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題目大意：給出n個(gè)節(jié)點(diǎn)的key和val，構(gòu)造出其笛卡爾樹的原型

笛卡爾樹的定義：

所謂笛卡爾樹，就是將給定的n個(gè)二元組(key,val)建成一棵樹。使得：

如果只關(guān)注key，那么這是一棵二叉搜索樹

如果只關(guān)注val，那么這是一個(gè)堆

對(duì)于任意三個(gè)節(jié)點(diǎn)fa，ls，rs，滿足：

key[ls]<key[fa]<key[rs]

val[fa]>=max(val[ls],val[rs])

題目分析：首先我們需要先知道怎么建立笛卡爾樹，我們可以按照key進(jìn)行排序，經(jīng)過排序之后，在最右邊的樹鏈上操作，對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的val尋找一下該節(jié)點(diǎn)需要插入的位置，需要滿足的條件是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)插入后的val值滿足條件比其上面的節(jié)點(diǎn)要大，比起下面的節(jié)點(diǎn)要小，找到合適的位置后，將原本的鏈斷開，將x插入，并將原本x之下的那條鏈連接到x的左子樹上，這樣我們就成功插入一個(gè)節(jié)點(diǎn)x了

先說一下為什么要這樣插點(diǎn)，因?yàn)槲覀冃枰獫M足二叉搜索樹的條件并且已經(jīng)提前按照key值非降排好序了，所以在插入節(jié)點(diǎn)x之前，樹中的所有key值都比節(jié)點(diǎn)x的key值要小，若我們只關(guān)注key的話，那么直接把點(diǎn)x插入到主根root節(jié)點(diǎn)向右遍歷最下面的那個(gè)節(jié)點(diǎn)的右兒子即可，也就是最右端樹鏈的末端，因?yàn)橥瑫r(shí)需要滿足對(duì)于val值建立小頂堆的條件，所以我們需要在最右端的樹鏈上尋找一個(gè)合適的位置插入節(jié)點(diǎn)x，當(dāng)找到合適的位置后，這個(gè)位置肯定是滿足了對(duì)于val值建堆的條件了，但卻不滿足對(duì)于key建二叉搜索樹的條件了，所以我們需要稍微操作一下，因?yàn)楫?dāng)前x的key值在整棵樹中是最大的，所以對(duì)于其父節(jié)點(diǎn)以及其祖先節(jié)點(diǎn)，肯定在右鏈的末端是合適的位置，但對(duì)于節(jié)點(diǎn)x下面的樹鏈，也就是原本這個(gè)位置右鏈的下半部分來說，我們需要將這下半部分轉(zhuǎn)移到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)x的左鏈上，這樣就可以同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件了

可能看起來比較難理解，可以自己動(dòng)手畫一下上面的這個(gè)過程，我也是稍微畫了畫圖之后就豁然開朗了

現(xiàn)在說一下實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)于key排序沒什么好說的，現(xiàn)在就是對(duì)于每個(gè)點(diǎn)x需要找到點(diǎn)x插入的位置，這個(gè)位置肯定是從右鏈最下面開始，找到小于等于點(diǎn)x的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為點(diǎn)x的父節(jié)點(diǎn)，我們?cè)撛趺纯焖僬业竭@個(gè)父節(jié)點(diǎn)呢

網(wǎng)上的正解都是清一色的用單調(diào)棧來維護(hù)，確實(shí)，因?yàn)槲覀冎恍枰谟益溕蠈ふ液线m的位置，而且整棵樹對(duì)于val滿足堆的性質(zhì)，所以從根部沿著右鏈到達(dá)葉子結(jié)點(diǎn)，這一整條樹鏈實(shí)際上就是一個(gè)非嚴(yán)格遞減的序列，這樣一來我們就可以直接用單調(diào)棧來維護(hù)了，每次維護(hù)完之后棧頂就是我們需要尋找的節(jié)點(diǎn)編號(hào)了，注意，單調(diào)棧里維護(hù)的為每個(gè)節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)，也就是id，通過這個(gè)id就可以直接訪問其內(nèi)部成員了，用單調(diào)棧的話因?yàn)槊總€(gè)成員至多訪問一次，所以時(shí)間復(fù)雜度也就是O(n)建樹了

不過zx學(xué)長想出了另一個(gè)方法，也就是根據(jù)建樹的整個(gè)過程得到啟發(fā)的，因?yàn)槊看挝覀冋业揭粋€(gè)放置點(diǎn)x的位置后，整個(gè)樹鏈的下半部分都會(huì)拐個(gè)彎，拐到節(jié)點(diǎn)x的左節(jié)點(diǎn)去了，所以此時(shí)最右邊的樹鏈相當(dāng)于將原本下半部分的節(jié)點(diǎn)刪除掉了，然后此時(shí)的點(diǎn)x一定是最右端樹鏈的最末端的節(jié)點(diǎn)，此時(shí)我們每次可以沿著最末端的節(jié)點(diǎn)往上跳，跳完之后直接將下半部分的樹鏈拐彎，這樣理論上每個(gè)節(jié)點(diǎn)至多也是遍歷一次，時(shí)間復(fù)雜度是O(n)

其實(shí)兩種方法大同小異，都離不開笛卡爾樹的兩個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)，理解了如何根據(jù)其性質(zhì)建樹之后就想怎么建就怎么建了。。

代碼：

單調(diào)棧：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e4+100;struct Node {int l,r,fa,val,key,id;bool operator<(const Node& a)const{return key<a.key;} }tree[N],ans[N];stack<int>s;//維護(hù)id，維護(hù)val的小頂棧 void insert(int x) {while(s.size()&&tree[s.top()].val>tree[x].val)//單調(diào)棧維護(hù)非嚴(yán)格遞增序列s.pop();tree[x].l=tree[s.top()].r;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的左兒子tree[tree[s.top()].r].fa=x;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的左兒子 的父節(jié)點(diǎn)tree[x].fa=s.top();//更新 節(jié)點(diǎn)x 的父節(jié)點(diǎn)tree[s.top()].r=x;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的父節(jié)點(diǎn) 的右兒子s.push(x); }void init() {tree[0].val=-inf;tree[0].l=tree[0].r=0;s.push(0); }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin); // ios::sync_with_stdio(false);int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&tree[i].key,&tree[i].val);tree[i].id=i;}sort(tree+1,tree+1+n);for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);for(int i=1;i<=n;i++){ans[tree[i].id].fa=tree[tree[i].fa].id;ans[tree[i].id].l=tree[tree[i].l].id;ans[tree[i].id].r=tree[tree[i].r].id;}printf("YES\n");for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d %d\n",ans[i].fa,ans[i].l,ans[i].r);}return 0; }

暴跳父親：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e4+100;struct Node {int l,r,fa,val,key,id;bool operator<(const Node& a)const{return key<a.key;} }tree[N],ans[N];void insert(int pos) {int cur=pos-1;while(tree[cur].val>tree[pos].val)//用while暴跳父親，直到父親節(jié)點(diǎn)的val小于等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的valcur=tree[cur].fa;tree[tree[cur].r].fa=pos;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的左兒子 的父節(jié)點(diǎn)tree[pos].l=tree[cur].r;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的左兒子tree[cur].r=pos;//更新 節(jié)點(diǎn)x 的父節(jié)點(diǎn) 的右兒子tree[pos].fa=cur;//更新節(jié)點(diǎn)x 的父節(jié)點(diǎn) }void dfs(int x) {if(!x)return;ans[tree[x].id].fa=tree[tree[x].fa].id;ans[tree[x].id].l=tree[tree[x].l].id;ans[tree[x].id].r=tree[tree[x].r].id;dfs(tree[x].l);dfs(tree[x].r); }void init() {tree[0].val=-inf;tree[0].l=tree[0].r=0; }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin); // ios::sync_with_stdio(false);int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&tree[i].key,&tree[i].val);tree[i].id=i;}sort(tree+1,tree+1+n);for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);dfs(tree[0].r);printf("YES\n");for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d %d\n",ans[i].fa,ans[i].l,ans[i].r);}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 2201 Cartesian Tree(笛卡尔树-单调栈/暴跳父亲)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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