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利用歐拉方法求常微分方程近似數值解

實 驗 報 告

實驗名稱

(教師填寫)

利用歐拉方法求常微分方程近似數值解

實驗目的

(教師填寫)1．學會利用歐拉方法求微分方程的數值解。

2．觀察歐拉顯式方法的收斂性。

3．觀察歐拉顯式方法的數值不穩定性。

實驗題目

(教師填寫)完成第一題。(第二題選作。)

1．取用歐拉顯式方法求解一階線性微分方程：

計算到并與精確解比較。

2．取用歐拉顯式方法求解線性微分方程：

并畫出曲線。用改進的歐拉方法(或歐拉隱式方法)重復求解上述問題。試解釋你所觀察到的現象。

實驗報告要求

(教師填寫)

實驗內容與步驟

(學生填寫)歐拉法

#include"stdio.h"

#include"math.h"

void main()

{

int i;

double y,h,x,m,z;

printf("輸入步長h");

scanf("%f",&h);

printf("h=%f\n",h);

m=1.0/h;

y=1.0;

x=1.0;

for(i=0;i

{

y=y+h*(x+i*h)*pow(y,1.0/3.0);

}

printf("y(2)=%f\n",y);

z=pow((2*2.0+2)/3.0,3.0/2.0);

printf("精確解");

printf("y(2)=%f",z);

}

改進歐拉法

#include"stdio.h"

#include"math.h"

void main()

{

int i;

double y,y0,z,h,x,m;

printf("輸入步長h");

scanf("%f",&h);

printf("h=%f\n",h);

m=1.0/h;

y=1.0;

x=1.0;

for(i=0;i

{

y0=y+h*(x+i*h)*pow(y,1.0/3.0);

y=y+h/2*((x+i*h)*pow(y,1.0/3.0)+(x+i*h+h)*pow(y0,1.0/3.0));

}

printf("y(2)=%f\n",y);

z=pow((2*2.0+2)/3.0,3.0/2.0);

printf("精確解");

printf("y(2)=%f",z);

}

實驗結果與實驗結論

(學生填寫)歐拉法

h=0.1, y(2)=2.723877

h=0.05, y(2)=2.775436

h=0.01, y(2)=2.817713

改進歐拉法

h=0.1, y(2)=2.827609

h=0.05, y(2)=2.828219

h=0.01, y(2)=2.828419

精確解

y(2)=2.828427

歐拉法的特點

單步，顯式，一階求導精度，截斷誤差階歐拉法的缺點

歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進行計算，當步數增多時，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用于實際計算。

改進歐拉格式

為提高精度，需要在歐拉格式的基礎上進行改進。采用區間兩端的函數值的平均值作為直線方程的斜率。改進歐拉法的精度為二階。

總結

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