1 引言

傅里葉級(jí)數(shù) (Fourier Series, FS) 是《高等數(shù)學(xué)》中遇到的一個(gè)重要的級(jí)數(shù)，它可以將任意一個(gè)滿足狄利克雷條件的函數(shù)為一系列三角級(jí)數(shù)的和。最早由法國數(shù)學(xué)家傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出，極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。根據(jù)歐拉公式及其推導(dǎo)式，傅里葉級(jí)數(shù)又可以推導(dǎo)出《信號(hào)與系統(tǒng)》中最重要的傅里葉變換(Fourier Transform, FT)。FT由于可以將信號(hào)從時(shí)域到頻域來回變換，分析信號(hào)的成分，從而廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域。在計(jì)算機(jī)處理中，信號(hào)被離散化為采樣點(diǎn)，針對(duì)離散采樣點(diǎn)的傅里葉變換成為了《數(shù)字信號(hào)處理》中的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)。但是由于DFT計(jì)算量過于龐大（計(jì)算復(fù)雜度高），1965年由J.W.庫利和T.W.圖基提出了最早版本的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)，將計(jì)算量減少了幾個(gè)量級(jí)，從而使得計(jì)算機(jī)更加快速地處理信號(hào)，從而促進(jìn)通信、信號(hào)處理領(lǐng)域的快速發(fā)展。近年來由于量子計(jì)算機(jī)的興起，量子傅里葉變換（Quantum Fourier Transform, QFT）更是可以對(duì)FFT進(jìn)行指數(shù)級(jí)別的加速。

由于這一系列變換出現(xiàn)在不同學(xué)科中，老師在講課時(shí)也是各自獨(dú)立講解，所以大多數(shù)同學(xué)（包括我）對(duì)其中的似曾相識(shí)的公式，一直分不清有什么區(qū)別和聯(lián)系，這篇文章著重于這一系列傅里葉算法的直接的相互推導(dǎo)。

2 一維傅里葉級(jí)數(shù)(FS)

2.1 周期性

首先寫出傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式：

其中，

, 是FS的系數(shù)，也是我們需要求的參數(shù)，若它們確定，則

即可被分解為N階的FS。

由于

， ，因此上式可以改寫為：

當(dāng)

時(shí)， ， 是周期為 的周期函數(shù)，也是FS中周期最大的一組分量。我們?nèi)≈芷? ，其他分量，在 中應(yīng)該包含了多個(gè)完整的周期。此時(shí)有：

2.2 正交性

何為正交？正交是線性代數(shù)中的概念，即列向量a, b的內(nèi)積為0，就稱這兩向量正交。正交還可以不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乩斫鉃檫@兩組向量之間沒有關(guān)系。

同樣地，借鑒這個(gè)定義，在連續(xù)函數(shù)中的正交為：

此時(shí)，我們令

,有：

積分是一個(gè)線性算符，積分和等于和的積分，上式可以看做兩個(gè)三角函數(shù)分別積分。當(dāng)

時(shí)，無論 還是 均大于等于1，因此它們的周期必然小于等于 。根據(jù)前面的結(jié)論有：

當(dāng)

時(shí)，上式變?yōu)?#xff1a;

前一項(xiàng)，積分明顯為0，后一項(xiàng)為

。

同理，還可以嘗試令

，在此不再贅述，可以得到結(jié)論：在FS中每兩個(gè)不同的級(jí)數(shù)之間存在兩兩正交關(guān)系。

2.3 求系數(shù)

,

首先看

怎么求。令：

就是把要分解的函數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)同時(shí)做了積分，等號(hào)右邊可以拆為2N+1個(gè)積分和，根據(jù)前面的周期性可知，除了第一項(xiàng)以外，后面的項(xiàng)的積分均為0。故上式可以化簡為：

這里的表達(dá)式就說明了

其實(shí)是函數(shù)的均值。

接著，我們嘗試求

，令：

其中，

也是1~N中的一個(gè)值，為了便于和 區(qū)分開來，方便敘述。

利用上面證明的周期性和正交性，我們可以知道，只有當(dāng)

時(shí)，積分結(jié)果才不為0，其余均為0。故上式可以化簡為：

故：

同理，我們可以得到正弦分量的系數(shù)。最后結(jié)果為：

到這里，所有FS的系數(shù)就能求出來了。但是這里有個(gè)比較詭異的地方，當(dāng)

時(shí)，上式算出的 與我們之前算出的 不等，為了保持k的延續(xù)性，通常情況是用 表示FS的第一項(xiàng)。

3 傅里葉變換(FT)

3.1 FT和FS之間的關(guān)系

首先，把傅里葉變換的公式寫出來：

然后，回到傅里葉級(jí)數(shù)。

根據(jù)歐拉公式

及其一個(gè)簡單的變形：

代入到傅里葉級(jí)數(shù)中：

令

傅里葉級(jí)數(shù)變?yōu)?#xff1a;

變換后的系數(shù)

求解方式可以根據(jù)上面 求得。

若

的定義域是 ，且 是非周期函數(shù)，我們可以對(duì) 進(jìn)行周期延拓，認(rèn)為它在定義域內(nèi)為一個(gè)周期；而 和 前所述，在 中最少有1個(gè)周期，上式不妨寫為：

所以，

當(dāng)

時(shí)， 與 間隔很小，可視作連續(xù)。

由于

在 內(nèi)為一個(gè)周期，也可以表示為在 內(nèi)也是一個(gè)周期（周期延拓）。故上式寫為

令

, 由 替換， 由 替換就出現(xiàn)了傅里葉變換的公式

3.2離散傅里葉變換

在計(jì)算機(jī)中，我們不可能令

,這樣 與 仍被當(dāng)做離散量，這樣一來積分號(hào)就變成了求和號(hào)，上式可以寫作：

因此我們就得到了能夠被計(jì)算機(jī)執(zhí)行的離散傅里葉變換的函數(shù)式。

為便于理解，先帶個(gè)具體數(shù)據(jù)進(jìn)去考慮。若采樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)為8，頻率分量個(gè)數(shù)也為8。用

來表示這種情況下的DFT函數(shù)。

上面這些式子用矩陣表示為，假設(shè)有個(gè)矩陣

右乘一個(gè)時(shí)域組成的列向量得到一個(gè)頻域組成的列向量。

將上面的一組求和式翻譯成矩陣

為了便于觀察，令

矩陣中的 。上式可以寫為：

根據(jù)

的周期性： 可進(jìn)一步化簡。

3.3 快速傅里葉變換

從3.2節(jié)，我們知道了，要完成一次DFS需要用一個(gè)矩陣去乘以一個(gè)時(shí)域組成的列向量，而這個(gè)矩陣大小與時(shí)域上的采樣點(diǎn)和頻域分量的個(gè)數(shù)有關(guān)。若它們的個(gè)數(shù)為

，則上面的一個(gè)矩陣乘法包含 次數(shù)值乘法，這當(dāng) 較大時(shí)，需要消耗大量的計(jì)算機(jī)資源。好在構(gòu)成DFS的矩陣有著一定的特殊規(guī)律，可以使用分治法，使其只需要大約 次數(shù)值乘法，即可完成工作。

仍然以

為例，不難看出 是一個(gè)正交對(duì)稱陣（實(shí)際上所有DFS構(gòu)成的矩陣都是正交對(duì)稱陣）。交換 偶數(shù)列位置提到奇數(shù)列前面。

而

與 只差一個(gè)奇偶置換矩陣

同樣地，我們還可以寫出

同樣地，令

矩陣中的

值得注意的是

（周期性）

故

又可以寫為：

左邊4列中包含了兩個(gè) 而右邊4列是由系數(shù)和 共同組成。因此 又可以被寫為：

其中

為單位陣， 是一個(gè)對(duì)角陣。

最后

這樣一來上面這個(gè)矩陣需要多少次乘法呢？由于

是奇偶置換矩陣，在計(jì)算機(jī)中是只需要移位，不需要做乘法運(yùn)算，故

顯然，主要的計(jì)算量在于

和 ,共計(jì) 次數(shù)值乘法， 是對(duì)角陣，需要額外4次乘法， 是它的相反數(shù)，不計(jì)入乘法次數(shù)。最后我們就將原本需要 次乘法變?yōu)榱? 次乘法。

同理，我們還可以對(duì)

進(jìn)一步拆分為

帶入

中

化簡下：

此時(shí)需要的乘法數(shù)量為

推廣到更一般的情況，仍然可以使用類似上述的遞歸方式，最后FFT的計(jì)算復(fù)雜度變?yōu)?

4、量子傅里葉變換

如果對(duì)量子邏輯門有一定了解的同學(xué)，看到上面最終的遞歸化簡式，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和量子邏輯門很像了。比如我們看

那這不就是

門嘛。

再比如

也可以分解成量子門的形式（中間省略了歸一化參數(shù)）：

其中

為哈德瑪門， 為 的單位陣， 為受控S門。

也可以分解成量子門的形式（中間省略了歸一化參數(shù)）：

其中，

相當(dāng)于 的單位陣。

相當(dāng)于 門。

接著 我們觀察置換矩陣

，列出這兩個(gè)的真值表

不難發(fā)現(xiàn)

就相當(dāng)于SWAP門

根據(jù)

的遞歸表達(dá)式可以看出，矩陣左乘向量順序?yàn)橄? 再 ，它們的真值表變換如下

列出合并后的真值表，那這不就是1,3 qubit交換位置嘛。

即：

整個(gè)

的遞歸式就可以寫成（中間省略了歸一化參數(shù)）：

量子電路如下：

有興趣的可以對(duì)比一下與《量子計(jì)算與量子信息》書中盒子5.1是否是等價(jià)的電路。如果以基本量子門作為計(jì)算單元的話，QFT的復(fù)雜度則只需

總結(jié)

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