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在介紹拓?fù)渑判蚝完P(guān)鍵路徑之前，先引入AOE網(wǎng)絡(luò)的概念：

該圖為一個(gè)AOE網(wǎng)，頂點(diǎn)表示事件，如v1，v2，v3...。弧表示活動(dòng)，如a1，a2，a3...，而每一條邊表示的值為完成該活動(dòng)所需的時(shí)間。

比如上圖中，完成活動(dòng)a1需要6個(gè)單位的時(shí)間，完成活動(dòng)a3需要5個(gè)單位的時(shí)間。

AOE網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)加權(quán)有向圖，即每一條邊都是帶方向且?guī)в袡?quán)值的。對(duì)于一個(gè)有向邊，箭頭指向的點(diǎn)為終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)則是起點(diǎn)。

頂點(diǎn)的入度是指所有以該頂點(diǎn)為終點(diǎn)的有向邊的個(gè)數(shù)。如上圖中以頂點(diǎn)v5為終點(diǎn)的有向邊為a4和a5，所以頂點(diǎn)v5的入度為2。

頂點(diǎn)的出度是指所有以該頂點(diǎn)為起點(diǎn)的有向邊的個(gè)數(shù)。如上圖中以頂點(diǎn)v1為起點(diǎn)的有向邊為a1，a2和a3，所以頂點(diǎn)v1的出度為3。

我們把入度為0的頂點(diǎn)叫做源點(diǎn)，出度為0的頂點(diǎn)叫做匯點(diǎn)。上圖中v1是源點(diǎn)，v9是匯點(diǎn)。

可以理解為從源點(diǎn)出發(fā)，雖然中間會(huì)有很多不同的分岔口，但最終都會(huì)到達(dá)匯點(diǎn)。一個(gè)AOE網(wǎng)絡(luò)至少包含一個(gè)源點(diǎn)和一個(gè)匯點(diǎn)。

概念說(shuō)完了，接下來(lái)討論一下AOE網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)：

對(duì)于AOE網(wǎng)絡(luò)中的某一個(gè)頂點(diǎn)（事件）來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)所有以該頂點(diǎn)為終點(diǎn)的有向邊（活動(dòng)）都完成后，該頂點(diǎn)代表的事件才能夠發(fā)生。

同時(shí)只有某一個(gè)頂點(diǎn)（事件）發(fā)生后，以該頂點(diǎn)為起點(diǎn)的有向邊（活動(dòng)）才能夠開(kāi)始。

對(duì)于圖中的頂點(diǎn)（事件）v5來(lái)說(shuō)，只有邊（活動(dòng)）a4和a5完成后，事件v5才可以發(fā)生，邊（活動(dòng)）a7和a8才能開(kāi)始。

一個(gè)AOE網(wǎng)絡(luò)很形象的描述了在一個(gè)大的工程中的每一個(gè)子工程的前驅(qū)工程是什么，以及其后續(xù)工程是什么。同時(shí)根據(jù)每一個(gè)活動(dòng)（邊）的權(quán)值，我們可以知道某一事件發(fā)生的時(shí)間是什么。

接下來(lái)說(shuō)一下拓?fù)渑判?#xff0c;實(shí)現(xiàn)拓?fù)渑判虻牟襟E如下：

步驟1：找到AOE網(wǎng)絡(luò)中入度為0的頂點(diǎn)，輸出它。如果找不到，停止排序。

步驟2：刪除所有與該點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊，重復(fù)步驟1。

步驟3：如果輸出頂點(diǎn)個(gè)數(shù)小于總頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，則證明圖中存在環(huán)，沒(méi)有關(guān)鍵路徑

拓?fù)渑判虻慕Y(jié)果叫做拓?fù)湫蛄?#xff0c;一個(gè)AOE網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫蛄胁恢挂环N

接下來(lái)討論關(guān)鍵路徑，先明確幾個(gè)名詞。

關(guān)鍵路徑：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度最大的路徑叫關(guān)鍵路徑。

事件的最早發(fā)生時(shí)間ve：因?yàn)閷?duì)于某一個(gè)事件（頂點(diǎn)）來(lái)說(shuō)，其入度可能大于1，所以從源點(diǎn)到達(dá)該頂點(diǎn)的路就不止一條。對(duì)于其中一條路來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)的所有邊的權(quán)值的和就是對(duì)這條路來(lái)說(shuō)，到達(dá)該頂點(diǎn)需要的時(shí)間。把到達(dá)該頂點(diǎn)所有路的時(shí)間進(jìn)行比較，取最大值，就是該事件的最早發(fā)生時(shí)間。

事件的最遲發(fā)生時(shí)間vl：值在不耽誤整個(gè)工程完成時(shí)間的前提下，某一事件最晚的發(fā)生時(shí)間。這個(gè)通常比較難理解，舉個(gè)例子說(shuō)明一下。

比如說(shuō)有三個(gè)事件a，b，c。a和b是c的前驅(qū)事件，完成活動(dòng)ac需要的時(shí)間是2小時(shí)，完成活動(dòng)bc需要的時(shí)間是3小時(shí)。假設(shè)現(xiàn)在時(shí)間是下午1點(diǎn)，此時(shí)事件a和事件b都已經(jīng)發(fā)生，根據(jù)前面的描述可知，活動(dòng)ac和bc都可以開(kāi)始了。但是因?yàn)閎c需要完成的時(shí)間長(zhǎng)，所以事件c發(fā)生的時(shí)間是下午4點(diǎn)。那么因?yàn)閍c只需兩個(gè)小時(shí)就可以完成，那么事件a發(fā)生的時(shí)間可以是下午2點(diǎn)，再加上ac完成時(shí)間2個(gè)小時(shí)也是下午4點(diǎn)，并沒(méi)有耽誤到事件c的發(fā)生，這就是所謂的最晚發(fā)生時(shí)間。所以事件a的最早發(fā)生時(shí)間是下午1點(diǎn)，最晚發(fā)生時(shí)間是下午2兩點(diǎn)。

活動(dòng)開(kāi)始的最早時(shí)間e：因?yàn)槭录l(fā)生的同時(shí)與該事件關(guān)聯(lián)的活動(dòng)也就可以開(kāi)始。所以一個(gè)活動(dòng)（邊）的最早開(kāi)始時(shí)間和其起點(diǎn)所代表的事件的最早開(kāi)始時(shí)間相同。

活動(dòng)開(kāi)始的最晚時(shí)間l：事件的最晚發(fā)生時(shí)間是將事件推遲，活動(dòng)的最晚開(kāi)始時(shí)間是將活動(dòng)推遲，二者類(lèi)似。

關(guān)鍵活動(dòng)：e和l相等的活動(dòng)稱(chēng)為關(guān)鍵活動(dòng)。

所以求關(guān)鍵路徑的問(wèn)題就是求所有關(guān)鍵活動(dòng)的問(wèn)題。

示例如下：

接下來(lái)就是拓?fù)渑判蚝完P(guān)鍵路徑的實(shí)現(xiàn)了。

首先需要考慮的是AOE網(wǎng)絡(luò)的存儲(chǔ)，需要一個(gè)圖的類(lèi)，可以用鄰接表的方式實(shí)現(xiàn)。

它存在一個(gè)公有函數(shù)eraseEdge(int v1, int v2)，可以刪除邊<v1,v2>。

一個(gè)公有函數(shù)inDegree(int v)，返回頂點(diǎn)v的入度。

一個(gè)公有函數(shù)getFirstNode(int v)，返回與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的鄰接表的表頭指針。

其次需要考慮用什么存儲(chǔ)拓?fù)湫蛄?#xff0c;考慮到在求拓?fù)湫蛄袝r(shí)匯點(diǎn)是最后一個(gè)被存儲(chǔ)，而最晚發(fā)生時(shí)間是從后向前求得，匯點(diǎn)應(yīng)該首先被彈出，所以選用棧來(lái)存儲(chǔ)。

同時(shí)保存入度為0的頂點(diǎn)時(shí)也可以用棧來(lái)存儲(chǔ)，不同的存儲(chǔ)方式得出的序列不同（拓?fù)湫蛄胁恢挂粋€(gè)）。

最后需要兩個(gè)數(shù)組，一個(gè)存儲(chǔ)事件的最早發(fā)生時(shí)間，一個(gè)存儲(chǔ)事件的最晚發(fā)生時(shí)間。

#define MAX_VEX 10 linearStack<int> stack2;bool TopologicalSort(linkedWDigigraph theGraph, int *pEtv) {linearStack<int> stack1;for(int i = 0; i<=MAX_VEX; ++i) //初始化最早發(fā)生時(shí)間pEtv[i] = 0;for(int i = 1; i<=MAX_VEX; ++i){if(theGraph.inDegree(i) == 0) //首先尋找入度為0的頂點(diǎn)stack1.push(i);}int v1;int nCnt(0);chainNode<int>* pNode;while(!(stack1.empty())){v1 = stack1.top();stack1.pop();stack2.push(v1); //保存拓?fù)湫蛄衖f(++nCnt == MAX_VEX) //判斷是否有環(huán)break;pNode = theGraph.getFirstNode(v1);int v2, weight;while(pNode != NULL){v2 = pNode->element;weight = pNode->weight;pNode = pNode->next;theGraph.eraseEdge(v1, v2);if(theGraph.inDegree(v2) == 0) //刪除和頂點(diǎn)v1關(guān)聯(lián)的邊，再次尋找入度為0的頂點(diǎn)stack1.push(v1);if(pEtv[v2] < weight + pEtv[v1]) //更新最大值pEtv[v2] = weight + pEtv[v1];}}return nCnt == MAX_VEX; //判斷是否有環(huán) }
stack2存儲(chǔ)著拓?fù)湫蛄?#xff0c;供關(guān)鍵路徑函數(shù)使用：

void CriticalPath(linkedWDigraph& theGraph, int *pEtv, int *pLtv) {for(int i = 1; i<=MAX_VEX; ++i)pLtv[i] = pEtv[MAX_VEX]; //初始化最晚發(fā)生時(shí)間int v1;chainNode<int>* pNode = NULL;while(!(stack2.empty())){v1 = stack2.top();stack2.pop();pNode = theGraph.getFirstNode(v1);int v2;while(pNode != NULL){v2 = pNode->element;if(lEtv[v1] > lEtv[v2] - pNode->weight) //更新最晚發(fā)生時(shí)間lEtv[v1] = lEv[v2] - pNode->weight;pNode = pNode->next;}}int ete(0);int lte(0);for(int i= 1; <= MAX_VEX; ++i){pNode = theGraph.getFirstNode(i);while(pNode != NULL){ete = pEtv[i];lte = pLtv[pNode->element] - pNode->weight;if(ete == lte) //判斷最早發(fā)生時(shí)間和最晚發(fā)生時(shí)間是否相等{cout << "<v" << i << ",v" << pNode->element << "> :" << pNode->weight << endl;}pNode = pNode->next;}} }

與50位技術(shù)專(zhuān)家面對(duì)面20年技術(shù)見(jiàn)證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构-----图的拓扑排序和关键路径算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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