什么是最短路徑問題？

簡(jiǎn)單來講，就是用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。

單源最短路算法：已知起點(diǎn)，求到達(dá)其他點(diǎn)的最短路徑。

常用算法：Dijkstra算法、Bellman-ford算法、SPFA算法

多源最短路算法：求任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。

常用算法：floyd算法

單源最短路徑——Dijkstra

Dijkstra算法是經(jīng)典的最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。

主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。

時(shí)間復(fù)雜度：O(n^2)

處理問題：單源、無負(fù)權(quán)、有向圖、無向圖最短路徑

不能使用的情況：邊中含有負(fù)權(quán)值（無法判斷）

#define INF 0x3f3f3f3fint e[Max][Max];//e[i][j]代表從i->j的距離，不通設(shè)為無窮大 int dis[Max];//dis[i]代表從起點(diǎn)到i的最短距離 bool book[Max];//book[i]代表點(diǎn)i是否在S中 int n;//n個(gè)頂點(diǎn) int s;//起點(diǎn)void Dijkstra() {for(int i=1;i<=n;i++)//初始化dis數(shù)組dis[i]=e[s][i];for(int i=1;i<=n;i++)//初始化book數(shù)組book[i]=0;dis[s]=0;book[s]=1;for(int i=1;i<=n-1;i++)//Dijkstra算法核心語句 {int minDis=INF;int k;//找到與s最近的頂點(diǎn)kfor(int j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0 && dis[j]<minDis){minDis=dis[j];k=j;}}book[k]=1;for(int j=1;j<=n;j++)//“松弛”過程 {if(e[k][j]<INF){if(dis[j]>dis[k]+e[k][j])dis[j]=dis[k]+e[k][j];}}} }

基本思想：把帶權(quán)圖中所有的點(diǎn)分為兩部分S∪U，S為已經(jīng)求出從起點(diǎn)到該點(diǎn)的最短路徑的點(diǎn)集合，U中為未確定最短路徑的點(diǎn)集合。把U中的點(diǎn)一個(gè)一個(gè)加入到S中，最后求出全部最短路徑。

如何把U中的點(diǎn)加入S中呢？

①初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)s，即S＝{s}，dis[s]=0。U包含除v外的其他頂點(diǎn)，即U={其余頂點(diǎn)}，若s與U中頂點(diǎn)u有邊，則dis[u]=e[s][u]，否則，dis[u]=∞。

②從U中找到一個(gè)與源點(diǎn)s距離最小（min(dis[])）的頂點(diǎn)k，把k加入S中，dis[k]確定（仔細(xì)想想，s與k最短路徑必定是dis[k]=e[s][k]，找不到更短的）。

③以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改源點(diǎn)s到U中各頂點(diǎn)的距離dis[]：若從源點(diǎn)s到頂點(diǎn)u的距離（dis[k]+e[k][u]，經(jīng)過頂點(diǎn)k）比原來距離（dis[u]，不經(jīng)過頂點(diǎn)k）短，則修改頂點(diǎn)u的距離值，修改后的距離值的頂點(diǎn)k的距離加上邊上的權(quán)。（這一過程稱為“松弛”）

④重復(fù)步驟②和③直到所有頂點(diǎn)都包含在S中。

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算法優(yōu)化：這里面每次都要尋找距離最短的那個(gè)點(diǎn)和距離，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，可以用“堆”來優(yōu)化，是時(shí)間復(fù)雜度降為O(lgn)。

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算法過程詳解：http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1387799

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單源最短路徑——Bellman-ford算法

求單源最短路徑，可以判斷有無負(fù)權(quán)回路（若有，則不存在最短路）， 時(shí)效性較好，時(shí)間復(fù)雜度O（VE）。

處理問題：單源、可有負(fù)權(quán)、有向圖、無向圖最短路徑

注：下面代碼為有向圖最短路徑

#define INF 0x3f3f3f3fstruct Edge{int u;//起int v;//終int weight;//長(zhǎng)度 };Edge edge[maxm];//用來存儲(chǔ)所有的邊 int dis[maxn];//dis[i]表示源點(diǎn)到i的最短距離 int n,m;//n個(gè)點(diǎn)，m條邊 int s;//源點(diǎn)bool Bellmen_ford() {for(int i=1;i<=n;i++)//初始化dis[i]=INF;dis[s]=0;//源節(jié)點(diǎn)到自己的距離為0for(int i=1;i<n;i++)//松弛過程，計(jì)算最短路徑 {for(int j=1;j<=m;j++){if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].weight)//比較s->v與s->u->v大小dis[edge[j].v]=dis[edge[j].u]+edge[j].weight;}}for(int j=1;j<=m;j++)//判斷是否有負(fù)邊權(quán)的邊 {if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].weight)return false;}return true; }

基本思想：bellman-ford的思想和dijkstra很像，其關(guān)鍵點(diǎn)都在于不斷地對(duì)邊進(jìn)行松弛。而最大的區(qū)別就在于前者能作用于負(fù)邊權(quán)的情況。其實(shí)現(xiàn)思路是在求出最短路徑后，判斷此刻是否還能對(duì)便進(jìn)行松弛，如果還能進(jìn)行松弛，便說明還有負(fù)邊權(quán)的邊。

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單源最短路徑——SPFA算法

上一種算法其實(shí)不好用，復(fù)雜度太高，SPFA算法是Bellman-ford算法的隊(duì)列優(yōu)化，比較常用。SPFA算法在負(fù)邊權(quán)圖上可以完全取代Bellman-ford算法，另外在稀疏圖中也表現(xiàn)良好。但是在非負(fù)邊權(quán)圖中，為了避免最壞情況的出現(xiàn)，通常使用效率更加穩(wěn)定的Dijkstra算法，以及它的使用堆優(yōu)化的版本。通常的SPFA算法在一類網(wǎng)格圖中的表現(xiàn)不盡如人意。不是很穩(wěn)定，不如Dijkstra。

處理問題：單源、可有負(fù)權(quán)、有向圖、無向圖最短路徑（自身其實(shí)無法處理負(fù)權(quán)）

#define INF 0x3f3f3f3fint dis[MAX];//dis[i]表示起點(diǎn)到i的最短距離 bool vis[MAX];//是否訪問過點(diǎn)i int e[MAX][MAX];//矩陣int n,m;//點(diǎn)和邊的數(shù)量 int s;//源點(diǎn)void SPFA() {for(int i=1;i<=n;i++)//初始化 {dis[i]=INF;vis[i]=false;}queue<int> q;q.push(s);dis[s]=0;vis[s]=true;while(!q.empty()){int cur=q.front();q.pop();vis[cur]=false;for(int i=1;i<=n;i++){if(e[cur][i]!=INF&&dis[i]>=dis[cur]+e[cur][i]){dis[i]=dis[cur]+e[cur][i];if(!vis[i]){vis[i]=true;q.push(i);}}}} }

算法思想：

設(shè)立一個(gè)隊(duì)列用來保存待優(yōu)化的點(diǎn)，優(yōu)化時(shí)每次取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)u，并且用u點(diǎn)當(dāng)前的最短路徑估計(jì)值對(duì)u點(diǎn)所指向的結(jié)點(diǎn)v進(jìn)行松弛操作，如果v點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值有所調(diào)整，且v點(diǎn)不在當(dāng)前的隊(duì)列中，就將v點(diǎn)放入隊(duì)尾。這樣不斷從隊(duì)列中取出結(jié)點(diǎn)來進(jìn)行松弛操作，直至隊(duì)列空為止。

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算法過程詳解：http://www.360doc.com/content/13/1208/22/14357424_335569176.shtml

例題：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1008

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多源最短路徑——Floyd算法

Floyd算法是一種利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想的計(jì)算加權(quán)圖中多源點(diǎn)之間最短路徑的算法。可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問題。

時(shí)間復(fù)雜度：O(N^3）

空間復(fù)雜度：O(N^2）

處理問題：多源、可有負(fù)權(quán)、有向圖、無向圖最短路徑

int e[Max][Max];//e[i][j]代表從i->j的距離，不通設(shè)為無窮大 int n;//n個(gè)頂點(diǎn) //Floyd算法 void Floyd() {for(int k=1;k<=n;k++)//遍歷所有的中間點(diǎn){for(int i=1;i<=n;i++)//遍歷所有的起點(diǎn){for(int j=1;j<=n;j++)//遍歷所有的終點(diǎn){if (e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])//如果當(dāng)前i->j的距離大于i->k->j的距離之和e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];//更新從i->j的最短路徑}}} }

算法思想：

①如果不允許有中轉(zhuǎn)點(diǎn)，那么最短路徑就是我們的e[][]原始矩陣；

②現(xiàn)在只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，判斷e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小，修改e[][]；

③接下來只允許經(jīng)過1和2號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)……

④最后，允許經(jīng)過1~n號(hào)所有頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，得到最后的e[][]，就是要求的任意兩點(diǎn)之間的最短路程。

這里面是動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想的體現(xiàn)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：e[i,j]=max{e[i,k]+e[k,j],e[i,j]}；

算法過程：對(duì)于每一對(duì)頂點(diǎn) i 和 j，看看是否存在一個(gè)頂點(diǎn) k 使得從 i 到 k 再到 j 比已知的路徑更短。如果是，則更新它。

算法過程詳解：http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613

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另外，特別鳴謝，本文參考（含大量例題）：http://blog.csdn.net/hjd_love_zzt/article/details/26739593

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作者：?AlvinZH

出處：?http://www.cnblogs.com/AlvinZH/

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的四大算法解决最短路径问题（Dijkstra+Bellman-ford+SPFA+Floyd）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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