1 引言

傅里葉級數 (Fourier Series, FS) 是《高等數學》中遇到的一個重要的級數，它可以將任意一個滿足狄利克雷條件的函數為一系列三角級數的和。最早由法國數學家傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出，極大地推動了偏微分方程理論的發展。根據歐拉公式及其推導式，傅里葉級數又可以推導出《信號與系統》中最重要的傅里葉變換(Fourier Transform, FT)。FT由于可以將信號從時域到頻域來回變換，分析信號的成分，從而廣泛應用于信號處理領域。在計算機處理中，信號被離散化為采樣點，針對離散采樣點的傅里葉變換成為了《數字信號處理》中的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)。但是由于DFT計算量過于龐大（計算復雜度高），1965年由J.W.庫利和T.W.圖基提出了最早版本的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)，將計算量減少了幾個量級，從而使得計算機更加快速地處理信號，從而促進通信、信號處理領域的快速發展。近年來由于量子計算機的興起，量子傅里葉變換（Quantum Fourier Transform, QFT）更是可以對FFT進行指數級別的加速。

由于這一系列變換出現在不同學科中，老師在講課時也是各自獨立講解，所以大多數同學（包括我）對其中的似曾相識的公式，一直分不清有什么區別和聯系，這篇文章著重于這一系列傅里葉算法的直接的相互推導。

2 一維傅里葉級數(FS)

2.1 周期性

首先寫出傅里葉級數的表達式：

其中，

, 是FS的系數，也是我們需要求的參數，若它們確定，則

即可被分解為N階的FS。

由于

， ，因此上式可以改寫為：

當

時， ， 是周期為 的周期函數，也是FS中周期最大的一組分量。我們取周期 ，其他分量，在 中應該包含了多個完整的周期。此時有：

2.2 正交性

何為正交？正交是線性代數中的概念，即列向量a, b的內積為0，就稱這兩向量正交。正交還可以不嚴謹地理解為這兩組向量之間沒有關系。

同樣地，借鑒這個定義，在連續函數中的正交為：

此時，我們令

,有：

積分是一個線性算符，積分和等于和的積分，上式可以看做兩個三角函數分別積分。當

時，無論 還是 均大于等于1，因此它們的周期必然小于等于 。根據前面的結論有：

當

時，上式變為：

前一項，積分明顯為0，后一項為

。

同理，還可以嘗試令

，在此不再贅述，可以得到結論：在FS中每兩個不同的級數之間存在兩兩正交關系。

2.3 求系數

,

首先看

怎么求。令：

就是把要分解的函數和傅里葉級數同時做了積分，等號右邊可以拆為2N+1個積分和，根據前面的周期性可知，除了第一項以外，后面的項的積分均為0。故上式可以化簡為：

這里的表達式就說明了

其實是函數的均值。

接著，我們嘗試求

，令：

其中，

也是1~N中的一個值，為了便于和 區分開來，方便敘述。

利用上面證明的周期性和正交性，我們可以知道，只有當

時，積分結果才不為0，其余均為0。故上式可以化簡為：

故：

同理，我們可以得到正弦分量的系數。最后結果為：

到這里，所有FS的系數就能求出來了。但是這里有個比較詭異的地方，當

時，上式算出的 與我們之前算出的 不等，為了保持k的延續性，通常情況是用 表示FS的第一項。

3 傅里葉變換(FT)

3.1 FT和FS之間的關系

首先，把傅里葉變換的公式寫出來：

然后，回到傅里葉級數。

根據歐拉公式

及其一個簡單的變形：

代入到傅里葉級數中：

令

傅里葉級數變為：

變換后的系數

求解方式可以根據上面 求得。

若

的定義域是 ，且 是非周期函數，我們可以對 進行周期延拓，認為它在定義域內為一個周期；而 和 前所述，在 中最少有1個周期，上式不妨寫為：

所以，

當

時， 與 間隔很小，可視作連續。

由于

在 內為一個周期，也可以表示為在 內也是一個周期（周期延拓）。故上式寫為

令

, 由 替換， 由 替換就出現了傅里葉變換的公式

3.2離散傅里葉變換

在計算機中，我們不可能令

,這樣 與 仍被當做離散量，這樣一來積分號就變成了求和號，上式可以寫作：

因此我們就得到了能夠被計算機執行的離散傅里葉變換的函數式。

為便于理解，先帶個具體數據進去考慮。若采樣的數據點為8，頻率分量個數也為8。用

來表示這種情況下的DFT函數。

上面這些式子用矩陣表示為，假設有個矩陣

右乘一個時域組成的列向量得到一個頻域組成的列向量。

將上面的一組求和式翻譯成矩陣

為了便于觀察，令

矩陣中的 。上式可以寫為：

根據

的周期性： 可進一步化簡。

3.3 快速傅里葉變換

從3.2節，我們知道了，要完成一次DFS需要用一個矩陣去乘以一個時域組成的列向量，而這個矩陣大小與時域上的采樣點和頻域分量的個數有關。若它們的個數為

，則上面的一個矩陣乘法包含 次數值乘法，這當 較大時，需要消耗大量的計算機資源。好在構成DFS的矩陣有著一定的特殊規律，可以使用分治法，使其只需要大約 次數值乘法，即可完成工作。

仍然以

為例，不難看出 是一個正交對稱陣（實際上所有DFS構成的矩陣都是正交對稱陣）。交換 偶數列位置提到奇數列前面。

而

與 只差一個奇偶置換矩陣

同樣地，我們還可以寫出

同樣地，令

矩陣中的

值得注意的是

（周期性）

故

又可以寫為：

左邊4列中包含了兩個 而右邊4列是由系數和 共同組成。因此 又可以被寫為：

其中

為單位陣， 是一個對角陣。

最后

這樣一來上面這個矩陣需要多少次乘法呢？由于

是奇偶置換矩陣，在計算機中是只需要移位，不需要做乘法運算，故

顯然，主要的計算量在于

和 ,共計 次數值乘法， 是對角陣，需要額外4次乘法， 是它的相反數，不計入乘法次數。最后我們就將原本需要 次乘法變為了 次乘法。

同理，我們還可以對

進一步拆分為

帶入

中

化簡下：

此時需要的乘法數量為

推廣到更一般的情況，仍然可以使用類似上述的遞歸方式，最后FFT的計算復雜度變為

4、量子傅里葉變換

如果對量子邏輯門有一定了解的同學，看到上面最終的遞歸化簡式，已經發現和量子邏輯門很像了。比如我們看

那這不就是

門嘛。

再比如

也可以分解成量子門的形式（中間省略了歸一化參數）：

其中

為哈德瑪門， 為 的單位陣， 為受控S門。

也可以分解成量子門的形式（中間省略了歸一化參數）：

其中，

相當于 的單位陣。

相當于 門。

接著 我們觀察置換矩陣

，列出這兩個的真值表

不難發現

就相當于SWAP門

根據

的遞歸表達式可以看出，矩陣左乘向量順序為先 再 ，它們的真值表變換如下

列出合并后的真值表，那這不就是1,3 qubit交換位置嘛。

即：

整個

的遞歸式就可以寫成（中間省略了歸一化參數）：

量子電路如下：

有興趣的可以對比一下與《量子計算與量子信息》書中盒子5.1是否是等價的電路。如果以基本量子門作為計算單元的話，QFT的復雜度則只需

總結

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