一個很經典的問題，從 2 到 N ，一共有多少個質數？？

一個非常 Naive 的方法，從 2 到 N，判斷每個數是不是質數

只判斷一個數是不是質數，需要

的時間，現在有 N 個數，那么就是

埃拉托斯特尼篩法

這是一種簡單且歷史悠久的篩法，用來找出一定范圍內所有的素數。

來自中文維基百科def get_primes1(n:int) -> list:'''return a list containing all the primes less than n'''if n <= 2:return []isprime = [True for _ in range(n)]result = [2]for i in range(3, n, 2):if isprime[i]:result.append(i)for j in range(i * i, n, 2 * i): # for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i)isprime[j] = Falsereturn result

這個算法的高效實現需要注意幾個細節：

第一點，略過所有的偶數！（這也是為什么

從 3 開始取）

第二點，為什么

要從 開始取值（因為 這個合數已經被篩掉了）

第三點，對于任意一個正整數

，有 、 .... 都是合數

此外，還要注意，算法涉及 N （至少 N / 2，存儲上可以略過偶數）個 bool類型的存儲，一般的編程語言bool類型的存儲需要 1 個 byte（8個 bit ）。如果對存儲有要求的話，盡量使用 bitmap 這一數據類型（python 沒有內置的 bitmap，Java 有）

總的時間復雜度是

，接近線性時間復雜度。空間復雜度 。

上述python代碼，親測（垃圾 cpu），能在 2s 內輸出一千萬以內的所有質數，能在 20s 的時間內輸出一億以內的所有質數（五百多萬個）

此外，分析一下存儲需要。一億個int32類型（4 個 byte）需要接近400M（大約是380M多一點）的存儲空間，存五百多萬個質數不值一提對吧。那么一億個bool類型，就是 100M。注意一下python的bool類型繼承自int，所以一億個True還是要 400M的。Java 就不一樣哈。

想在python中使用只占用一個 byte 的bool型，參見array標準庫。

所以大致情況就是在個人電腦上用python可以計算1億以內的質數，再大一個數量級就不行了！

計算機存儲單位一般用 bit, byte, KB, MB, GB, TB, PB, EB, ZB, BB 來表示， 我們經常將byte簡稱為B，將KB簡稱問K

那有沒有再快一點的算法？？？！！！

歐拉篩法

其實思想是類似的，與埃氏篩相比，不會對已經被標記過的合數再進行重復標記，故效率更高。歐拉篩將合數分解為 (最小質因數 * 一個合數) 的形式，通過最小質因數來判斷當前合數是否已經被標記過。

def get_primes2(n: int) -> list:"""return a list containing all prime numbers less than n."""if n <= 2:return []isprime = [True for _ in range(n)]result = [2]for i in range(3, n, 2):if isprime[i]:result.append(i)for j in range(0, len(result)):if i * result[j] >= n:breakisprime[i * result[j]] = Falseif i % result[j] == 0:breakreturn result

時間復雜度被優化到了

參考資料：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes?en.wikipedia.org歐拉函數線性篩法詳解_C/C++_Lytning's Blog-CSDN博客?blog.csdn.net

總結

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