在之前的算法博客中，結(jié)合案例和算法的圖形表示，獲得了較多同學的好評，例如之前寫的迪杰斯特拉算法這篇博客，能夠讓很多新同學和老同學通過直觀的方式去理解算法求解的過程，這樣理解起來會比較容易。最近關(guān)于求解線性規(guī)劃的單純形算法，在網(wǎng)絡(luò)中目前沒有發(fā)現(xiàn)比較好的圖解該算法的博客，很多相關(guān)的博客可能會長篇大論，很多同學閱讀的時候肯定很吃力，也很難堅持到最后，所以，想通過圖形更直觀的來講一下單純形算法。

1、線性規(guī)劃問題介紹

線性規(guī)劃問題是一個多變量線性函數(shù)的最優(yōu)化問題，這些變量所滿足的約束條件都是線性等式或者線性不等式。線性規(guī)劃問題在我們的生活中非常常見，本文主要通過一個生活中的問題來講解線性規(guī)劃和單純形算法。

1.1 問題：

有一個司機師父，他要給一家公司運輸材料，運輸?shù)牟牧蠟樗吞厥庖后w化學材料，其中，運輸1立方水的利潤為3塊錢，運輸1立方化學材料的利潤為5塊錢，但是，貨車的最大容量為4立方，最大載重為6kg，其中，水的密度為1kg/立方，化學材質(zhì)的密度為2kg/立方，那么，運輸師父每次運輸水和化學材料各多少立方時，總利潤是最大的？

1.2 建立數(shù)學模型：

描述符號表示

運輸水的總體積	x
運輸化學物質(zhì)的總體積	y

根據(jù)運輸?shù)目偫麧?#xff0c;可以得到 總利潤=3x+5y
根據(jù)貨車體積限制，可以得到 x+y小于等于4
根據(jù)貨車載重限制，可以得到 x+2y小于等于6
最基本的限制，貨車運輸兩種物品的總體積為非負，即大于等于0

綜上，我們可以建立下面的模型：

1.3 約束區(qū)域可視化

我們將線性規(guī)劃問題區(qū)域通過圖像繪制出來，同時將3x+5y=0的函數(shù)圖像繪制出來，如下圖：

2 圖解單純形算法

2.1 單純形法約束條件：

具體表述

條件1	目標函數(shù)必須是一個線性的最大化問題
條件2	所有的約束都必須是線性等式（除了非負約束）
條件3	所有的變量都必須要求是非負的

關(guān)于上面的模型，可以看出，第一條和第三條滿足，不滿足第二條，因此我們需要它能夠給引入松弛變量 u,v將不等式變成等式：

進而將模型轉(zhuǎn)換成標準形式：

其中，標準形式的優(yōu)勢在于，可以通過簡單的計算來確定可行區(qū)域的極點。

2.2 單純形算法中的名詞

表1 單純形名詞解釋

名詞詳細解釋

基本可行解	如果一個基本解的所有坐標值都非負，則成為是一個基本可行解
單純形表	來描述單純形算法求解過程中系數(shù)和可行解的表
目標行	單純形表的最后一行為目標行，前幾列初始化為目標函數(shù)系數(shù)的相反數(shù)，最后一列為當前的目標函數(shù)值
輸入變量	選擇目標行中最小負數(shù)所在列對應的變量，即單位變化對目標函數(shù)影響最大的變量
主元列	輸入變量所在的列稱為主元列
分離變量	在將輸入變量作為基變量的時候，需要將當前的一個基變量變?yōu)榉腔兞?#xff0c;該非基變量稱為分離變量
θ比率	系數(shù)除以主元列中非零的值作為θ比率，θ比率越小的行對應的基變量作為本次的分離變量
主元行	分離變量對應的行作為主元行
主元化	將新的輸入變量作為基變量的變換操作稱為主元化，主要采用的變換方法跟線性方程組的高斯-若爾當消去法類似

2.3 單純形算法求解線性規(guī)劃

借助上面的模型，結(jié)合圖像和單純形算法的計算過程，來看一下如果求解線性規(guī)劃問題。

初始化，設(shè)模型有m個等式約束，n個變量（n>=m），將等式中 n-m個變量設(shè)置為0，求解其他變量的值，從而得到一個基本可行解，上面模型的n=4，m=2，假設(shè)x和y都為0，因此來求解 u,v 得到的基本可行解為（0，0，4，6）, 此時目標函數(shù)值為0，u,v為基變量，如下圖中的O點。

生成對應的單純形表如下圖，其中，綠色格代表方程組中各個變量的系數(shù)，灰色格表示方程組等號右側(cè)的常數(shù)項，目標行中的黃色格初始化為目標函數(shù)對應變量系數(shù)的相反數(shù)，藍色格代表目標函數(shù)當前的值：

確定輸入變量
在上面表格中，0>-3>-5，因此選擇-5所在列對應的變量為y，因此將y作為輸入變量。 之所以這樣選擇，是因為該變量每個單位的增加能夠使得目標函數(shù)獲得最大的增大。 此時主元列如下圖：

確定分離變量
分別求u和v的 θ比率值，下圖中紅色框的兩列相除

計算結(jié)果如下：
θ(u) = 4/1 = 4
θ(v) = 6/2 = 3
θ(u) > θ(v)
因此，選擇v為分離變量

4) 主元化
主元y代替分離變量v來作為新的基變量，這一步是單純形算法中最復雜的一步，下面會詳細介紹每一步的操作。
首先，將主元行的所有數(shù)除以主元行和主元列相交格中的數(shù)值，將主元列的系數(shù)變?yōu)?，計算過程如下圖：



其次，對其他行的主元列進行消元，即將主元列的其他系數(shù)變成0

數(shù)據(jù)整理后得到下圖，此時的目標值變?yōu)?5：

在這個過程中，我們的目標函數(shù)具體是怎么變化了呢？我們通過圖像直觀的看一下目標函數(shù)的變化，如下圖動畫，首先，本次選擇的主元列為y，此次目標函數(shù)所在位置為O點，從O點沿著y軸方向，建立了一個向量OH，沿著OH，進行移動，最終移動到極點H(0,3)上，此時的目標函數(shù)值為 3x+5y=30+53=15.

為什么是這樣操作呢？因為經(jīng)過上面的主元化操作，我們的基本解從（0,0,4,6） 變成了（0,3,1,0），關(guān)于xy的二維坐標系，就從（0,0）移動到（0,3）

檢查是否是最優(yōu)解
通過上面的動畫圖像，我們發(fā)現(xiàn)目前沒有達到最優(yōu)解，從單純形表中發(fā)現(xiàn)，目標行中的系數(shù)值沒有完全變成非負數(shù)，因此，還未求得最優(yōu)解。為什么呢？因為只要有變量在目標行的系數(shù)非負，此時該變量還是有可以增加的空間的。

因此，我們再次運行步驟2到步驟4，新的輸入變量變成x，求得輸入變量為u ,主元化操作如下：

將主元行對應的主元系數(shù)變成1，如下圖

列項消元得到下圖：

進行檢查發(fā)現(xiàn)，目標行中的所有系數(shù)都變成非負數(shù)，此時達到了最優(yōu)解，目標函數(shù)的最優(yōu)值為16。此時求得的解為（2,2,0,0）,因此函數(shù)的解從（0,3,1,0）變?yōu)?#xff08;2,2,0,0），我們通過圖像來觀察一下目標函數(shù)最優(yōu)解的變化過程，如下面動畫：

從上面的動畫可以看出，單純形算法一直從一個初始解，向最靠近目標函數(shù)最優(yōu)解的極點靠近，每次迭代的解都是一個極點所對應的解。

3 單純形算法回顧

經(jīng)過上面的講解，相信聰明的你應該對單純形算法有了初步的理解，下面回顧一下整個算法的流程：

1 將模型變換成標準型 2 初始化：確定基變量，將非基變量設(shè)為0，求基本解，然后初始化單純形表（基變量，變量系數(shù)，常數(shù)項列，目標行，目標函數(shù)值）中的五大變量 3 確定輸入變量：通過目標行系數(shù)中的最小負數(shù)所在列對應的變量 4 確定分離變量：選取當前θ比率最小的基變量作為分離變量 5 檢驗最優(yōu)：判斷當前目標行的所有系數(shù)是否非負，如果有小于0，則繼續(xù)回到步驟2-4，否則，達到最優(yōu)，輸出目標函數(shù)的最優(yōu)值。

4 代碼

時間有點晚，后面代碼部分會找時間補上。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法之图解单纯形算法C++的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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