[問題2015A01]? 證明: 第三類分塊初等變換是若干個第三類初等變換的復(fù)合. 特別地, 第三類分塊初等變換不改變行列式的值.

[問題2015A02]??設(shè) $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每個元素 $a_{ij}(x)$ 都是關(guān)于未定元 $x$ 的多項(xiàng)式. 若 $k$ 是正整數(shù), 滿足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代數(shù)余子式 $A_{ij}$, 證明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$.

提示??考慮 $A$ 的伴隨矩陣 $A^*$ 的行列式. 另外, 本題還可以推廣為: 若 $k$ 是正整數(shù), $p(x)$ 是數(shù)域 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項(xiàng)式, 滿足?$p(x)^k$ 整除 $A$ 的所有代數(shù)余子式 $A_{ij}$, 則 $p(x)^{k+1}$ 整除 $|A|$.

[問題2015A03]??設(shè) $M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}$, 證明: $r(M)\geq n-1$.

提示??參考復(fù)旦高代教材第102頁的例2.6.5，可用秩的降階公式來做.

[問題2015A04]??設(shè) $A$ 是 $m\times n$ 實(shí)矩陣, 試用秩的子式判別法和 Cauchy-Binet 公式證明: $r(A'A)=r(AA')=r(A)$.

提示??這是復(fù)旦高代教材第179頁的復(fù)習(xí)題41, 復(fù)旦高代白皮書第151頁的例3.72, 那里用的是線性方程組的求解理論來做的.

[問題2015A05]??設(shè) $A,B$ 都是 $n$ 階方陣, 約定 $A^0=I_n$.

(1) 若 $k$ 是非負(fù)整數(shù), 使得 $r(A^k)=r(A^{k+1})$, 證明:?對任意的 $i\geq k$, $r(A^i)=r(A^k)$.

(2) 記 $s(A)=\min\{k\in\mathbb{N}\mid r(A^k)=r(A^{k+1})\}$, 稱為 $A$ 的穩(wěn)定指數(shù), 意味著從 $i\geq s(A)$ 開始, $A^i$ 的秩保持穩(wěn)定了, 這個最終穩(wěn)定的秩記為 $r_{\infty}(A)$, 即 $r_{\infty}(A)=r(A^i)$, $\forall\,i\geq s(A)$.?證明: $s(A)$ 必存在, 并且是 $0$ 和 $n$ 之間的某個自然數(shù).

(3) 證明:?$r_{\infty}(AB)=r_{\infty}(BA)$.

(4) 證明:?$|s(AB)-s(BA)|\leq 1$, 并舉例說明可取到 $A,B$, 使得 $|s(AB)-s(BA)|=1$.

提示??前面兩問參考復(fù)旦高代白皮書例4.32的證明. 后面兩問合在一起考慮, 利用秩的基本公式以及 $(AB)^{i+1}=A(BA)^iB$ 和 $B(AB)^{i+1}A=(BA)^{i+2}$ 來證明.

[問題2015A06]??設(shè) $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階方陣, $A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 對應(yīng)的代數(shù)余子式. 設(shè) $1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n$ 為兩組給定的指標(biāo)集, $\hat{\,i}$ 表示 $i$ 不在指標(biāo)集中, 試證明:

$$\begin{vmatrix} A_{i_1j_1} & \cdots & A_{i_rj_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{i_1j_r} & \cdots & A_{i_rj_r} \end{vmatrix}=(-1)^{i_1+\cdots+i_r+j_1+\cdots+j_r}A\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \hat{i_1} & \cdots & \hat{i_r} & \cdots & n \\ 1 & \cdots & \hat{j_1} & \cdots & \hat{j_r} & \cdots & n \end{pmatrix}|A|^{r-1}.$$

提示??先利用公式 $AA^*=|A|I_n$ 以及復(fù)旦高代白皮書例9.39類似的方法證明 $i_1=j_1=1$, $\cdots$, $i_r=j_r=r$ 的特殊情形,?然后再利用行列對換將一般情形化約到特殊情形即可.

[問題2015A07]??設(shè) $V$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空間, 滿足 $V$ 中所有的非零矩陣都是非異陣, 證明: $\dim_{\mathbb{K}}V\leq n$.

提示??構(gòu)造 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空間 $U$, 滿足?$U$ 中所有的矩陣都是奇異陣且 $\dim U=n^2-n$, 然后利用直和 $V\oplus U\subseteq M_n(\mathbb{K})$ 得到結(jié)論.

[問題2015A08]??設(shè) $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=0$, 其中 $m,q$ 為正整數(shù), $n=mq+1$. 證明: $\dim\mathrm{Im\,}\varphi\leq n-q-1$.

提示??代數(shù)方法可用 Sylvester 不等式, 幾何方法可用線性映射的維數(shù)公式.

[問題2015A09]??定義: 線性空間 $V$ 中的一族向量 $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 稱為線性無關(guān)的, 如果 $B$ 中任意有限個向量都是線性無關(guān)的. $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 稱為線性空間 $V$ 的一組基, 如果 $B$ 是線性無關(guān)的, 并且 $V=L(B)$, 即 $V$ 中任一向量都是 $B$ 中有限個向量的線性組合. 利用 Zorn 引理或選擇公理可證明任一線性空間 $V$ 中都存在一組基 $B$ (在抽象代數(shù)課中會給出證明, 大家現(xiàn)在予以承認(rèn)即可).

(1) 證明: $\mathbb{K}[x]$ 的一組基為 $B=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}$.

(2) 舉例說明: 復(fù)旦高代教材第 204 頁的習(xí)題 3 對無限維線性空間一般并不成立, 即存在無限維線性空間 $V$ 上的自同構(gòu) $\varphi$ 以及 $\varphi$ 的不變子空間 $W$, 但 $W$ 不是 $\varphi^{-1}$ 的不變子空間.

提示??考慮 $V=\mathbb{K}[x]$ 的基之間的雙射誘導(dǎo)的線性自同構(gòu), 然后再構(gòu)造相應(yīng)的 $\varphi$-不變子空間 $W$.

[問題2015A10]??設(shè) $V$ 是數(shù)域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 證明下列條件等價:

(1) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi+\mathrm{Im\,}\varphi$;

(2) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus\mathrm{Im\,}\varphi$;

(3) $\mathrm{Ker\,}\varphi\cap\mathrm{Im\,}\varphi=0$;

(4) $\mathrm{Ker\,}\varphi=\mathrm{Ker\,}\varphi^2$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=\dim\mathrm{Ker\,}\varphi^2$;

(5) $\mathrm{Im\,}\varphi=\mathrm{Im\,}\varphi^2$, 或等價地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)$;

(6) $\mathrm{Ker\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變的補(bǔ)空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus U$;

(7) $\mathrm{Im\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變的補(bǔ)空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im\,}\varphi\oplus W$.

[問題2015A11]??設(shè) $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)\in\mathbb{K}[x]$, 證明: $$((f_1(x),f_2(x)),f_3(x),\cdots,f_m(x))=(f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)),$$ $$[[f_1(x),f_2(x)],f_3(x),\cdots,f_m(x)]=[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)].$$

注? 復(fù)旦高代書第 216 頁定理 5.3.1?告訴我們: 可用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個多項(xiàng)式的最大公因式, 第 220 頁推論 5.3.6 將求兩個多項(xiàng)式的最小公倍式轉(zhuǎn)化為求兩個多項(xiàng)式的最大公因式. 由于最大公因式 (最小公倍式) 的定義與 $f_i(x)$ 的順序無關(guān), 上述公式告訴我們: 求 $m$ 個多項(xiàng)式的最大公因式 (最小公倍式) 時, 可以任意選取兩個多項(xiàng)式先求最大公因式 (最小公倍式), 然后再求 $m-1$ 個多項(xiàng)式的最大公因式 (最小公倍式), 這樣不斷地遞推下去, 最后可求得 $m$ 個多項(xiàng)式的最大公因式 (最小公倍式). 這是一種不依賴于多項(xiàng)式因式分解的可計(jì)算的方法.

[問題2015A12]??設(shè)循環(huán)矩陣 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非異陣, 求證: $A^{-1}$ 也是循環(huán)矩陣.

提示??利用新白皮書的例2.12、例2.52和例5.75類似的證明方法 (互素多項(xiàng)式的應(yīng)用) 來做.

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/torsor/p/4966372.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复旦高等代数 I（15级）每周一题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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