多邊形三角剖分問題的綜述

• 問題描述
• 剖分算法
• • • Lawson算法：
    • 利用隊列的基邊算法
• 評價標準
• • • Lawson算法：
    • 利用隊列的基邊算法：

問題描述

多邊形是由一系列首尾連接的直線段組成的圖形。如果在多邊形的所有邊中，任意選一條邊無限延長，其他各邊都在此直線的同旁，那么這個多邊形就是凸多邊形，反之就是凹多邊形。
三角剖分是代數(shù)拓撲學里最基本的研究方法。我們以平面為例，把平面剖開成一塊塊碎片，要求滿足下面條件：1）每塊碎片都是三角形；2）任意兩個三角形，要么不相交、要么恰好相交于一條公共邊。
Delaunay三角剖分是三角剖分中最經(jīng)典的方法，單純解釋Delaunay三角剖分很不容易理解，已知Voronoi圖和Delaunay三角剖分是對偶關(guān)系，通過Voronoi圖就可以更好的理解Delaunay三角剖分。
Voronoi圖是計算幾何里的一種基于距離的平面劃分的方法。在平面中有n個不重合的種子點，將相鄰種子點的垂直平分線做出，形成許多交點，可以看出每個交點都是由三條邊相交而成的。下圖的實線部分就是一個Voronoi圖。

剖分算法

現(xiàn)存的關(guān)于Delaunay的剖分算法有很多，有分割合并算法逐點插入算法、Bowyer-Watson算法等。這其中最普遍和簡單的算法是逐點插入法，又叫Lawson算法。這個算法通過逐點插入的方法實現(xiàn)，實現(xiàn)起來比較簡單，但在實際實現(xiàn)過程中，可能出現(xiàn)當點集過大時，構(gòu)網(wǎng)速度會變得較慢，且當點集范圍是非凹區(qū)域或者存在內(nèi)環(huán)，則會產(chǎn)生非法三角形。

Lawson算法：

1.構(gòu)造一個超級三角形，包含所有散點，放入三角形鏈表中。
2.將點集中的點一次插入，在鏈表中找出其外接圓包含的插入點的三角形，刪除影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的全部的頂點鏈接，從而完成一個點的插入。
3.根據(jù)優(yōu)化準則對新形成的三角形進行優(yōu)化，并將該三角形放入三角形鏈表。
4.循環(huán)2、3，直到所有點循環(huán)完畢。

利用隊列的基邊算法

這里主要介紹另外一種簡單多邊形借助隊列的基邊生成算法。
算法描述：
1.先按照逆時針方向的順序?qū)⒍噙呅蔚捻旤cP1，P2，P3…依次讀入到隊列中。
2.取出隊列中的兩個點初始點，由這兩個頂點形成一個初始邊叫做基邊，也就是開始時基邊就是由P1P2組成的邊。
3.把基邊的起始點付給Ps，結(jié)束點付給Pe。
4.當隊列不為空時，在隊列中取出下一個頂點Px，如果該點在基邊的左側(cè)，則連接Px和Pe形成新的線段PxPe，分兩種情況：PxPe和多邊形除端點外不相交，則將三角形的三個頂點Ps，Px-1，Px壓入棧中，并把基邊改為PePx，返回3；若PxPe和多邊形還有其他交點，則Ps入隊列，基邊變?yōu)镻x-1Pe，返回3；否則Px加入隊列，基邊變?yōu)镻x-1Px，返回3.
5.將棧中的頂點依次出棧，每次三個頂點作為一個三角形，直至棧為空。

評價標準

Lawson算法：

Lawson算法是基于散點的構(gòu)網(wǎng)算法實現(xiàn)的，該算法有較好的理論嚴密性，簡單易實現(xiàn)，較為理想，由其算法可以看出，在逐點插入的過程中，遇到非Delaunay邊時可以通過刪除調(diào)整形成新的邊。但是由下圖可以看出，當區(qū)域存在內(nèi)環(huán)時，則會在內(nèi)環(huán)中產(chǎn)生非法三角形。

上述圖片分別為：離散點集合、正確的三角剖分和Lawson三角剖分。

利用隊列的基邊算法：

算法通過判斷某頂點和基邊之間的相對位置來實現(xiàn)對簡單多邊形的三角剖分，按照不同的相對位置，來判斷三角形的是否生成。但由于是按照逆時針（順時針）依次生成的，所生成的三角形可能不是最佳的剖分，但算法也是容易實現(xiàn)，容易理解，適用于所有的簡單多邊形，但算法也有弊端，無法實現(xiàn)對非簡單多邊形的三角剖分。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多边形三角剖分问题的综述的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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