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題目大意：給出一個無窮個節點的樹，對于每個大于 1 的點 i 來說，可以向點 i / minvid[ i ] 連邊，這里的 mindiv[ x ] 表示的是 x 的最小質因數，現在給定 m 個點分別是 1! , 2! , 3! ... ，每個點都有個權值 w[ i ] ，現在需要找出一個點 u ，使得最小，輸出這個最小值

題目分析：先說收獲，通過這個題讓我稍微明白了一點換根dp。。話說為什么不直接去刷換根dp的題目，感覺有點多此億舉

再說簡單的部分，如果 m 個節點的樹已經求出來了，猜也能猜出來點 u 一定是 m 個點中的一個點，所以我們可以通過樹形dp的換根維護一下最小值就能得到答案了，具體操作如下：

設 dp1[ i ] 為以點 i 為子樹時的點權之和，轉移方程為：dp1[ u ] += dp1[ v ]，換根時的轉移方程為：dp1[ u?] -= dp1[ v?] , dp1[ v ] += dp1[ u ]

然后設 dp2[ i ] 為以點 i 為子樹是題目中公式的結果，因為子樹的權值和已經通過 dp1 轉移好了，現在只需要結合距離，也就是深度差就可以轉移 dp2 了，可以想象為?u 的所有子節點 v 所代表的子樹，需要沿著 u - v 這條路徑向上轉移，也就是 dp2[ u ] += dp2[ v ] + ( deep[ v ] - deep[ u ] ) * dp1[ v ] ，當然換根時的轉移方程也是大同小異：dp2[ u ] -= dp2[ v ] + ( deep[ v ] - deep[ u ] ) * dp1[ v ] ,dp2[ v ] += dp2[ u ] +?( deep[ v ] - deep[ u ] ) * dp1[ u?]

注意一下換根時的先后順序，應該先在當前節點 u 中減去子節點 v 的貢獻，然后再在 v 中加上 u 的貢獻

轉移完成后，dp2[ root?] 就是當 u 選為 root 時的答案，為了方便起見，將 root 設為 1 即可

然后就是比較難的虛樹部分了，因為涉及到了階乘，所以原圖中節點的數量會非常龐大，但經過上面的分析，大量的節點都是無用點，只有 1!,2!,3! ... i! ... m! 最多 m 個節點是有用的節點，這樣不難想到虛樹，但因為無法建立原圖，所以不能按照常規的方式構造虛樹，這里需要更加深入了解一下虛樹的構造方法：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html

讀完上面的博客后，我們已經知道，如果想要構造出虛樹，必須要知道的是：

m 個節點的 dfn ( dfs序 )

m 個節點排好序后，所有相鄰節點的 lca 的 dfn

所以此時的關鍵信息就是需要知道，m 個節點的 dfn，下面借用一下zx學長的圖片：

如圖就是含有 1! , 2! , 3! , 4! , 5! , 6! 的一棵樹，省略了很多無用節點

可以通過觀察出的一些結論就是：

對于每一個 i 來說，點 1 到點 i! 的鏈的長度是與 i 呈正相關的關系

還是上面提到的鏈，質因子的大小不增，例如 1 ~ 5! 這條鏈的邊權依次為：5 3 2 2 2

將結論 1 具化一下就是 d[ i + 1 ] = d[ i ] + ( i + 1 的質因子個數 )

對于 1 ~ i! 這條鏈來說，一定是由 1 ~ ( i - 1?)! 這條鏈加上 i 的質因子繼承過來的，例如 1 ~ 3! 的邊權依次為：3 2，而 1 ~ 4! 的邊權依次為 3 2 2 2，因為 4 的質因子為 2 * 2 ，所以 1 ~ 4! 的邊權在 1 ~ 3! 的基礎上增加了兩個 2

按照上圖構造的樹，點 i! 和點 i 的 dfn 是呈正相關的關系

假如唯一分解?的形式，那么 dis( 1 , i! ) = e1 + e2 + e3 + ... + ek

現在問題就剩下了，如何求兩個點相鄰節點 ( ( i - 1 )! , i! ) 的 lca 的 dfn

上面的第四個結論提到了，1 ~ i! 這條鏈是從?1 ~ ( i - 1 )! 這條鏈繼承而來的，再結合第二個結論，得出?lca( ( i - 1 )! , i! ) 一定是由( i?- 1 )! 和 i! 前面的最大公共質因子組成的一條鏈，而 1 ~ i! 這條鏈相對于 1 ~ ( i - 1 )! 這條鏈多出了 i 的質因子條邊，所以只需要在 1 ~ ( i - 1 )! 這條鏈上找到 i 的最大質因子的位置即可，這樣就能根據第六個結論計算出 dfn[ lca ] 了，可以用線段樹或樹狀數組來實現這個功能，只需要在迭代的同時，利用數據結構維護一下當前 i! 這條鏈上每個質因子的出現次數即可

注意在這個題目中， dfn 和 deep 我都用了 dfn 數組表示，然后 dfn[ i?] 表示的是點 i 的 dfn，而 dfn[ i + n ] 代表的是 lca( ( i - 1 )! , i! ) 的 dfn

代碼：
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int n,w[N],mindiv[N],c[N],dfn[N],st[N],top;LL dp1[N],dp2[N],ans;vector<int>node[N];int lowbit(int x) {return x&(-x); }void add(int pos) {while(pos<=n){c[pos]++;pos+=lowbit(pos);} }int ask(int pos) {int ans=0;while(pos){ans+=c[pos];pos-=lowbit(pos);}return ans; }void build() {dfn[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){dfn[i]=dfn[i-1];int j=i;while(j!=mindiv[j])//求出i的最大質因子 j/=mindiv[j];dfn[i+n]=ask(n)-ask(j-1)+1;//dfn[i+n]=dfn[lca((i-1)!,i!)]j=i;while(j!=1)//更新樹狀數組維護的鏈 {dfn[i]++;add(mindiv[j]);j/=mindiv[j];}}int top=0;st[top]=1;for(int i=2;i<=n;i++){int x=i,y=i+n;while(top&&dfn[st[top-1]]>=dfn[y]){node[st[top-1]].push_back(st[top]);top--;}if(dfn[y]!=dfn[st[top]]){node[y].push_back(st[top]);st[top]=y;}st[++top]=x;}while(top){node[st[top-1]].push_back(st[top]);top--;} }void dfs1(int u) {dp1[u]=w[u];for(auto v:node[u]){dfs1(v);dp1[u]+=dp1[v];dp2[u]+=dp2[v]+dp1[v]*(dfn[v]-dfn[u]);} }void dfs2(int u) {ans=min(ans,dp2[u]);for(auto v:node[u]){LL u1=dp1[u],u2=dp2[u],v1=dp1[v],v2=dp2[v];dp2[u]-=dp2[v]+dp1[v]*(dfn[v]-dfn[u]);dp1[u]-=dp1[v];dp1[v]+=dp1[u];dp2[v]+=dp2[u]+dp1[u]*(dfn[v]-dfn[u]);dfs2(v);dp1[u]=u1,dp2[u]=u2,dp1[v]=v1,dp2[v]=v2;} }void init(int n) {ans=1e18;for(int i=0;i<=n<<1;i++){w[i]=c[i]=dp1[i]=dp2[i]=0;node[i].clear();} }void init()//預處理mindiv[x]:x的最小質因子 {mindiv[1]=1;for(int i=2;i<N;i++)if(!mindiv[i])for(int j=i;j<N;j+=i)if(!mindiv[j])mindiv[j]=i; }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);init();while(scanf("%d",&n)!=EOF){init((n<<1)+5);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",w+i);build();//建虛樹dfs1(1);dfs2(1);printf("%lld\n",ans);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛客多校1 - Infinite Tree(虚树+换根dp+树状数组)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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