最初的Jensen不等式：

$$f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$$
也可表示為：
$$f(\theta x+(1?\theta )y)\le \theta f(x)+(1?\theta )f(y)$$

Jensen不等式擴展：

1、線性組合：$f({\theta }_1{x}_1+...+{\theta }_k{x}_k)\le {\theta }_{1}f(x_1)+...{\theta }_{k}f(x_k)$
2、積分：$f({\int }_{S}p(x)xdx)\le {\int }_{S}f(x)p(x)dx$
3、期望：$f(\mathrm{E}x)\le \mathrm{E}f(x)$

Holder不等式

對于$p>1，\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，以及$x,y\in {\mathbb{R}}^n$，有
$$\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\le (\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q{)}^{\frac{1}{q}}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Jensen不等式及其扩展的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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