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題目大意：給出一個長度為 $n$ 的序列，每次操作可以將任意一本書放到序列的末尾，問最少需要操作多少次，才能使得相同的數字挨在一起

題目分析：不難看出，對每個位置的數都操作一次，是肯定能滿足條件的，現在我們的目標是如何求得最優解

我們需要先轉換一下模型，題目要求操作最少，我們可以轉換為求哪些位置是不需要移動的。這樣將剩下的位置按照一定次序進行操作，一定是可以達到目標的

對于某個數字 $x$ 而言，設 $l[x]$ 和 $r[x]$ 分別為 $x$ 在原序列中第一次和最后一次出現的位置，同時 $cnt[x]$ 是 $x$ 在整個序列出現的次數。假如 $x$ 不需要移動的話，那么 $[l[x],r[x]]$ 這個區間內對 $dp$ （哪些位置不需要移動）可以提供 $cnt[x]$ 的貢獻

不難看出，經過一系列迭代后，可以同時做出貢獻的區間，必須是互不相交的，這一點是比較顯然的

所以我們可以參考區間覆蓋類 $dp$ 的轉移框架：$dp[i]=dp[j]+[j,i]區間的貢獻$

分析到此為止，本題其實就是一個中規中矩的 $dp$ 而已，下面我想加入點自己的理解

如果繼續下去，$dp$ 的狀態意義為，哪些位置是不需要移動的位置，那么我們必須限制遞推是倒著來的，也就是 $dp[i]$ 代表的是，區間 $[i,n]$ 中，最多有多少個位置是不需要移動的

為什么要倒著來呢？因為本題的操作是需要將數字扔到序列的末尾，$dp[i]$ 可以初始化為，$[i,n]$ 中有多少個 $a[i]$，這樣初始化是很簡單且可行的，可行性自己思考一下就能想明白了。但是與之相對的，如果 $dp[i]$ 的遞推是正向進行的，那就無法這樣初始化了，所以遞推下去相對困難

所以可以正著來嗎？答案是肯定的，只不過需要對 $dp$ 狀態換個意義了，$dp[i]$ 代表的是 $[1,i]$ 中，每個數字所在的范圍互不相交可以取到的最多的數字。如果想要求解上述的 “最多有多少個位置是不需要移動的”，還需要做進一步的轉換，那就是需要求出區間 $[i+1,n]$ 中，出現次數最多的數字。因為根據貪心來想，我們如果想要讓 $dp[i]$ 前面的部分作出貢獻，就必須在 $[i+1,n]$ 這段區間中固定下來一個 “不需要移動的數字” 才行。

其實也比較好理解，根據區間不相交的特點，$dp[i]$ 已經求出了 $[1,i]$ 中不需要移動的數字了，而我們還需要求出 $[i+1,n]$ 中不需要移動的數字，貪心去想，顯然是令出現次數最多的數字不動是最優的

代碼：
倒著的

// Problem: E. Sorting Books // Contest: Codeforces - Codeforces Round #699 (Div. 2) // URL: https://codeforces.com/contest/1481/problem/E // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #define lowbit(x) x&-x using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; int a[N],dp[N],l[N],r[N],cnt[N]; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);r[a[i]]=i;if(l[a[i]]==0) {l[a[i]]=i;}}for(int i=n;i>=1;i--) {dp[i]=dp[i+1];cnt[a[i]]++;if(i==l[a[i]]) {dp[i]=max(dp[i],dp[r[a[i]]+1]+cnt[a[i]]);} else {dp[i]=max(dp[i],cnt[a[i]]);}}cout<<n-dp[1]<<endl;return 0; }

正著的：

// Problem: E. Sorting Books // Contest: Codeforces - Codeforces Round #699 (Div. 2) // URL: https://codeforces.com/contest/1481/problem/E // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #define lowbit(x) x&-x using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; int a[N],dp[N],l[N],r[N],cnt[N],mmax[N]; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);r[a[i]]=i;if(l[a[i]]==0) {l[a[i]]=i;}}for(int i=n;i>=1;i--) {cnt[a[i]]++;mmax[i]=max(mmax[i+1],cnt[a[i]]);}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) {dp[i]=dp[i-1];if(i==r[a[i]]) {dp[i]=max(dp[i],dp[l[a[i]]-1]+cnt[a[i]]);}ans=max(ans,dp[i]+mmax[i+1]);}cout<<n-ans<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces - 1481E Sorting Books(贪心+dp)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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