前沿：本文參考大量英文論文，書(shū)籍。並沒(méi)有標(biāo)記處引用，但都是經(jīng)過(guò)自己理解后手打的內(nèi)容。請(qǐng)尊重別人的版權(quán)

??????????? 部分內(nèi)容是原作英文內(nèi)容的翻譯。因篇幅，經(jīng)過(guò)修剪。

一：座標(biāo)係介紹

1.1????? 總括

? ? ? ?? ?? 1. the geodetic coordinate system,
????? ? ? ? 2. the earth-centered earth-fixed (ECEF) coordinate system,
??????????? 3. the local north-east-down (NED) coordinate system,
??????????? 4. the vehicle-carried NED coordinate system, and
??????????? 5. the body coordinate system

? ? ?? 一般我們所研究的小型無(wú)人機(jī)，會(huì)做一些簡(jiǎn)化，比如在local NED和body frame之間的轉(zhuǎn)化

將忽略一些次要因素。 實(shí)際上只需要關(guān)注於local NED和body frame系統(tǒng)座標(biāo)係就可以了。

1.2 ? ? 座標(biāo)係介紹

? ? ? ? ? 1.2.1. the geodetic coordinate system

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gps導(dǎo)航中廣泛使用的系統(tǒng)，其座標(biāo)係表示爲(wèi)P=[? λ, φ,? h]^T，實(shí)際上，因爲(wèi)地球並非一個(gè)規(guī)則的橢球面

????????? 其φ要區(qū)別於以質(zhì)心爲(wèi)中心的一般的φ。

????????? 1.2.2the earth-centered earth-fixed (ECEF) coordinate system

????????????????????? ecef座標(biāo)係與gcs座標(biāo)係關(guān)係緊密，其Z軸選自地球自轉(zhuǎn)軸，X軸從地球中心指向本初子午線方向於赤道相交點(diǎn)

???????? Y軸於Z軸和X軸滿足右手定則，注意，這裏的右手定則非電磁學(xué)右手定則

???????? 1.2.3 local NED

????????????????????? 本地NED，比較重要的座標(biāo)係。以無(wú)人機(jī)起飛點(diǎn)爲(wèi)原點(diǎn)，X軸指向地球橢球模型的北極，Y軸指向東，Z軸滿足右手

?????? 定則指向地球表面。其中三個(gè)重要向量P,V,A,下標(biāo)用n表示。（數(shù)學(xué)表達(dá)式不知道怎麼打入，就不表示了，關(guān)鍵的會(huì)截圖出來(lái)）

??????? 1.2.4 vehicle-carried NED

????????????????????? 這個(gè)於localNED非常相似，但是嚴(yán)格上，會(huì)隨著飛行器的動(dòng)作變化而變化，但是因爲(wèi)飛行器的飛行包線非常小，所以

??????? 可以近似機(jī)載NED於本地NED的座標(biāo)軸方向一致

???????? 1.2.5 the body coordinate system

????????????????????? 機(jī)體座標(biāo)係，X軸指向機(jī)體正前方，Y軸機(jī)體正右側(cè)，Z軸構(gòu)成右手定則，垂直向下。

????????????????????? 這裏值得注意的是，此時(shí)的速度Vb,加速度ab將是 機(jī)體相對(duì)本地NED座標(biāo)係的Vnb,anb到機(jī)體座標(biāo)係的投影！

????????????????????? 註：這段的原版英文就不貼出來(lái)，我翻閱了很多資料，我認(rèn)爲(wèi)這樣的翻譯是最正確的，有些中文解釋，並未暗示處這層關(guān)係

????????

?二： 座標(biāo)係變換

????????? 2.1 概述

???????????????? 兩個(gè)笛卡爾座標(biāo)係之間，可以通過(guò)3次連續(xù)的歐拉旋轉(zhuǎn)相互得到。歐拉角分爲(wèi)3個(gè)，yaw,pitch,roll且兩個(gè)座標(biāo)係的變化也是按照

????????? 這樣的順尋。而對(duì)於無(wú)人機(jī)主要關(guān)心的也是local ned和vechicle body之間的轉(zhuǎn)換。

????????? 問(wèn)題二：爲(wèi)什麼需要將本地ned和機(jī)體座標(biāo)係之間相互轉(zhuǎn)換？

? ? ? ? ? ? ???? 角速度是相對(duì)兩個(gè)座標(biāo)係而言，這裏有更詳細(xì)的論述，但是頗爲(wèi)抽象

? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????

????????? 2.2 旋轉(zhuǎn)過(guò)程

?????????????? ? 簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是本地NED向機(jī)體座標(biāo)係的靠攏，先讓Xn軸趨近Xb，而作出的旋轉(zhuǎn)都是以轉(zhuǎn)置座標(biāo)係的另一個(gè)成右手定則的軸爲(wèi)基準(zhǔn)。

????????? 最後經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)三次變換得到機(jī)體座標(biāo)係。用手比劃一下也能明白。

????????????????

?????????????????? 從數(shù)學(xué)上表示爲(wèi)

?????????????????

? ? ? ?? ? 2.3座標(biāo)變換

???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這裏主要著重於機(jī)載NED座標(biāo)和機(jī)體座標(biāo)的變換

?????

????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 其中爲(wèi)了節(jié)省時(shí)間，並不需要驗(yàn)證公式怎麼來(lái)的，直接當(dāng)定理來(lái)用，直接上頗爲(wèi)重要的概念是角速度的概念

?????????

???????????????? ? ? ? ?? 這裏面著重兩點(diǎn)，第一 頭上帶點(diǎn)的量此時(shí)不同於座標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)量，第二此時(shí)是角速度(機(jī)體相對(duì)於機(jī)載NED)向機(jī)體座標(biāo)係的轉(zhuǎn)化，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且向機(jī)體座標(biāo)係 的投影。

?????????????????????????? 問(wèn)題二：這些概念非常抽象，這樣轉(zhuǎn)化的目的，和作用？

三：其他知識(shí)

? ? ? ? ? ?? 3.1 四元數(shù)的概念

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四元數(shù) 作爲(wèi)一種數(shù)學(xué)衍生物，將空間的座標(biāo)p，拓展成p=（v，0）的形式，實(shí)際上來(lái)源於四元數(shù)的定義,p=xi+yk+zj+w，其

? ? ? ? ? ? ? ? ? 中關(guān)於一個(gè)座標(biāo)繞一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)b的角度，那麼 新的座標(biāo)p'=qpq*,且q有固定的表達(dá)式。 以下取自維基百科：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????Definition：As a set, the quaternions...............

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??大意： 四元數(shù)定義在四維空間上，三種運(yùn)算：加，標(biāo)量機(jī)和四元數(shù)乘機(jī)，四元數(shù)的由4個(gè)基本部分組成a1 +bi +cj + dk，簡(jiǎn)寫(xiě)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a +bi +cj + dk，這樣四元數(shù)的乘機(jī)可以由這些元素的組合，再利用分配律得到。

????????????????????? ?? 以下節(jié)選自百度百科：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四元數(shù)是簡(jiǎn)單的超復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)加上虛數(shù)單位 i 組成，其中i^2 = -1。相似地，四元數(shù)都是由實(shí)數(shù)加上三個(gè)虛數(shù)單位 i、

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系：?i^2 = j^2 = k^2 = -1，i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每個(gè)四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? 四元數(shù)一般可表示為a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是實(shí)數(shù)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這裏我對(duì)第一個(gè)規(guī)則產(chǎn)生了興趣，爲(wèi)什麼?i^2 = j^2 = k^2 = -1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 實(shí)際上這也是四元數(shù)的偉大開(kāi)端

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Hamilton was on his way to theRoyal Irish Academy with his wife and as he was passing over the Royal Canal on the

? ? ? ? ? ? ? ? ??Brougham Bridge he made a dramatic?realization that he immediately carved into the stone of the bridge.hamilton

? ? ? ? ? ? ? ? ? 在石橋上刻的也就是上面這個(gè)等式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果假設(shè)我們以第一個(gè)準(zhǔn)則爲(wèi)基礎(chǔ)，從-1=ijk到能推導(dǎo)處上面6個(gè)衍生公式。當(dāng)然這些都是數(shù)學(xué)上的理解，未從空間上理解。?四元

? ? ? ? ? ? ? ? 數(shù)作爲(wèi)一個(gè)數(shù)學(xué)產(chǎn)物，有 他的嚴(yán)格證明。至於無(wú)人機(jī)方面的使用，只是它的一個(gè)應(yīng)用，我這裏推薦一篇文章，完整講述了四元數(shù)，而

? ? ? ? ? ? ? ?且給出了證明和推導(dǎo)但是是英文版，有時(shí)間做個(gè)翻譯，寫(xiě)的非常好。歐拉角有它固有的缺陷，不論怎麼樣的次序組合都有有萬(wàn)向節(jié)死

? ? ? ? ? ? ? ?鎖，也叫奇異現(xiàn)象。解決的方式就是使用四元數(shù)規(guī)避萬(wàn)向節(jié)。下慢的鏈接很詳細(xì)，我自己也沒(méi)必要再推導(dǎo)了。一篇非常好的文章，雖

? ? ? ? ? ? ? ?然是英文：https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/#Pure_Quaternions

??????????

? ? ? ? ? ??問(wèn)題三：關(guān)於上面網(wǎng)站的證明，最後的例子，繞著q的vector旋轉(zhuǎn)爲(wèi)什麼結(jié)果是90度？作者只是一筆概括

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而旋轉(zhuǎn)的角度該怎麼得出來(lái)呢？

? ? ? ? ? ? ?答 ：我能立馬想到的證明方式是只要證明p此時(shí)和q構(gòu)成的平面，於p‘和q構(gòu)成的平面是垂直關(guān)係，則證明旋轉(zhuǎn)角度爲(wèi)90’，另外一種方式就是證明

? ? ? ? ? ? ? ?p和p'的向量，在過(guò)遠(yuǎn)點(diǎn)的垂直於旋轉(zhuǎn)軸的平面的垂直投影的夾角就是旋轉(zhuǎn)角度。註：如果只是去計(jì)算p於 p'的夾角，此時(shí)得到不是旋轉(zhuǎn)角度。

?四：算法截取

???????? 留空，以後解析pixhawk會(huì)填充

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的pixhawk篇之坐标系转化，相关转化矩阵知识，算法截取的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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