思路

確定dp數組（dp table）以及下標的含義

dp[i]：分拆數字i，可以得到的最大乘積為dp[i]。

確定遞推公式

可以想 dp[i]最大乘積是怎么得到的呢？

其實可以從1遍歷j，然后有兩種渠道得到dp[i].

一個是j * (i - j) 直接相乘。

一個是j * dp[i - j]，相當于是拆分(i - j)，對這個拆分不理解的話，可以回想dp數組的定義。

j不用拆分是因為j是從1開始遍歷，拆分j的情況，在遍歷j的過程中其實都計算過了。那么從1遍歷j，比較(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。遞推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以這么理解，j * (i - j) 是單純的把整數拆分為兩個數相乘，而j * dp[i - j]是拆分成兩個以及兩個以上的個數相乘。

dp的初始化

嚴格從dp[i]的定義來說，dp[0] dp[1] 就不應該初始化，也就是沒有意義的數值。

這里我只初始化dp[2] = 1，從dp[i]的定義來說，拆分數字2，得到的最大乘積是1

確定遍歷順序

確定遍歷順序，先來看看遞歸公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的狀態，所以遍歷i一定是從前向后遍歷，先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚舉j的時候，是從1開始的。i是從3開始，這樣dp[i - j]就是dp[2]正好可以通過我們初始化的數值求出來。

所以遍歷順序為：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));} }

舉例推導dp數組

舉例當n為10 的時候，dp數組里的數值，如下：

時間復雜度：O(n^2) 空間復雜度：O(n) class Solution { public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n+1);//因為dp[ii]表示分拆ii得到最大乘積，而dp[0],dp[1]是無意義的dp[2]=1;for(int ii=3;ii<=n;ii++){//以3為起始點開始遞推拆分for(int jj=1;jj<ii;jj++){dp[ii]=max( dp[ii] , max( jj*(ii-jj) , jj*dp[ii-jj] ) );}}return dp[n];} };

總結

以上是生活随笔為你收集整理的整数拆分！的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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