n?皇后問題研究的是如何將 n?個皇后放置在 n×n 的棋盤上，并且使皇后彼此之間不能相互攻擊。

上圖為 8 皇后問題的一種解法。

給定一個整數(shù) n，返回所有不同的?n?皇后問題的解決方案。

每一種解法包含一個明確的?n 皇后問題的棋子放置方案，該方案中 'Q' 和 '.' 分別代表了皇后和空位。

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示例：

輸入：4 輸出：[[".Q..", // 解法 1"...Q","Q...","..Q."],["..Q.", // 解法 2"Q...","...Q",".Q.."] ] 解釋: 4 皇后問題存在兩個不同的解法。

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提示：

• 皇后彼此不能相互攻擊，也就是說：任何兩個皇后都不能處于同一條橫行、縱行或斜線上。

基于集合的回溯

為了判斷一個位置所在的列和兩條斜線上是否已經(jīng)有皇后，使用三個集合 $\text{columns}$、diagonals1\textit{diagonals}_1diagonals1? 和 diagonals2\textit{diagonals}_2diagonals2? 分別記錄每一列以及兩個方向的每條斜線上是否有皇后。

列的表示法很直觀，一共有 $N$ 列，每一列的下標(biāo)范圍從 $0$ 到 $N?1$，使用列的下標(biāo)即可明確表示每一列。

如何表示兩個方向的斜線呢？對于每個方向的斜線，需要找到斜線上的每個位置的行下標(biāo)與列下標(biāo)之間的關(guān)系。

方向一的斜線為從左上到右下方向，同一條斜線上的每個位置滿足行下標(biāo)與列下標(biāo)之差相等，例如 $(0,0)$ 和 $(3,3)$ 在同一條方向一的斜線上。因此使用行下標(biāo)與列下標(biāo)之差即可明確表示每一條方向一的斜線。

方向二的斜線為從右上到左下方向，同一條斜線上的每個位置滿足行下標(biāo)與列下標(biāo)之和相等，例如 $(3,0)$ 和 $(1,2)$ 在同一條方向二的斜線上。因此使用行下標(biāo)與列下標(biāo)之和即可明確表示每一條方向二的斜線。

每次放置皇后時，對于每個位置判斷其是否在三個集合中，如果三個集合都不包含當(dāng)前位置，則當(dāng)前位置是可以放置皇后的位置。

Code

def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:def generateBoard():board = list()for i in range(n):rows[queues[i]] = 'Q'board.append("".join(rows))rows[queues[i]] = '.'return boarddef backtrack(row: int):if row == n:board = generateBoard()solutions.append(board)else:for col in range(n):if not (col in columns or row - col in diagonal1 or row + col in diagonal2):queues[row] = colcolumns.add(col)diagonal1.add(row - col)diagonal2.add(row + col)backtrack(row + 1)columns.remove(col)diagonal1.remove(row - col)diagonal2.remove(row + col)solutions, queues, rows = list(), [-1] * n, ['.'] * ncolumns, diagonal1, diagonal2 = set(), set(), set()backtrack(0)return solutions

復(fù)雜度分析

• 時間復(fù)雜度：$O(N!)$，其中 $N$ 是皇后數(shù)量。

• 空間復(fù)雜度：$O(N)$，其中 $N$ 是皇后數(shù)量。空間復(fù)雜度主要取決于遞歸調(diào)用層數(shù)、記錄每行放置的皇后的列下標(biāo)的數(shù)組以及三個集合，遞歸調(diào)用層數(shù)不會超過 $N$，數(shù)組的長度為 $N$，每個集合的元素個數(shù)都不會超過 $N$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的51. N-Queens N 皇后的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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