2021年第十二屆藍橋杯 - 省賽 - C/C++大學A組 - D.路徑

Ideas

算法：最短路徑
數據結構：圖
思路：根據規則構圖，單源最短路徑Dijkstra算法。

首先構圖其實很簡單，就是按照題目的要求來就可以了，這里需要注意的就是最大公約數和最小公倍數的計算函數，其實可以當做模板背下來了。

def gcd(a, b):return a if b == 0 else gcd(b, a % b)def lcm(a, b):return a * b / gcd(a, b)

然后構造圖的時候選擇通過鄰接矩陣的形式去構建。

graph = [[0] * 2021 for _ in range(2021)]for row in range(2021):for col in range(2021):graph[row][col] = float("inf") if abs(row - col) > 21 else lcm(row + 1, col + 1)

之后就是Dijkstra算法了，簡單介紹一下。

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Dijkstra單源最短路徑算法

松弛操作：對于一對頂點要求最短路徑，可以通過中轉點將路徑變短。

對于i、j兩個節點，如果想讓路徑變短，只能通過第三個節點k來中轉。舉個例子，從 1->5 距離為10，但 1->2->5 距離變成9了。

單源最短路徑問題指的是從一個點出發，求該點到其它所有頂點的最短路徑，也就是說，只能計算起點只有一個的情況。

對于圖G=<V, E>上帶權的單源最短路徑問題，Dijkstra算法設置一個集合S用來記錄已經求得最短路徑的頂點。

初始時把起點v₀放入S中，集合S每并入一個新頂點v_i，都要修改原點v₀到集合V-S中頂點的當前最短路徑長度值。

從起點到一個頂點的最短路徑一定會經過至少一個“中轉點”（我們認為起點也是一個“中轉點”），如果我們想要求出起點到一個頂點的最短路徑，那我們必須要先求出從起點到中轉點的最短路徑。

對于圖G=<V, E>，將所有的點分為兩類，一類是已經確定最短路徑的點，稱為“紅點”，另一類是未確定最短路徑的點，稱為“白點”。

Dijkstra算法的思想：首先將起點的距離標記為0，而后進行n此循環，每次找出一個到起點距離最短的點，將它從白點變為紅點，隨后枚舉所有的白點，如果以此紅點為中轉到達某個白點的路徑更短的話，那么就更新。

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通過Dijkstra最短路徑算法可以求得結點1到其它所有結點的最短路徑，最后直接輸出結點1和節點2021之間的最短路徑長度就OK啦。

Code

Python

import heapqdef gcd(a, b):return a if b == 0 else gcd(b, a % b)def lcm(a, b):return a * b / gcd(a, b)def Dijkstra(g, node):n, queue, visit = len(g), list(), set()heapq.heappush(queue, (0, node))distance = [float("inf") for _ in range(n)]distance[node] = 0while queue:dist, vertex = heapq.heappop(queue)visit.add(vertex)for i in range(n):val = g[vertex][i]if val != float("inf") and val not in visit and dist + val < distance[i]:distance[i] = dist + valheapq.heappush(queue, (dist + val, i))return distanceif __name__ == '__main__':graph = [[0] * 2021 for _ in range(2021)]for row in range(2021):for col in range(2021):graph[row][col] = float("inf") if abs(row - col) > 21 else lcm(row + 1, col + 1)dis = Dijkstra(graph, 0)print(int(dis[2021 - 1]))

Answer：10266837

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021年第十二届蓝桥杯 - 省赛 - C/C++大学A组 - D.路径的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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