上一篇是用二維dp數(shù)組來講解01背包。

這一篇說一說滾動數(shù)組，就是把二維dp降為一維dp。

接下來還是用如下這個例子來進行講解

背包最大重量為4。

問：背包能背的物品最大價值是多少？

一維dp數(shù)組（滾動數(shù)組）

對于背包問題其實狀態(tài)都是可以壓縮的。

在使用二維數(shù)組的時候，遞推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示從下標為[0-i]的物品里任意取，放進容量為j的背包，價值總和最大是多少。

其實可以發(fā)現(xiàn)如果把dp[i - 1]那一層拷貝到dp[i]上，表達式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

于其把dp[i - 1]這一層拷貝到dp[i]上，不如只用一個一維數(shù)組了，只用dp[j]（一維數(shù)組，也可以理解是一個滾動數(shù)組）。

這就是滾動數(shù)組的由來，需要滿足的條件是上一層可以重復(fù)利用，直接拷貝到當前層。

動規(guī)五部曲分析如下：

確定dp數(shù)組的定義

在一維dp數(shù)組中，dp[j]表示：容量為j的背包，所背的物品價值可以最大為dp[j]。

一維dp數(shù)組的遞推公式

dp[j]可以通過dp[j - weight[i]]推導(dǎo)出來，dp[j - weight[i]]表示容量為j -weight[i]的背包所背的最大價值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量為 j - 物品i 的重量的背包 加上物品i的價值。（也就是容量為j的背包，放入物品i了之后的價值即：dp[j]）

此時dp[j]有兩個選擇，一個是取自己dp[j]，一個是取dp[j - weight[i]] +value[i]，指定是取最大的，畢竟是求最大價值，

所以遞歸公式為：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

一維dp數(shù)組如何初始化

dp[j]表示：容量為j的背包，所背的物品價值可以最大為dp[j]，那么dp[0]就應(yīng)該是0。

那么dp數(shù)組除了下標0的位置，初始為0，其他下標應(yīng)該初始化多少呢？

看一下遞歸公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp數(shù)組在推導(dǎo)的時候一定是取價值最大的數(shù)，如果題目給的價值都是正整數(shù)那么非0下標都初始化為0，如果題目給的價值有負數(shù)，那么非0下標就要初始化為負無窮。

這樣才能讓dp數(shù)組在遞歸公式的過程中取的最大的價值，而不是被初始值覆蓋了。

那么假設(shè)物品價值都是大于0的，所以dp數(shù)組初始化的時候，都初始為0就可以了。

一維dp數(shù)組遍歷順序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品// 遍歷背包容量，要保證j-weight[i]>=0，所以要求j>=wewight[i]for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);//dp數(shù)組存在覆蓋，所以要max} }

二維dp遍歷的時候，背包容量是從小到大，而一維dp遍歷的時候，背包是從大到小。

因為倒敘遍歷是為了保證物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍歷了，那么物品0就會被重復(fù)加入多次！

舉一個例子：物品0的重量weight[0] = 1，價值value[0] = 15

如果正序遍歷

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此時dp[2]就已經(jīng)是30了，意味著物品0，被放入了兩次，所以不能正序遍歷。

為什么倒敘遍歷，就可以保證物品只放入一次呢？

倒敘就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp數(shù)組已經(jīng)都初始化為0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以從后往前循環(huán)，每次取得狀態(tài)不會和之前取得狀態(tài)重合，這樣每種物品就只取一次了。

那么問題又來了，為什么二維dp數(shù)組歷的時候不用倒敘呢？

因為對于二維dp，dp[i][j]都是通過上一層即dp[i - 1][j]計算而來，本層的dp[i][j]并不會被覆蓋！

再來看看兩個嵌套for循環(huán)的順序，代碼中是先遍歷物品嵌套遍歷背包容量，那可不可以先遍歷背包容量嵌套遍歷物品呢？

不可以！

因為一維dp的寫法，背包容量一定是要倒序遍歷，如果遍歷背包容量放在第一層，那么每個dp[j]就只會放入一個物品，即：背包里只放入了一個物品。

舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
一維dp，分別用物品0，物品1，物品2 來遍歷背包，最終得到結(jié)果如下：

一維dp01背包完整C++測試代碼

void test_1_wei_bag_problem() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;// 初始化vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍歷背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl; }int main() {test_1_wei_bag_problem(); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的背包必备理论基础2的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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