一、重要概念

1. 圖、簡(jiǎn)單圖、圖的同構(gòu)、度序列與圖序列、補(bǔ)圖與自補(bǔ)圖、兩個(gè)圖的聯(lián)圖、兩個(gè)圖的積圖、偶圖

• 圖：一個(gè)圖是一個(gè)有序?qū)?lt;V, E>，記為G=(V, E)，其中： 1) V是一個(gè)有限的非空集合，稱為頂點(diǎn)集合，其元素稱為頂點(diǎn)或點(diǎn)。用|V|表示頂點(diǎn)數(shù)；2) E是由V中的點(diǎn)組成的無(wú)序?qū)?gòu)成的集合，稱為邊集，其元素稱為邊，且同一點(diǎn)對(duì)在E中可以重復(fù)出現(xiàn)多次。用|E|表示邊數(shù)

注：圖G 的頂點(diǎn)集記為V(G)，邊集記為E(G)。圖G 的頂點(diǎn)數(shù)(或階數(shù))和邊數(shù)可分別用符號(hào)n(G)和m(G)表示

• 簡(jiǎn)單圖：無(wú)環(huán)無(wú)重邊的圖稱為簡(jiǎn)單圖。（除此之外全部都是復(fù)合圖）

注：點(diǎn)集與邊集均為有限集合的圖稱為有限圖。只有一個(gè)頂點(diǎn)而無(wú)邊的圖稱為平凡圖。邊集為空的圖稱為空?qǐng)D

• 圖的同構(gòu)：設(shè)有兩個(gè)圖G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，若在其頂點(diǎn)集合間存在雙射，使得邊之間存在如下關(guān)系：設(shè)u1?u2, v1?v2， u1, v1∈V1，u2, v2∈V2；u1v1∈E1當(dāng)且僅當(dāng)u2v2∈E2，且u1v1與u2v2 的重?cái)?shù)相同。稱G1與G2同構(gòu)，記為G1≌G2
• 圖的度序列：一個(gè)圖G的各個(gè)點(diǎn)的度d1, d2,…, dn構(gòu)成的非負(fù)整數(shù)組(d1, d2,…, dn)稱為G的度序列

注：非負(fù)整數(shù)組(d1, d2,…., dn)是圖的度序列的充分必要條件是：∑di 為偶數(shù)。度序列的判定問(wèn)題為重點(diǎn)！

• 圖的圖序列：一個(gè)非負(fù)數(shù)組如果是某簡(jiǎn)單圖的度序列，稱它為可圖序列，簡(jiǎn)稱圖序列
• 補(bǔ)圖：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單圖G=(V, E)，令集合E1={uv|u≠v, u, v∈V}，則圖H=(V，E1\E)稱為G的補(bǔ)圖
• 自補(bǔ)圖：若簡(jiǎn)單圖G與其補(bǔ)圖同構(gòu)，則稱G為自補(bǔ)圖

注：自補(bǔ)圖的性質(zhì)

（1）若n階圖G是自補(bǔ)的(即)，則

?

• 聯(lián)圖：設(shè)G1，G2是兩個(gè)不相交的圖，作G1+G2，并且將G1中每個(gè)頂點(diǎn)和G2中的每個(gè)頂點(diǎn)連接，這樣得到的新圖稱為G1與G2的聯(lián)圖。記為G1∨G2
  
• 積圖：設(shè)G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是兩個(gè)圖，對(duì)點(diǎn)集V1×V2中的任意兩個(gè)點(diǎn)u=(u1, u2)與v=(v1, v2)，當(dāng)(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)時(shí)，把u與v相連。如此得到的新圖稱為G1與G2的積圖。記為記為G1×G2

例如：

• 偶圖：所謂具有二分類（X, Y）的偶圖（或二部圖）是指一個(gè)圖，它的點(diǎn)集可以分解為兩個(gè)非空子集X和Y，使得每條邊的一個(gè)端點(diǎn)在X中，另一個(gè)端點(diǎn)在Y中

注：偶圖的判定定理：一個(gè)圖是偶圖當(dāng)且當(dāng)它不包含奇圈

2. 樹、森林、生成樹、最小生成樹、根樹、完全m元樹

• 樹：不含圈的圖稱為無(wú)圈圖，樹是連通的無(wú)圈圖

注：1、設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的圖，則下列命題等價(jià)：

（1）G 是樹

（2）G 無(wú)環(huán)且任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間存在唯一的路

（3）G 連通，刪去任一邊便不連通

（4）G 連通，且 n = m + 1

（5）G 無(wú)圈，且 n = m + 1

（6）G 無(wú)圈，添加任何一條邊可得唯一的圈

?? 2、幾個(gè)結(jié)論

（1）樹和森林都是簡(jiǎn)單圖

（2）樹和森林都是偶圖

（3）每棵非平凡樹至少含有兩片樹葉

（4）樹是含有邊數(shù)最少的連通圖，成為最小連通圖

（5）樹是含有邊數(shù)最多的無(wú)圈圖

（6）假定（n,m）圖G是由k棵樹組成的森林，則m=n-k

（7）若G是樹，且最大度大于等于k，則G至少有k片葉子

?

• 森林：無(wú)圈圖G為森林
• 最小生成樹：圖G的一個(gè)生成子圖T如果是樹，稱它為G的一棵生成樹；若T為森林，稱它為G的一個(gè)生成森林。 生成樹的邊稱為樹枝，G中非生成樹的邊稱為弦

注：最小生成樹的求法：Kruskal算法、破圈法、Prim算法

• 根樹：一棵非平凡的有向樹T，如果恰有一個(gè)頂點(diǎn)的入度為0，而其余所有頂點(diǎn)的入度為1，這樣的有向樹稱為根樹。其中入度為0的點(diǎn)稱為樹根，出度為0的點(diǎn)稱為樹葉，入度為1，出度大于1的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)。又將內(nèi)點(diǎn)和樹根統(tǒng)稱為分支點(diǎn)
• m元完全樹：對(duì)于根樹T，若每個(gè)分支點(diǎn)至多m個(gè)兒子，稱該根樹為m元根樹；若每個(gè)分支點(diǎn)恰有m個(gè)兒子，稱它為完全m元樹

注：

3. 途徑(閉途徑)、跡(閉跡)、路(圈)、最短路、連通圖、連通分支、點(diǎn)連通度與邊連通度

• 途徑（閉途徑）:給定圖G = (V, E)，w =v0e1v1e2…ekvk是G中點(diǎn)邊交替組成的序列，其中vi∈V，ei∈E，若w滿足ei的端點(diǎn)為vi-1與vi，則稱w為一條從頂點(diǎn)v0到頂點(diǎn)vk的途徑（或通道或通路)，簡(jiǎn)稱(v0, vk)途徑。頂點(diǎn)v0和vk分別稱為w的起點(diǎn)和終點(diǎn)，其他點(diǎn)稱為內(nèi)部點(diǎn)，途徑中的邊數(shù)稱為它的長(zhǎng)度。起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的途徑就稱為閉途徑（環(huán)游）
• 跡（閉跡）:邊不重復(fù)的途徑稱為跡,起點(diǎn)終點(diǎn)相同的跡為閉跡（回路）
• 路（圈）：點(diǎn)不重復(fù)的跡稱為路，起點(diǎn)終點(diǎn)相同的路成為圈
• 最短路：連接u、v的長(zhǎng)度最短的路的長(zhǎng)度，也稱u與v的距離，記作d（u，v）
• 連通圖：如果圖G中任意兩個(gè)點(diǎn)都是連通的，則G為連通圖
• 連通分支：在非連通圖G中，每一個(gè)極大的連通部分為G的連通分支，G的連通分支的個(gè)數(shù)，稱為G 的分支數(shù)，記為ω(G)。
• 點(diǎn)連通度：對(duì)n階非平凡連通圖G，若G存在頂點(diǎn)割，則稱G的最小頂點(diǎn)割中的點(diǎn)數(shù)為G的連通度；否則稱n-1為其連通度。G的連通度符號(hào)表示為κ(G)，簡(jiǎn)記為κ；非連通圖或平凡圖的連通度定義為0。
• 邊連通度：設(shè)G為連通圖，稱使G-E ′不連通的G的邊子集E ′為G的邊割，含有k條邊的邊割稱為k邊割。邊數(shù)最少的邊割稱為最小邊割

注：1、幾個(gè)結(jié)論

（1）若圖中兩個(gè)不同點(diǎn)u與v間存在途徑，則u與v間必存在路；若過(guò)點(diǎn)u存在閉跡，則過(guò)點(diǎn)u必存在圈。

（2）若過(guò)點(diǎn)u存在閉途徑，則過(guò)點(diǎn)u不一定存在圈。

（3）在n(n≥2)階連通圖中，至少有n-1條邊；如果邊數(shù)大于n-1，至少有個(gè)圈

（4）若一個(gè)圖G中的最小度大于等于2，則G中必然有圈

（5）若圖G是不連通的，則其補(bǔ)圖一定是連通圖

（6）設(shè)圖G為n階圖，若G中任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)u與v滿足d(u)+d(v)≥n-1，則G是連通圖且d(G)≤2

（7）若G是非平凡連通圖，則v是G的割點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng){v}是G的1頂點(diǎn)割

（8）完全圖沒(méi)有頂點(diǎn)割，實(shí)際上也只有以完全圖為生成子圖的圖沒(méi)有頂點(diǎn)割

（9）κ(Kn)=n-1；κ(Cn)=2，其中Cn為n圈，n≥3

（10）非平凡連通圖均是1連通的；圖G是2連通的當(dāng)且僅當(dāng)G連通、無(wú)割點(diǎn)且至少含有3個(gè)點(diǎn)；K2連通、無(wú)割點(diǎn)、但連通度為1

（11）非連通圖或平凡圖的邊連通度定義為0

（12）λ(Kn)=n-1；λ(Cn)=2，其中Cn為n圈，n≥2

（13）非平凡連通圖均是1邊連通的；圖G是2邊連通的當(dāng)且僅當(dāng)G連通、無(wú)割邊且至少含有兩個(gè)點(diǎn)

（14）對(duì)任意的圖G，有κ(G)≤λ(G)≤δ(G)

（15）設(shè)G是具有m條邊的n階連通圖，則

（16）設(shè)G是n階簡(jiǎn)單圖，若δ(G)大于等于(n/2)向下取整，則G必連通

（17）設(shè)G是n階簡(jiǎn)單圖，對(duì)正整數(shù)k<n，若，G是k連通的

（18）設(shè)G是n階簡(jiǎn)單圖，若δ(G)≥（n/2）向下取整，則λ(G)=δ(G)

4. 歐拉圖、歐拉環(huán)游、歐拉跡、哈密爾頓圈、哈密爾頓圖、哈密爾頓路、中國(guó)郵遞員問(wèn)題、最優(yōu)H圈

• 歐拉圖：對(duì)于連通圖G，如果G中存在經(jīng)過(guò)每條邊的閉跡，則稱G為歐拉圖，簡(jiǎn)稱G為E圖
• 歐拉環(huán)游：歐拉閉跡又稱為歐拉環(huán)游，或歐拉回路
• 歐拉跡：對(duì)于連通圖G，如果G中存在經(jīng)過(guò)每條邊的跡，則稱該跡為G的一條歐拉跡
• 哈密爾頓圖：如果經(jīng)過(guò)圖G的每個(gè)頂點(diǎn)恰好一次后能夠回到出發(fā)點(diǎn)，即存在H圈的圖稱為哈密爾頓圖，簡(jiǎn)稱H圖
• 哈密爾頓圈：經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)點(diǎn)僅一次的圈是哈密爾頓圈
• 哈密爾頓路：圖G的經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)的路稱為哈密爾頓路
• 中國(guó)郵遞員問(wèn)題：圖論模型為在一個(gè)連通的具有非負(fù)權(quán)的賦權(quán)圖G中找一條包含每條邊 (允許重復(fù)) 且邊權(quán)之和最小的閉途徑，稱之為最優(yōu)環(huán)游。

注：

（1） 若圖G是一個(gè)歐拉圖，則找出G的歐拉回路即可。

（2）對(duì)一般圖，其解法為：添加重復(fù)邊以使G成為歐拉圖G*，并使添加的重復(fù)邊的邊權(quán)之和為最小，再求G*的歐拉回路。

（3）

• 最優(yōu)H圈（旅行售貨員問(wèn)題）：圖論模型：在賦權(quán)完全圖G中求具有最小權(quán)的哈密爾頓圈，這個(gè)圈稱為最優(yōu)圈。采用邊交換技術(shù)求解最優(yōu)H圈，詳情見PPT

5. 匹配、最大匹配、完美匹配、最優(yōu)匹配、因子分解

• 匹配：如果M是圖G的邊子集(不含環(huán))，且M中的任意兩條邊沒(méi)有共同頂點(diǎn)，則稱M是G的一個(gè)匹配或邊獨(dú)立集
• 最大匹配：如果M是圖G的包含邊數(shù)最多的匹配，稱M是G的一個(gè)最大匹配
• 完美匹配：若最大匹配飽和了G的所有頂點(diǎn)，稱它為G的一個(gè)完美匹配
• 最優(yōu)匹配：設(shè)G=(X, Y)是邊賦權(quán)完全偶圖，G中的一個(gè)權(quán)值最大的完美匹配稱為G的最優(yōu)匹配
• 因子分解：所謂一個(gè)圖G的因子分解，是指把圖G分解為若干個(gè)邊不重的因子之并。k-因子分解：每個(gè)因子均為k-因子的因子分解，此時(shí)稱G本身是k-可因子化的

注：1、匹配、飽和點(diǎn)與非飽和點(diǎn)：設(shè)M是圖G的邊子集，若任意的e∈M，e 都不是環(huán)，且屬于M的邊互不相鄰，則稱M為G的一個(gè)匹配。設(shè)M為 G的一個(gè)匹配，對(duì)v∈V(G)，若v是M中某邊的一個(gè)端點(diǎn)，則稱v為M飽和點(diǎn)，否則稱為M非飽和點(diǎn)

　　2、

?

　　 3、完美匹配必是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配；最大匹配必存在，但完美匹配不一定存在；G存在完美匹配的一個(gè)必要條件是G的點(diǎn)數(shù)必然為偶數(shù)

　　4、交錯(cuò)路與可擴(kuò)路：設(shè)M為圖G的一個(gè)匹配，G的M交錯(cuò)路是指G中由M中的邊與非M中的邊交替組成的路。 M可擴(kuò)路是指其起點(diǎn)與終點(diǎn)均為M非飽和點(diǎn)的M交錯(cuò)路

　　5、的完美匹配的個(gè)數(shù)分別為：（2n-1）!!、n！

　　6、覆蓋：圖G的一個(gè)覆蓋是指V(G)的一個(gè)子集K，使得G的每條邊都至少有一個(gè)端點(diǎn)在K中。G中點(diǎn)數(shù)最少的覆蓋稱為G的最小覆蓋

　　7、設(shè)K是G的覆蓋，M是G的匹配，由于M中的邊互不相鄰，若要覆蓋中M中的邊，至少需要|M|個(gè)頂點(diǎn)，所以|M| ≤ |K|。特別地，若M*是最大匹配，且是最小覆蓋，則

　　 8、設(shè)M是匹配，K是覆蓋，若|M| = |K|，則M是最大匹配,且K是最小覆蓋

　　9、在偶圖中，最大匹配中的邊數(shù)等于最小覆蓋中的點(diǎn)數(shù)

　　10、因子：圖G的一個(gè)因子是指至少包含G的一條邊的生成子圖，即非空的生成子圖就是一個(gè)因子(G的生成子圖是指滿足V(H) =V(G)的子圖H)

　　11、k-因子指k正則的因子

?

6.平面圖、極大平面圖、極大外平面圖、平面圖的對(duì)偶圖

• 平面圖：如果能把圖G畫在平面上，使得除頂點(diǎn)外，邊與邊之間沒(méi)有交叉，稱G可以嵌入平面，或稱G是可平面圖。可平面圖G的邊不交叉的一種畫法，稱為G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱為平面圖
• 極大平面圖：設(shè)G是簡(jiǎn)單可平面圖，如果G是Ki (1≤i≤4)，或者在G的任意非鄰接頂點(diǎn)間添加一條邊后，得到的圖均是非可平面圖，則稱G是極大可平面圖。極大可平面圖的平面嵌入稱為極大平面圖
• 極大外平面圖：若一個(gè)可平面圖G存在一種平面嵌入，使得其所有頂點(diǎn)均在某個(gè)面的邊界上，稱該圖為外可平面圖。外可平面圖的一種外平面嵌入，稱為外平面圖
• 平面圖的對(duì)偶圖：給定平面圖G，G的對(duì)偶圖G*如下構(gòu)造：1) 在G的每個(gè)面fi內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)vi*作為G*的一個(gè)頂點(diǎn)；2) 對(duì)G的一條邊e，若e 是面 fi 與 fj 的公共邊，則連接vi*與vj*，且連線穿過(guò)邊e；若e是面fi中的割邊，則以vi為頂點(diǎn)作環(huán)，且讓它與e相交

注：1、設(shè) f 是G的一個(gè)面，構(gòu)成 f 的邊界的邊數(shù)(割邊計(jì)算2次)稱為面 f 的次數(shù)，記為deg( f )

　　2、

　　3、設(shè)G是具有m條邊的平面圖，則

　　4、設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)，m 條邊，φ個(gè)面的連通平面圖，則有n–m+φ=2

　　5、設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)，m條邊，φ個(gè)面，k個(gè)連通分支的平面圖，則

　　6、設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)，m條邊，φ個(gè)面的連通平面圖，如果對(duì)G的每個(gè)面f，有deg(f )≥ l ≥3，則(注意：G是平面圖的必要條件，不是充分條件)

　　7、設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)，m條邊的簡(jiǎn)單平面圖且n≥3，則

　　8、若G是簡(jiǎn)單平面圖，則δ≤5

　　9、一個(gè)連通平面圖G是2連通的當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)面的邊界是圈

　　10、一個(gè)圖可嵌入平面當(dāng)且僅當(dāng)它可嵌入球面

　　11、設(shè)G是極大平面圖，則G必連通；若G的階數(shù)至少等于3，則G無(wú)割邊

　　12、設(shè)G是至少有3個(gè)頂點(diǎn)的平面圖，則G是極大平面圖的充分必要條件為G中各面的次數(shù)均為3且為簡(jiǎn)單圖(極大平面圖的三角形特征，即每個(gè)面的邊界為三角形)

　　13、設(shè)G是一個(gè)有n個(gè)點(diǎn)，m條邊，φ個(gè)面的極大平面圖，且n≥3，則(1) m=3n–6(2) φ=2n–4

　　14、如果在不可平面圖G中任意刪去一條邊所得的圖為可平面圖，則稱G為極小不可平面圖。例如K5和K3,3

　　15、設(shè) G 是一個(gè)有 n (n≥3)個(gè)點(diǎn)，且所有點(diǎn)均在外部面上的外平面圖，則G是極大外平面圖當(dāng)且僅當(dāng)其外部面的邊界是圈，內(nèi)部面是三角形

　　16、設(shè)G是一個(gè)階數(shù)為n (n≥4)且所有點(diǎn)均在外部面上的極大外平面圖，則G中存在兩個(gè)度數(shù)均為2且不相鄰的點(diǎn)

　　17、設(shè)G是一個(gè)有n (n≥3)個(gè)點(diǎn)，且所有點(diǎn)均在外部面上的極大外平面圖，則G有n–2個(gè)內(nèi)部面

　　18、設(shè)G是一個(gè)具有n (n≥4)個(gè)點(diǎn)，m條邊的簡(jiǎn)單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

　　19、每個(gè)至少有7個(gè)頂點(diǎn)的外可平面圖的補(bǔ)圖不是外可平面圖，且7是這個(gè)數(shù)目的最小者

　　20、圖G是可平面的當(dāng)且僅當(dāng)它不含與K5或K3,3同胚的子圖

7.邊色數(shù)、點(diǎn)色數(shù)、色多項(xiàng)式

• 邊色數(shù)：設(shè)G是圖，對(duì)G進(jìn)行正常邊著色需要的最少顏色數(shù)，稱為G的邊色數(shù)，記為χ'(G)
• 點(diǎn)色數(shù)：對(duì)圖G正常頂點(diǎn)著色需要的最少顏色數(shù)，稱為圖G的點(diǎn)色數(shù)，用χ(G)表示
• 色多項(xiàng)式：對(duì)圖進(jìn)行正常頂點(diǎn)著色，其方式數(shù)Pk(G)是k的多項(xiàng)式，稱為圖G的色多項(xiàng)式

注：

　　1、邊著色/k邊可著色：設(shè)G是圖，對(duì)G的邊進(jìn)行著色，若相鄰邊著不同顏色，則稱對(duì)G進(jìn)行正常邊著色； 如果能用k種顏色對(duì)圖G 進(jìn)行正常邊著色，稱G是k邊可著色的

　　2、在任何正常邊著色中，與任一頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的各邊必須著不同色，由此推知：對(duì)無(wú)環(huán)圖

　　 3、Km,n的一個(gè)正常邊著色為?χ′(Km, n)=Δ

　　4、設(shè)G是非空的簡(jiǎn)單圖。若G中恰有一個(gè)度為Δ(G)的點(diǎn)，或G中恰有兩個(gè)度為Δ(G)的點(diǎn)并且這兩個(gè)點(diǎn)相鄰，則χ′(G)=Δ(G)

　　5、設(shè)圖G=(V, E)是n階簡(jiǎn)單圖，若n=2k+1且邊數(shù)m>kΔ，則χ′=Δ+1

　　6、設(shè)G是奇階Δ正則簡(jiǎn)單圖。若Δ>0，則 χ′=Δ+1

　　7、對(duì)任意的無(wú)環(huán)圖G，均有χ ≤Δ+1

　　8、設(shè)G是簡(jiǎn)單連通圖。假定G既不是完全圖又不是奇圈，則χ ≤ Δ

　　9、設(shè)G是非空簡(jiǎn)單圖，若G中度數(shù)最大的點(diǎn)互不相鄰，則

　　10、對(duì)任意的簡(jiǎn)單平面圖，均有χ≤5

　　11、若k<χ(G)，則Pk(G)=0； χ(G)=min{k | Pk(G)≥1}

　　12、若G為n階空?qǐng)D，則Pk(G)=k^n

　　13、

　　14、若圖G含有n個(gè)孤立點(diǎn)，則Pk(G)=k^n*Pk(G′)，其中G′是 G去掉n個(gè)孤立點(diǎn)后所得的圖

　　15、若圖G有環(huán)或有重邊，則去掉環(huán)并將重邊用單邊代替之 后所得圖的k著色數(shù)目與原圖一樣

?　　16、設(shè)e=uv是圖G的一條邊，并且d(u)=1，則?Pk(G)=(k-1)Pk(G-u)

　　17、對(duì)n階簡(jiǎn)單圖G，Pk (G)是k的整系數(shù)n次多項(xiàng)式，首項(xiàng)為k^n，常數(shù)項(xiàng)為零，并且各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)正負(fù)相間

8.強(qiáng)連通圖、單向連通圖、弱連通圖

• 強(qiáng)連通圖：若D的中任意兩點(diǎn)是雙向連通的，稱D是強(qiáng)連通圖
• 單向連通圖：若D中任意兩點(diǎn)是單向連通的，稱D是單向連通圖
• 弱連通圖：若D的基礎(chǔ)圖是連通的，稱D是弱連通圖

注：1、有向圖D=(V, E)是強(qiáng)連通的當(dāng)且僅當(dāng)D中存在含有所有頂點(diǎn)的有向閉途徑

　　2、設(shè)D'是有向圖D=(V, E)的一個(gè)子圖。如果D'是強(qiáng)連通的(單向連通的、弱連通的)，且D中不存在真包含D'的子圖是強(qiáng)連通的(單向連通的、弱連通的)，則稱D'是D的一個(gè)強(qiáng)連通分支(單向連通分支、弱連通分支)

　　3、有向圖D=(V, E)的每個(gè)點(diǎn)位于且僅位于D的一個(gè)強(qiáng)(弱)連通分支中

　　4、若G是2邊連通的，則G存在強(qiáng)連通定向圖

　　5、若有向圖D的基礎(chǔ)圖是樹，則稱D為有向樹

　　6、恰有一個(gè)頂點(diǎn)的入度為0，其余頂點(diǎn)的入度均為1的非平凡有向樹稱為根樹。根樹中入度為0的頂點(diǎn)稱為樹根，出度為0的頂點(diǎn)稱為樹葉，其余點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)和根統(tǒng)稱為分支點(diǎn)。

　　7、根樹T中，若每個(gè)分支點(diǎn)至多有m個(gè)兒子，則稱T為m元樹；若每個(gè)分支點(diǎn)恰有m個(gè)兒子，則稱T為m元完全樹

　　8、設(shè)m元完全樹T的樹葉數(shù)為t，分支點(diǎn)數(shù)為i，則(m-1)i=t-1

二、重要結(jié)論

1、握手定理及其推論

定理1? 圖G中所有頂點(diǎn)的度數(shù)和等于邊數(shù)的2倍。

推論1? 在任何圖中，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

推論2? 正則圖的階數(shù)和度數(shù)不同時(shí)為奇數(shù)。

2、Turan定理

定理2? 若n階簡(jiǎn)單圖G不包含，則G度弱于某個(gè)完全l 部圖 H，且若G具有與H相同的度序列，則G≌H

3、樹的性質(zhì)

定理3 設(shè)T是(n, m)樹，則m=n-1

4、最小生成樹算法

Kruskal算法，Prim算法，破圈法。

5、偶圖判定定理

定理4 圖G是偶圖當(dāng)且僅當(dāng)G中沒(méi)有奇圈

6、Menger定理

定理5?? (1) 設(shè)x與y是圖G中的兩個(gè)不相鄰點(diǎn)，則G中分離點(diǎn)x與y的最小點(diǎn)數(shù)等于獨(dú)立的(x, y)路的最大數(shù)目；(2) 設(shè)x與y是圖G中的兩個(gè)不相鄰點(diǎn)，則G中分離點(diǎn)x與y的最小邊數(shù)等于G中邊不重的(x, y)路的最大數(shù)目。

7、歐拉圖、歐拉跡的判定

定理6? 下列命題對(duì)于非平凡連通圖G是等價(jià)的：
(1)? G是歐拉圖；
(2)? G的頂點(diǎn)度數(shù)為偶數(shù)；
(3)? G的邊集合能劃分為圈。

推論?? 連通非歐拉圖G存在歐拉跡當(dāng)且僅當(dāng)G中只有兩個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為奇數(shù)。

8、H圖的判定

定理7 (必要條件)? 若G為H圖，則對(duì)V(G)的任一非空頂點(diǎn)子集S，成立：ω(G－S) ≤|S|。

定理8 (充分條件)? 對(duì)于n≥3的簡(jiǎn)單圖G，如果δ(G) ≥n/2，則G是H圖。

定理9 (充分條件)? 對(duì)于n≥3的簡(jiǎn)單圖G，如果G中的任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)u與v，有d(u)+d(v) ≥n，則G是H圖。

定理10 (閉包定理)?? 圖G是H圖當(dāng)且僅當(dāng)它的閉包是H圖。

定理11 (度序列判定法) 設(shè)簡(jiǎn)單圖G的度序列是(d1, d2,…,dn)，其中d1≤d2≤…≤dn，并且n≥3。若對(duì)任意的m<n/2，或者，或者，則G是H圖。

定理12? 設(shè)G是n階簡(jiǎn)單圖。若n≥3且則G是H圖；并且具有n個(gè)頂點(diǎn)條邊的非H圖只有C1,n以及C2,5

9、偶圖匹配與因子分解

定理13? 設(shè)G=(X, Y)是偶圖，則G存在飽和X的每個(gè)頂點(diǎn)的匹配的充要條件是：

推論? 若G是k (k>0)正則偶圖，則G存在完美匹配。

定理14? 在偶圖中，最大匹配的邊數(shù)等于最小覆蓋的頂點(diǎn)數(shù)。

定理15? K2n可一因子分解。

定理16? 具有H圈的三正則圖可一因子分解。

定理17? K2n+1可2因子分解。

定理18? K2n可分解為一個(gè)1因子和n-1個(gè)2因子之和。

定理19? 每個(gè)沒(méi)有割邊的3正則圖是一個(gè)1因子和1個(gè)2因子之和。

10、平面圖及其對(duì)偶圖

1)平面圖的次數(shù)公式

定理20? 設(shè)G是平面圖，則次數(shù)之和等于2倍的邊數(shù)。

2)平面圖的歐拉公式

定理21 (歐拉公式) 設(shè)G=(n, m)是連通平面圖， φ是G的面數(shù)，則n-m+φ=2。

3)幾個(gè)重要推論

推論1 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊φ個(gè)面的連通平面圖，如果對(duì)G的每個(gè)面f，有deg (f )≥l ≥3，則：

推論2?? 設(shè)G=(n,m)是簡(jiǎn)單平面圖，則m≤3n-6。

推論3? 設(shè)G是簡(jiǎn)單平面圖，則δ(G)≤5。

注：推論2的證明

4)對(duì)偶圖的性質(zhì)

定理22? 平面圖G的對(duì)偶圖必然連通。

5)極大平面圖的性質(zhì)

定理23? 設(shè)G是至少有3個(gè)頂點(diǎn)的平面圖，則G是極大平面圖，當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)面的次數(shù)是3且為簡(jiǎn)單圖。

11、著色問(wèn)題

1)邊著色

定理24? 完全二部圖的邊色數(shù)等于頂點(diǎn)度數(shù)的最大值。

定理25? 二部圖的邊色數(shù)等于頂點(diǎn)度數(shù)的最大值。

定理26 若G是簡(jiǎn)單圖，則邊色數(shù)要么為最大度，要么等于最大度+1。

定理27? 設(shè)G是簡(jiǎn)單圖且Δ(G)>0。若G中只有一個(gè)最大度點(diǎn)或恰有兩個(gè)相鄰的最大度點(diǎn)，則邊色數(shù)等于最大度。

定理28? 設(shè)G是簡(jiǎn)單圖。若點(diǎn)數(shù)n=2k+1且邊數(shù)m>kΔ，則邊色數(shù)等于最大度+1。

定理29? 設(shè)G是奇數(shù)階Δ正則簡(jiǎn)單圖，若Δ>0，則邊色數(shù)等于最大度+1。

2)點(diǎn)著色

定理30? 對(duì)任意的圖G，

定理31 若G是連通的簡(jiǎn)單圖，并且它既不是奇圈，又不是完全圖，則。

3)色多項(xiàng)式

a)遞推計(jì)數(shù)法

定理32 設(shè)G為簡(jiǎn)單圖，則對(duì)任意e∈E(G)，有

b)、理想子圖計(jì)數(shù)方法

?

12根樹問(wèn)題

定理32 在完全m元樹T中，若樹葉數(shù)為t，分支點(diǎn)數(shù)為i，則(m-1)i = t-1。

?

Note：以上為暫時(shí)的全部總結(jié)，在近些天復(fù)習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)漏洞會(huì)及時(shí)填補(bǔ)。

補(bǔ)充內(nèi)容

1、關(guān)于正則與完全圖的一些理解：k正則圖，指的是每個(gè)點(diǎn)都有k度，n階k正則圖就是n個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都為k，而完全圖是最大的正則，因此完全圖中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為n-1，為n-1正則圖。

2、鄰接矩陣的概念

? ? ? 定義? 設(shè)n階標(biāo)定圖G = (V, E)，V = {v1, v2,…, vn}，則G的鄰接矩陣是一個(gè)n×n 矩陣A(G) = [ aij ] (簡(jiǎn)記為A)，其中若 vi鄰接vj，則aij =1；否則aij =0

? ? ? 若aij 取為連接vi與vj 的邊的數(shù)目，則稱A為推廣的鄰接矩陣。

? ? ? 性質(zhì)：鄰接矩陣是一個(gè)對(duì)稱方陣；簡(jiǎn)單標(biāo)定圖的鄰接矩陣的各行 (列) 元素之和是該行 (列) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的度

? ? ??定理? 令G是一個(gè)有推廣鄰接矩陣A的 p階標(biāo)定圖，則An的i 行 j 列元素aij(n)等于由vi到vj的長(zhǎng)度為n的通道的數(shù)目?

? ? ? 推論 設(shè)A為簡(jiǎn)單圖G的鄰接矩陣，則(1)?的元素?是 vi 的度數(shù)。A3 的元素?是含 vi 的三角形的數(shù)目的兩倍 (2) 若G是連通的，對(duì)于i≠j，vi? 與vj 之間的距離是使An 的aij(n) ≠0 的最小整數(shù)n

?3、l部圖概念及特征

? ? ?定義? 若簡(jiǎn)單圖G的點(diǎn)集V有一個(gè)劃分：且所有的Vi 非空，Vi 內(nèi)的點(diǎn)均不鄰接，稱G是一個(gè) l 部圖。

? ? ? ? ? ? ??

? ? ??定義? 如果在一個(gè)l 部圖G中,? |Vi|=ni,? 任何兩點(diǎn)u∈Vi ,? v∈Vj , i ≠ j ,? i, j =1, 2,…, l 均鄰接，則稱G為完全l 部圖。記作

?4、生成樹：若圖G的生成子圖T是樹，則稱T為G的生成樹；若T為森林，稱它是G的生成森林。生成樹的邊稱為樹枝，G中非生成樹的邊稱為弦。

? ? ? ?定理? 每個(gè)連通圖至少包含一棵生成樹

? ? ? ?計(jì)數(shù)：用τ(G) 表示G的生成樹的個(gè)數(shù)，

　　一個(gè)定理：

?5、單調(diào)不增正整數(shù)序列(d1, d2,…, dn)是一棵非平凡樹的度序列當(dāng)且僅當(dāng)∑ di=2(n-1)

6、

7、簡(jiǎn)單圖一定存在度數(shù)相同的頂點(diǎn)

8、k正則二部圖（k正則偶圖）G的相關(guān)結(jié)論：

　　（1）若k≥2，則G無(wú)割邊

? ? ? ?（2）存在完美匹配

? ? ? ?（3）可1-因子化

?9、彼得森圖：，其相關(guān)結(jié)論有：

• 點(diǎn)連通度為3，邊連通度為3
• 是一個(gè)3正則圖
• 點(diǎn)色數(shù)為3，邊色數(shù)為4
• 半徑與直徑均為2
• 不是H圖（刪去任意頂點(diǎn)后為H圖）
• 是不可平面圖
• 存在完美匹配
• 雖然該圖無(wú)割邊，但也不可1-因子分解（3正則圖有割邊，不能1-因子分解）
• 是一個(gè)1-因子和一個(gè)2-因子的并

?10、歐拉圖相關(guān)等價(jià)命題：

• 每個(gè)點(diǎn)的度為偶數(shù)
• 是連通圖
• 邊集可以劃分為邊不重的圈的并

?11、歐拉跡相關(guān)結(jié)論：

• 連通圖存在歐拉跡當(dāng)且僅當(dāng)G最多有兩個(gè)奇度頂點(diǎn)
• 有向圖中存在歐拉跡，當(dāng)且僅當(dāng)D連通且除了兩個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)點(diǎn)出度與入度相等。而這兩個(gè)點(diǎn)中，一個(gè)點(diǎn)入度比出度大1，另一個(gè)點(diǎn)出度比入度大1

?12、完全偶圖：是指具有二分類(X, Y )的簡(jiǎn)單偶圖，其中X的每個(gè)頂點(diǎn)與Y 的每個(gè)頂點(diǎn)相連，若 |X|=m，|Y|=n，則這樣的偶圖記為

?13、相關(guān)結(jié)論（從平時(shí)作業(yè)中的選擇題提煉出來(lái)）：

• 有割邊的圖不一定有割點(diǎn)，比如K2
• 有割點(diǎn)的圖不一定有割邊，比如8字形的圖
• 割點(diǎn)至少屬于圖的兩個(gè)塊
• 割邊不在圖的任意一個(gè)圈之中
• 階數(shù)至少是3的連通圖中，圖的割點(diǎn)也是子圖的割點(diǎn)
• G為n階簡(jiǎn)單圖，若δ(G) ≥n/2，則G連通且λ(G)=δ(G)
• 非平凡樹不一定存在割點(diǎn)，但一定存在割邊，比如K2
• ?完全圖不一定沒(méi)有割邊，比如K2
• 2連通圖一定沒(méi)有割邊
• 若圖G是塊，則塊中不一定有圈，比如K2；塊中不一定無(wú)環(huán)，比如自環(huán)
• 非平凡樹T，最多包含一個(gè)完美匹配
• 非平凡樹T是只有一個(gè)面（外平面）的平面圖
• 非平凡樹T的對(duì)偶圖不一定是簡(jiǎn)單圖，比如K2的對(duì)偶圖為自環(huán)，自環(huán)不是簡(jiǎn)單圖
• 無(wú)割邊的三正則圖一定存在完美匹配，有割邊的三正則圖不一定有完美匹配
• 有完美匹配的三正則圖不一定沒(méi)有割邊
• 三正則哈密爾頓圖存在完美匹配，可1-因子分解
• 任意非平凡正則偶圖包含完美匹配且能夠1-因子分解
• 只有一個(gè)面的連通平面圖一定是樹
• 存在一種方法，總可以把平面圖中任意一個(gè)內(nèi)部面轉(zhuǎn)為外部面
• 無(wú)環(huán)圖是2連通的平面圖，一定不包含割點(diǎn)，同時(shí)不包含割邊，一定不包含只屬于一個(gè)面的邊，邊界均為圈
• 若（n,m）圖是極大外平面圖且n大于等于3，則m=2n-3
• 階數(shù)至少為3的極大外平面圖一定是H圖

14、塊的定義：沒(méi)有割點(diǎn)的連通圖稱為塊圖，簡(jiǎn)稱塊。若圖G的子圖B是塊，且G中沒(méi)有真包含B的子圖也是塊，則稱B是G的塊

　　相關(guān)性質(zhì)：

• 僅有一條邊的塊，要么是割邊，要么是環(huán)
• 僅有一個(gè)點(diǎn)的塊，不是孤立點(diǎn)就是自環(huán)
• 至少兩個(gè)點(diǎn)的塊無(wú)環(huán)
• 階數(shù)至少為3的塊無(wú)割邊
• 階數(shù)至少為3的塊中的任意兩點(diǎn)都位于同一個(gè)圈上
• 階數(shù)至少為3的塊中的任意兩條邊都在同一個(gè)圈上

?15、歐拉圖的相關(guān)結(jié)論：

• 一定是連通圖
• 歐拉圖不一定沒(méi)有割點(diǎn)，比如8字形的圖
• 歐拉圖一定沒(méi)有割邊
• 非平凡的歐拉圖中一定有圈
• 至少具有兩個(gè)點(diǎn)的無(wú)環(huán)歐拉圖一定是2邊連通的

16、閉圖：在n階簡(jiǎn)單圖G中，若對(duì)d(u)+d(v)≥n的任何一對(duì)點(diǎn)u和v都是相鄰的，則稱G是閉圖

17、閉包：若一個(gè)與G 有相同點(diǎn)集的閉圖 ?，使G?，且對(duì)異于?的任何圖H，若有GH?，則H不是閉圖，則稱?是G的閉包

18、H圖相關(guān)結(jié)論：（舉反例想到長(zhǎng)度為５的圈）

• 一定沒(méi)有割邊
• 不一定沒(méi)有割點(diǎn)，比如H圖+自環(huán)（也是H圖，而自環(huán)讓該點(diǎn)成為了割點(diǎn)）
• 一個(gè)簡(jiǎn)單圖是H圖當(dāng)且僅當(dāng)它的閉包是H圖

• G是n≥3的簡(jiǎn)單圖，若G的閉包是完全圖，則G是H圖

• 若G是階數(shù)至少為3的簡(jiǎn)單圖，其中任何兩個(gè)不鄰接的點(diǎn)u和v均有d(u)+d(v)≥n，則 G是H圖

• 若G是階數(shù)至少為3的簡(jiǎn)單圖，若G中每個(gè)點(diǎn)的度d(v)≥n/2，則G是H圖
• 圖G的閉包是Kn，則G是H圖
• G為階數(shù)至少為3的非H的簡(jiǎn)單圖，G度弱于某個(gè)Cm,n圖（度極大的H圖）
• H圖不一定是完全圖，比如長(zhǎng)度為5的圈
• G為階數(shù)至少為3的H簡(jiǎn)單圖，若n為奇數(shù)，則G一定不是偶圖

?19、G為n階簡(jiǎn)單圖，若任意兩個(gè)頂點(diǎn)存在d(u)+d(v)大于等于n-1，則該圖G存在H路

?20、n方體：超立方體Qn簡(jiǎn)稱為n方體，。其構(gòu)造方式為：n方體有2^n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可以用長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制碼來(lái)表示，兩個(gè)頂點(diǎn)連線當(dāng)且僅當(dāng)代表兩個(gè)頂點(diǎn)的二進(jìn)制碼只有一位坐標(biāo)不同

　　其相關(guān)結(jié)論有：

• 　　
• 每個(gè)n方體都有完美匹配（n大于等于1）

?21、因子分解相關(guān)結(jié)論

• 若G有一個(gè)1-因子(其邊集為完美匹配)，則顯然G的階數(shù)是偶數(shù)。所以，奇數(shù)階圖不能有1-因子。
• 完全圖是可以1-因子化
• k正則偶圖(k>0)是1-可因子化
• 具有Hamilton圈的3正則圖是1-可因子化的（注意：1-可因子分解的3正則圖不一定有Hamilton圈）
• 若3正則圖有割邊，則不可1-因子分解（注意：無(wú)割邊的3正則圖可能也沒(méi)有1-因子分解，比如彼得森圖）
• K4有唯一的1-因子分解
• 一個(gè)圖2-可因子化，則每個(gè)2-因子是邊不重圈的并

• 2-可因子化的圖的所有點(diǎn)的度一定是偶數(shù)，所以完全圖不是2-可因子化的

• 若一個(gè)2-因子是連通的，則它是一個(gè)H圈
• 圖是n個(gè)H圈的并
• 完全圖是一個(gè)1-因子和n-1個(gè)H圈的并
• 每一個(gè)沒(méi)有割邊的3正則圖是一個(gè)1-因子和一個(gè)2-因子的并
• 若沒(méi)有割邊的3正則圖中的2-因子是一些偶圈，則該圖也是1-可因子化的
• 一個(gè)連通圖是2-可因子化的當(dāng)且僅當(dāng)它是偶數(shù)度正則圖
• 的不同1-因子數(shù)目為(2n-1)!!

?22、存在且只存在5種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體

?23、一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)，m條棱和φ個(gè)面的凸多面體的棱數(shù)與面數(shù)滿足：n–m+φ=2。設(shè)每個(gè)面的次數(shù)為l，每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)為r，則

?24、對(duì)偶圖相關(guān)結(jié)論：

• 平面圖G的對(duì)偶圖G*也是平面圖，且G*的點(diǎn)數(shù) = G的面數(shù)；G*的邊數(shù) = G的邊數(shù)；G*的面數(shù) = G的點(diǎn)數(shù) (G連通)；d(vi*) = deg ( fi )
• 設(shè)G*是平面圖G的對(duì)偶圖，則G*必連通
• 假定G是平面圖，則(G*)* = G當(dāng)且僅當(dāng)G是連通圖
• 若G1≌G2，在一般條件下，只存在非同構(gòu)的對(duì)偶圖G1*與G2*

25、2度頂點(diǎn)的擴(kuò)充與收縮：在圖G的邊上插入一個(gè)新的2度頂點(diǎn)，使一條邊分成兩條邊，則稱將圖G在2度頂點(diǎn)內(nèi)擴(kuò)充；去掉圖G的一個(gè)2度頂點(diǎn)，使這個(gè)2度頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的兩條邊合成一條邊，則稱將G在2度頂點(diǎn)內(nèi)收縮

　　同胚：兩個(gè)圖G1和G2，如果G1≌G2，或者通過(guò)反復(fù)在2度頂點(diǎn)內(nèi)擴(kuò)充和收縮它們能變成同構(gòu)的，則稱G1和G2是同胚的或G1和G2在2度頂點(diǎn)內(nèi)是同構(gòu)的

26、初等收縮/收縮邊uv運(yùn)算：設(shè)uv是簡(jiǎn)單圖G的一條邊。去掉該邊，重合其端點(diǎn)，再刪去由此產(chǎn)生的環(huán)和重邊。這一過(guò)程稱為圖G的初等收縮或收縮邊uv運(yùn)算，并記所得之圖為G/uv。一個(gè)圖G可收縮到H，是指H可從G通過(guò)一系列初等收縮而得到

27、基礎(chǔ)簡(jiǎn)單圖：給定圖G，去掉G中的環(huán)(若有的話)，將G中的重邊(若有的話)用單邊代替，稱這樣所得的圖為G的基礎(chǔ)簡(jiǎn)單圖

　　與可平面性的關(guān)系：（1）圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)其基礎(chǔ)簡(jiǎn)單圖是可平面圖（2）圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)塊是可平面圖

28、瓦格納定理（平面圖的判定定理）：簡(jiǎn)單圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不含可收縮到K5或K3,3的子圖（還是必要條件，不是充要條件）

29、臨界圖：若對(duì)圖G的任意真子圖H都有χ(H)< χ(G)，則稱G是臨界圖；色數(shù)為k的臨界圖稱為k臨界圖

　　相關(guān)性質(zhì)：k色圖均有k臨界子圖；每個(gè)臨界圖均為簡(jiǎn)單連通圖；若G是k臨界圖，則δ≥k-1；臨界圖沒(méi)有割點(diǎn)

30、每個(gè)k色圖至少有k個(gè)度不小于k-1的頂點(diǎn)

31、唯一可著色圖：設(shè)簡(jiǎn)單標(biāo)號(hào)圖G的色數(shù)是k，如果在任意的k正常點(diǎn)著色方案下，導(dǎo)出的頂點(diǎn)集合劃分唯一，稱G是唯一k可著色圖，簡(jiǎn)稱唯一可著色圖

　　相關(guān)結(jié)論：?

• δ≥k-1；
• 在G的任意一種k著色中，G的任意兩個(gè)色組的并導(dǎo)出的子圖是連通的；
• 每個(gè)唯一k (k≥2)可著色圖是(k-1)連通的；
• 設(shè)G是唯一n(n≥2)可著色圖，π是任意一種n著色方案，則由π的任意k個(gè)色組導(dǎo)出的子圖是(k-1)連通的
• 唯一1可著色圖是空?qǐng)D
• 唯一2可著色圖是連通的偶圖
• 每個(gè)唯一4可著色可平面圖都是極大可平面圖

32、團(tuán)：圖G的一個(gè)團(tuán)是指G的頂點(diǎn)子集S，使得導(dǎo)出子圖G[S]是完全圖。G的k團(tuán)是指G的含k個(gè)點(diǎn)的團(tuán)；G的最大團(tuán)的點(diǎn)數(shù)稱為G的團(tuán)數(shù)記為cl(G)，即cl(G)=max{|S| | S是G的團(tuán)}。圖G的色數(shù)與團(tuán)數(shù)的關(guān)系為

33、完美圖：設(shè)G是一個(gè)圖，若對(duì)G的每個(gè)點(diǎn)導(dǎo)出子圖H，均有 χ(H)=cl(H)，則稱G為完美圖。圖G是完美圖當(dāng)且僅當(dāng)G的補(bǔ)圖是完美圖

　　相關(guān)結(jié)論：

• 完全圖、偶圖均為完美圖，而不含三角形但含奇圈的圖不是完美圖
• 偶圖的補(bǔ)圖是完美圖
• 長(zhǎng)度至少為5的奇圈及其補(bǔ)圖均不是完美圖

34、理想子圖：設(shè)H是圖G的生成子圖。若H的每個(gè)分支均為完全圖，則稱H是G的一個(gè)理想子圖。用Nr (G)表示G的具有r個(gè)分支的理想子圖的個(gè)數(shù)。設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的圖，則有(1) Nn(G)=1;?

　　(2) Nn-1(G)=m;(3) 若k<ω(G)，則Nk(G)=0

35、獨(dú)立數(shù):一個(gè)圖的點(diǎn)獨(dú)立集，簡(jiǎn)稱獨(dú)立集，是指圖中一些互不相鄰的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)子集。圖G中含點(diǎn)數(shù)最多的獨(dú)立集稱為G的最大獨(dú)立集；最大獨(dú)立集所含的頂點(diǎn)數(shù)稱為G的點(diǎn)獨(dú)立數(shù)，簡(jiǎn)稱獨(dú)立數(shù)，記為α(G)，簡(jiǎn)記為α

36、圖G的最大獨(dú)立集中包含的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與G的最小覆蓋中包含的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)之和等于G的階數(shù)

37、覆蓋數(shù)：G的一個(gè)包含頂點(diǎn)數(shù)最少的覆蓋稱為G的最小覆蓋。G的最小覆蓋包含的頂點(diǎn)數(shù)，稱為G的點(diǎn)覆蓋數(shù)，簡(jiǎn)稱覆蓋數(shù)，記為β(G)

38、拉姆齊數(shù)：設(shè)m和n是兩個(gè)正整數(shù)，令R(m, n)是最小的正整數(shù)l使得任意的l階圖要么包含m個(gè)頂點(diǎn)的團(tuán)，要么包含n個(gè)頂點(diǎn)的獨(dú)立集。R(m, n)稱為(m, n)Ramsey數(shù)。R(2, n)=n，R(3, 3)=6，

　　R(m, n)=R(n, m)，R(1, n)=R(n, 1)=1

39、高為h的完全二元樹至少有h+1片樹葉

40、最優(yōu)樹：設(shè)T是一棵有t片樹葉的二元樹，若對(duì)T的所有t片樹葉賦以權(quán)值(實(shí)數(shù)) w1, w2,…, wt，則稱T為帶權(quán)二元樹；若帶有權(quán)wi的樹葉的層數(shù)為l(wi)，則稱為T的權(quán)，給定實(shí)數(shù)w1, w2,…, wt，在所有樹葉帶有權(quán)w1, w2,…, wt 的二元樹中，W(T)最小的二元樹稱為最優(yōu)樹。

41、頻序列：設(shè)n階圖G 的各點(diǎn)的度取s個(gè)不同的非負(fù)整數(shù)d1, d2,…, ds。又設(shè)度為di的點(diǎn)有bi個(gè)(∑bi=n)，則稱 (b1, b2,…, bs) 為G的頻序列

　　相關(guān)結(jié)論：

• 一個(gè)n階圖G 和它的補(bǔ)圖有相同的頻序列
• 一個(gè)簡(jiǎn)單圖G 的n個(gè)點(diǎn)的度不能互不相同

42、完全圖Kn相關(guān)結(jié)論

• 點(diǎn)色數(shù)為n
• 邊色數(shù)為：n（n為奇數(shù)時(shí)）；n-1（n為偶數(shù)時(shí)）
• 點(diǎn)連通度為n-1
• 邊連通度為n-1
• 是臨界圖
• 是唯一可著色圖

43、關(guān)聯(lián)矩陣：無(wú)環(huán)圖G的關(guān)聯(lián)矩陣B(G) = [bij] (簡(jiǎn)記為B)是一個(gè)n×m 矩陣，當(dāng)點(diǎn)vi 與邊ej 關(guān)聯(lián)時(shí) bij =1，否則 bij =0。其性質(zhì)為：關(guān)聯(lián)矩陣的每列和為2；其行和為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的度數(shù)。

44、有向圖的鄰接矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣：設(shè)D=(V, E)是一個(gè)標(biāo)定有向圖，其中設(shè)V={v1, v2,…, vn}，E={e1, e2,…, em}：

　　(1) 稱矩陣A(D)=(ai j)n×n為D的鄰接矩陣，其中ai j是以vi作為始點(diǎn)，vj作為終點(diǎn)的邊的數(shù)目，1≤ i ≤n, 1≤ j ≤n

　　(2) 若D無(wú)環(huán)，稱矩陣M(D)=(mi j)n×m為D的關(guān)聯(lián)矩陣，其中。由定義可知，鄰接矩陣A(D)的所有元素之和等于邊數(shù)。關(guān)聯(lián)矩陣中列和等于0；一行中1的和等于出度之和，-1的和等于入度之和；其全部元素之和等于0。

45、有向圖相關(guān)結(jié)論

?

• 有向圖D的任意一個(gè)頂點(diǎn)只能處于D的某一個(gè)強(qiáng)連通分支中
• 有向圖D中，頂點(diǎn)ｖ可能處于D的不同的單向連通分支中
• 有向連通圖中頂點(diǎn)間的關(guān)系是等價(jià)關(guān)系
• 強(qiáng)連通圖的所有頂點(diǎn)必然處于某一有向閉途徑之中

?

46、假定G*是在圖G中添加一些重復(fù)邊得到的歐拉圖，則G*具有最小權(quán)值的充要條件是（1）G的每一條邊最多被添加一次（2）對(duì)于G*的每個(gè)圈來(lái)說(shuō)，新添加的邊的總權(quán)值不超過(guò)該圈總權(quán)值的一半

47、5階度極大非哈密爾頓圖族有

48、設(shè)樹T 中度數(shù)為i 的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為ni (1≤ i ≤k) ，則

49、圖蘭定理： 若G是n階簡(jiǎn)單圖，并且不包含Kl+1，則邊數(shù) m(G) ≤ m(Tl, n)。 此外，僅當(dāng)G ≌ Tl, n時(shí)，m(G) = m(Tl, n)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的电子科技大学《图论及其应用》复习（史上最全汇总）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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