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題目大意：給出一個長度為 $n$ 的序列，再給出 $m$ 次詢問，每次詢問需要回答一個區間 $[l,r]$ 內所有子區間的最小值之和

題目分析：因為可以離線，所以考慮莫隊，這個題的難點是如何處理 $[L,R]$ 遞推到 $[L,R+1]$

從 $[L,R]$ 推到 $[L,R+1]$，實質上多了 $R?L+2$ 個子區間，分別是 $[L,R+1],[L+1,R+1],...,[R+1,R+1]$，我們只需要將這些子區間的最小值之和加上就好了

所以不難想到需要維護一個輔助數組 $f[r]$，代表前綴 $[1:r]$ 的所有后綴 $[1:r],[2:r],...,[r:r]$ 的最小值之和，轉移的話可以利用單調棧維護出 $l[r]$ 代表 $r$ 左側首個小于 $a[r]$ 的位置，那么有 $f[r]=f[l[r]]+(r?l[r])?a[r]$，具體意義就是 $a[r]$ 充當了左端點位于 $(l[r],r]$ 的這些后綴的最小值

現在我們需要借助 $f$ 數組快速求出以 $R+1$ 為右端點，左端點位于區間 $[L,R+1]$ ，右端點為 $R+1$ 的子區間的最小值之和，下文稱最小值之和為貢獻

設區間 $[L,R+1]$ 的最小值的位置為 $p$，不難看出左端點位于 $[L,p]$ 的子區間的貢獻為 $a[p]$，現在我們的問題變成如何計算左端點位于 $(p,R+1]$ 的子區間的貢獻

用我們剛才的 $f$ 公式展開看看？

設 $x=R+1$ ：$f[x]=f[l[x]]+(x?l[x])?a[x]$

設 $pre=l[x]$ ： $f[pre]=f[l[pre]]+(pre?l[pre])?a[pre]$

設 $ppre=l[pre]$ ： $f[ppre]=f[l[ppre]]+(ppre?l[ppre])?a[ppre]$

…

不難發現我們會沿著一個 $a[pre]$ 遞減的序列一直迭代，即 $a[ppre]<a[pre]<a[x]$，并且直到 $p$ 停止，因為 $a[p]$ 是區間 $[L,R+1]$ 中的最小值呀，$a[p]$ 前面不會再有比它小的數字了

如果將上面的公式自底向上套進去的話，我們會驚奇的發現，$f[R+1]?f[p]$ 即為所求，也就是左端點位于 $(p,R+1]$ ，右端點為 $R+1$ 的這些子區間的貢獻

到此為止我們可以利用 $RMQ$ 預處理區間最小值的位置然后 $O(1)$ 進行區間 $[L,R]$ 到 $[L,R+1]$ 的擴展了，對于剩下的 $[L,R?1],[L+1,R],[L?1,R]$ ，分析起來同理，這里不做過多贅述

有一個小問題就是，這個題的莫隊的修改順序需要先加后減，不然會又WA又RE的

那么莫隊的時間復雜度就是 $O(nlogn+n\sqrt{n})=O(n\sqrt{n})$

---

打一個分割線，下面講講另一種寫法

注意到這個題很巧妙地預處理出了 $f$ 數組輔助莫隊的轉移，所以我們既然想到了 $f$ 數組，為什么不思考一下能否直接用 $f$ 數組計算區間的貢獻呢？

給定區間 $[L,R]$，還是設 $p$ 為區間最小值的位置，我們將總貢獻分成三份：區間 $[L,R]$ 的貢獻 = 區間 $[L,p)$ 的貢獻 + 區間 $(p,R]$ 的貢獻 + $(p?L+1)?(R?p+1)?a[p]$

上述公式第三項 $(p?L+1)?(R?p+1)?a[p]$ ，意思就是左端點位于 $[L,p]$，同時右端點位于 $[p,R]$ 的子區間的貢獻

這里我們以區間 $(p,R]$ 的貢獻為例，分析一下該如何計算

前面的莫隊解法我們提到了，$f[R]?f[p]$ 代表的是，右端點為 $R$，左端點位于 $(p,R]$ 的子區間的貢獻

那么擴展到 $f[R?1]?f[p]$ 是不是也可以代表，右端點為 $R?1$，左端點位于 $(p,R?1]$ 的子區間的貢獻？

所以區間 $(p,R]$ 的貢獻就可以寫成$(f[R]?f[p])+(f[R?1]?f[p])+...+(f[p+1]?f[p])$

設 $g[i]=\sum _{j=1}^{j}f[j]$，也就是數組 $f$ 的一個前綴和，那么上述公式就等價于 $g[R]?g[p]?f[p]?(R?p)$

所以現在本題的時空復雜度就變成 $RMQ$ 預處理的復雜度了，也就是 $O(nlogn)$，且強制在線

代碼：
離線

// Problem: P3246 [HNOI2016]序列 // Contest: Luogu // URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3246 // Memory Limit: 500 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #define lowbit(x) x&-x using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e5+100; int size,n,m,a[N],l[N],r[N],mmin[N][20],Log[N]; LL fl[N],fr[N],ans[N]; struct query {int l,r,id;bool operator<(const query& a)const{if(l/size!=a.l/size)return l<a.l;else if((l/size)&1)return r<a.r;elsereturn r>a.r;} }q[N]; int cmp(int x,int y) {return a[x]<a[y]?x:y; } int ask(int l,int r) {int k=Log[r-l+1];return cmp(mmin[l][k],mmin[r-(1<<k)+1][k]); } LL left(int l,int r) {int p=ask(l,r);return 1LL*(r-p+1)*a[p]+fl[l]-fl[p]; } LL right(int l,int r) {int p=ask(l,r);return 1LL*(p-l+1)*a[p]+fr[r]-fr[p]; } void solve() {int l=1,r=0;LL sum=0;for(int i=1;i<=m;i++){int ql=q[i].l;int qr=q[i].r;while(l>ql) sum+=left(l-1,r),l--;while(r<qr) sum+=right(l,r+1),r++;while(l<ql) sum-=left(l,r),l++;while(r>qr) sum-=right(l,r),r--;ans[q[i].id]=sum;} } void init() {size=313;//單調棧stack<int>st;for(int i=1;i<=n;i++) {while(st.size()&&a[st.top()]>a[i]) st.pop();if(st.empty()) l[i]=0;else l[i]=st.top();st.push(i);}while(st.size()) st.pop();for(int i=n;i>=1;i--) {while(st.size()&&a[st.top()]>a[i]) st.pop();if(st.empty()) r[i]=n+1;else r[i]=st.top();st.push(i);}//RMQfor(int i=1;i<=n;i++)mmin[i][0]=i,Log[i]=log2(i);for(int i=1;i<20;i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)mmin[j][i]=cmp(mmin[j][i-1],mmin[j+(1<<(i-1))][i-1]);//dpfor(int i=1;i<=n;i++) fr[i]=fr[l[i]]+1LL*(i-l[i])*a[i];for(int i=n;i>=1;i--) fl[i]=fl[r[i]]+1LL*(r[i]-i)*a[i]; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);}init();for(int i=1;i<=m;i++) {read(q[i].l),read(q[i].r),q[i].id=i;}sort(q+1,q+1+m);solve();for(int i=1;i<=m;i++) {printf("%lld\n",ans[i]);}return 0; }

在線

// Problem: P3246 [HNOI2016]序列 // Contest: Luogu // URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3246 // Memory Limit: 500 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #define lowbit(x) x&-x using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e5+100; int n,m,a[N],l[N],r[N],mmin[N][20],Log[N]; LL fl[N],fr[N],gl[N],gr[N]; int cmp(int x,int y) {return a[x]<a[y]?x:y; } int ask(int l,int r) {int k=Log[r-l+1];return cmp(mmin[l][k],mmin[r-(1<<k)+1][k]); } void init() {//單調棧stack<int>st;for(int i=1;i<=n;i++) {while(st.size()&&a[st.top()]>a[i]) st.pop();if(st.empty()) l[i]=0;else l[i]=st.top();st.push(i);}while(st.size()) st.pop();for(int i=n;i>=1;i--) {while(st.size()&&a[st.top()]>a[i]) st.pop();if(st.empty()) r[i]=n+1;else r[i]=st.top();st.push(i);}//RMQfor(int i=1;i<=n;i++)mmin[i][0]=i,Log[i]=log2(i);for(int i=1;i<20;i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)mmin[j][i]=cmp(mmin[j][i-1],mmin[j+(1<<(i-1))][i-1]);//dpfor(int i=1;i<=n;i++) fr[i]=fr[l[i]]+1LL*(i-l[i])*a[i],gr[i]=gr[i-1]+fr[i];for(int i=n;i>=1;i--) fl[i]=fl[r[i]]+1LL*(r[i]-i)*a[i],gl[i]=gl[i+1]+fl[i]; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);}init();while(m--) {int l,r;read(l),read(r);int p=ask(l,r);printf("%lld\n",1LL*(p-l+1)*(r-p+1)*a[p]+gr[r]-gr[p]-fr[p]*(r-p)+gl[l]-gl[p]-fl[p]*(p-l));}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷 - P3246 [HNOI2016]序列(莫队+单调栈)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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