i++)sum[i] = sum[i-1] + num[i];LL cnt = 0;for(int i=0; i<n; i++){cnt+=sum[len]-sum[a[i]];//減掉一個取大，一個取小的cnt-=(LL)(n-1-i)*i;//減掉一個取本身，另外一個取其它cnt-=(n-1);//減掉大于它的取兩個的組合cnt-=(LL)(n-1-i)*(n-i-2)/2;}LL tot = (LL)n*(n-1)*(n-2)/6;printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot); }int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){Init();Work();}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多项式乘法运算初级版的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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