一、重要概念

1. 圖、簡單圖、圖的同構、度序列與圖序列、補圖與自補圖、兩個圖的聯圖、兩個圖的積圖、偶圖

• 圖：一個圖是一個有序對<V, E>，記為G=(V, E)，其中： 1) V是一個有限的非空集合，稱為頂點集合，其元素稱為頂點或點。用|V|表示頂點數；2) E是由V中的點組成的無序對構成的集合，稱為邊集，其元素稱為邊，且同一點對在E中可以重復出現多次。用|E|表示邊數

注：圖G 的頂點集記為V(G)，邊集記為E(G)。圖G 的頂點數(或階數)和邊數可分別用符號n(G)和m(G)表示

• 簡單圖：無環無重邊的圖稱為簡單圖。（除此之外全部都是復合圖）

注：點集與邊集均為有限集合的圖稱為有限圖。只有一個頂點而無邊的圖稱為平凡圖。邊集為空的圖稱為空圖

• 圖的同構：設有兩個圖G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，若在其頂點集合間存在雙射，使得邊之間存在如下關系：設u1?u2, v1?v2， u1, v1∈V1，u2, v2∈V2；u1v1∈E1當且僅當u2v2∈E2，且u1v1與u2v2 的重數相同。稱G1與G2同構，記為G1≌G2
• 圖的度序列：一個圖G的各個點的度d1, d2,…, dn構成的非負整數組(d1, d2,…, dn)稱為G的度序列

注：非負整數組(d1, d2,…., dn)是圖的度序列的充分必要條件是：∑di 為偶數。度序列的判定問題為重點！

• 圖的圖序列：一個非負數組如果是某簡單圖的度序列，稱它為可圖序列，簡稱圖序列
• 補圖：對于一個簡單圖G=(V, E)，令集合E1={uv|u≠v, u, v∈V}，則圖H=(V，E1\E)稱為G的補圖
• 自補圖：若簡單圖G與其補圖同構，則稱G為自補圖

注：自補圖的性質

（1）若n階圖G是自補的(即)，則

?

• 聯圖：設G1，G2是兩個不相交的圖，作G1+G2，并且將G1中每個頂點和G2中的每個頂點連接，這樣得到的新圖稱為G1與G2的聯圖。記為G1∨G2
  
• 積圖：設G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是兩個圖，對點集V1×V2中的任意兩個點u=(u1, u2)與v=(v1, v2)，當(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)時，把u與v相連。如此得到的新圖稱為G1與G2的積圖。記為記為G1×G2

例如：

• 偶圖：所謂具有二分類（X, Y）的偶圖（或二部圖）是指一個圖，它的點集可以分解為兩個非空子集X和Y，使得每條邊的一個端點在X中，另一個端點在Y中

注：偶圖的判定定理：一個圖是偶圖當且當它不包含奇圈

2. 樹、森林、生成樹、最小生成樹、根樹、完全m元樹

• 樹：不含圈的圖稱為無圈圖，樹是連通的無圈圖

注：1、設G是具有n個點m條邊的圖，則下列命題等價：

（1）G 是樹

（2）G 無環且任意兩個不同點之間存在唯一的路

（3）G 連通，刪去任一邊便不連通

（4）G 連通，且 n = m + 1

（5）G 無圈，且 n = m + 1

（6）G 無圈，添加任何一條邊可得唯一的圈

?? 2、幾個結論

（1）樹和森林都是簡單圖

（2）樹和森林都是偶圖

（3）每棵非平凡樹至少含有兩片樹葉

（4）樹是含有邊數最少的連通圖，成為最小連通圖

（5）樹是含有邊數最多的無圈圖

（6）假定（n,m）圖G是由k棵樹組成的森林，則m=n-k

（7）若G是樹，且最大度大于等于k，則G至少有k片葉子

?

• 森林：無圈圖G為森林
• 最小生成樹：圖G的一個生成子圖T如果是樹，稱它為G的一棵生成樹；若T為森林，稱它為G的一個生成森林。 生成樹的邊稱為樹枝，G中非生成樹的邊稱為弦

注：最小生成樹的求法：Kruskal算法、破圈法、Prim算法

• 根樹：一棵非平凡的有向樹T，如果恰有一個頂點的入度為0，而其余所有頂點的入度為1，這樣的有向樹稱為根樹。其中入度為0的點稱為樹根，出度為0的點稱為樹葉，入度為1，出度大于1的點稱為內點。又將內點和樹根統稱為分支點
• m元完全樹：對于根樹T，若每個分支點至多m個兒子，稱該根樹為m元根樹；若每個分支點恰有m個兒子，稱它為完全m元樹

注：

3. 途徑(閉途徑)、跡(閉跡)、路(圈)、最短路、連通圖、連通分支、點連通度與邊連通度

• 途徑（閉途徑）:給定圖G = (V, E)，w =v0e1v1e2…ekvk是G中點邊交替組成的序列，其中vi∈V，ei∈E，若w滿足ei的端點為vi-1與vi，則稱w為一條從頂點v0到頂點vk的途徑（或通道或通路)，簡稱(v0, vk)途徑。頂點v0和vk分別稱為w的起點和終點，其他點稱為內部點，途徑中的邊數稱為它的長度。起點和終點相同的途徑就稱為閉途徑（環游）
• 跡（閉跡）:邊不重復的途徑稱為跡,起點終點相同的跡為閉跡（回路）
• 路（圈）：點不重復的跡稱為路，起點終點相同的路成為圈
• 最短路：連接u、v的長度最短的路的長度，也稱u與v的距離，記作d（u，v）
• 連通圖：如果圖G中任意兩個點都是連通的，則G為連通圖
• 連通分支：在非連通圖G中，每一個極大的連通部分為G的連通分支，G的連通分支的個數，稱為G 的分支數，記為ω(G)。
• 點連通度：對n階非平凡連通圖G，若G存在頂點割，則稱G的最小頂點割中的點數為G的連通度；否則稱n-1為其連通度。G的連通度符號表示為κ(G)，簡記為κ；非連通圖或平凡圖的連通度定義為0。
• 邊連通度：設G為連通圖，稱使G-E ′不連通的G的邊子集E ′為G的邊割，含有k條邊的邊割稱為k邊割。邊數最少的邊割稱為最小邊割

注：1、幾個結論

（1）若圖中兩個不同點u與v間存在途徑，則u與v間必存在路；若過點u存在閉跡，則過點u必存在圈。

（2）若過點u存在閉途徑，則過點u不一定存在圈。

（3）在n(n≥2)階連通圖中，至少有n-1條邊；如果邊數大于n-1，至少有個圈

（4）若一個圖G中的最小度大于等于2，則G中必然有圈

（5）若圖G是不連通的，則其補圖一定是連通圖

（6）設圖G為n階圖，若G中任意兩個不相鄰頂點u與v滿足d(u)+d(v)≥n-1，則G是連通圖且d(G)≤2

（7）若G是非平凡連通圖，則v是G的割點當且僅當{v}是G的1頂點割

（8）完全圖沒有頂點割，實際上也只有以完全圖為生成子圖的圖沒有頂點割

（9）κ(Kn)=n-1；κ(Cn)=2，其中Cn為n圈，n≥3

（10）非平凡連通圖均是1連通的；圖G是2連通的當且僅當G連通、無割點且至少含有3個點；K2連通、無割點、但連通度為1

（11）非連通圖或平凡圖的邊連通度定義為0

（12）λ(Kn)=n-1；λ(Cn)=2，其中Cn為n圈，n≥2

（13）非平凡連通圖均是1邊連通的；圖G是2邊連通的當且僅當G連通、無割邊且至少含有兩個點

（14）對任意的圖G，有κ(G)≤λ(G)≤δ(G)

（15）設G是具有m條邊的n階連通圖，則

（16）設G是n階簡單圖，若δ(G)大于等于(n/2)向下取整，則G必連通

（17）設G是n階簡單圖，對正整數k<n，若，G是k連通的

（18）設G是n階簡單圖，若δ(G)≥（n/2）向下取整，則λ(G)=δ(G)

4. 歐拉圖、歐拉環游、歐拉跡、哈密爾頓圈、哈密爾頓圖、哈密爾頓路、中國郵遞員問題、最優H圈

• 歐拉圖：對于連通圖G，如果G中存在經過每條邊的閉跡，則稱G為歐拉圖，簡稱G為E圖
• 歐拉環游：歐拉閉跡又稱為歐拉環游，或歐拉回路
• 歐拉跡：對于連通圖G，如果G中存在經過每條邊的跡，則稱該跡為G的一條歐拉跡
• 哈密爾頓圖：如果經過圖G的每個頂點恰好一次后能夠回到出發點，即存在H圈的圖稱為哈密爾頓圖，簡稱H圖
• 哈密爾頓圈：經過圖中每個點僅一次的圈是哈密爾頓圈
• 哈密爾頓路：圖G的經過每個頂點的路稱為哈密爾頓路
• 中國郵遞員問題：圖論模型為在一個連通的具有非負權的賦權圖G中找一條包含每條邊 (允許重復) 且邊權之和最小的閉途徑，稱之為最優環游。

注：

（1） 若圖G是一個歐拉圖，則找出G的歐拉回路即可。

（2）對一般圖，其解法為：添加重復邊以使G成為歐拉圖G*，并使添加的重復邊的邊權之和為最小，再求G*的歐拉回路。

（3）

• 最優H圈（旅行售貨員問題）：圖論模型：在賦權完全圖G中求具有最小權的哈密爾頓圈，這個圈稱為最優圈。采用邊交換技術求解最優H圈，詳情見PPT

5. 匹配、最大匹配、完美匹配、最優匹配、因子分解

• 匹配：如果M是圖G的邊子集(不含環)，且M中的任意兩條邊沒有共同頂點，則稱M是G的一個匹配或邊獨立集
• 最大匹配：如果M是圖G的包含邊數最多的匹配，稱M是G的一個最大匹配
• 完美匹配：若最大匹配飽和了G的所有頂點，稱它為G的一個完美匹配
• 最優匹配：設G=(X, Y)是邊賦權完全偶圖，G中的一個權值最大的完美匹配稱為G的最優匹配
• 因子分解：所謂一個圖G的因子分解，是指把圖G分解為若干個邊不重的因子之并。k-因子分解：每個因子均為k-因子的因子分解，此時稱G本身是k-可因子化的

注：1、匹配、飽和點與非飽和點：設M是圖G的邊子集，若任意的e∈M，e 都不是環，且屬于M的邊互不相鄰，則稱M為G的一個匹配。設M為 G的一個匹配，對v∈V(G)，若v是M中某邊的一個端點，則稱v為M飽和點，否則稱為M非飽和點

　　2、

?

　　 3、完美匹配必是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配；最大匹配必存在，但完美匹配不一定存在；G存在完美匹配的一個必要條件是G的點數必然為偶數

　　4、交錯路與可擴路：設M為圖G的一個匹配，G的M交錯路是指G中由M中的邊與非M中的邊交替組成的路。 M可擴路是指其起點與終點均為M非飽和點的M交錯路

　　5、的完美匹配的個數分別為：（2n-1）!!、n！

　　6、覆蓋：圖G的一個覆蓋是指V(G)的一個子集K，使得G的每條邊都至少有一個端點在K中。G中點數最少的覆蓋稱為G的最小覆蓋

　　7、設K是G的覆蓋，M是G的匹配，由于M中的邊互不相鄰，若要覆蓋中M中的邊，至少需要|M|個頂點，所以|M| ≤ |K|。特別地，若M*是最大匹配，且是最小覆蓋，則

　　 8、設M是匹配，K是覆蓋，若|M| = |K|，則M是最大匹配,且K是最小覆蓋

　　9、在偶圖中，最大匹配中的邊數等于最小覆蓋中的點數

　　10、因子：圖G的一個因子是指至少包含G的一條邊的生成子圖，即非空的生成子圖就是一個因子(G的生成子圖是指滿足V(H) =V(G)的子圖H)

　　11、k-因子指k正則的因子

?

6.平面圖、極大平面圖、極大外平面圖、平面圖的對偶圖

• 平面圖：如果能把圖G畫在平面上，使得除頂點外，邊與邊之間沒有交叉，稱G可以嵌入平面，或稱G是可平面圖。可平面圖G的邊不交叉的一種畫法，稱為G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱為平面圖
• 極大平面圖：設G是簡單可平面圖，如果G是Ki (1≤i≤4)，或者在G的任意非鄰接頂點間添加一條邊后，得到的圖均是非可平面圖，則稱G是極大可平面圖。極大可平面圖的平面嵌入稱為極大平面圖
• 極大外平面圖：若一個可平面圖G存在一種平面嵌入，使得其所有頂點均在某個面的邊界上，稱該圖為外可平面圖。外可平面圖的一種外平面嵌入，稱為外平面圖
• 平面圖的對偶圖：給定平面圖G，G的對偶圖G*如下構造：1) 在G的每個面fi內取一個點vi*作為G*的一個頂點；2) 對G的一條邊e，若e 是面 fi 與 fj 的公共邊，則連接vi*與vj*，且連線穿過邊e；若e是面fi中的割邊，則以vi為頂點作環，且讓它與e相交

注：1、設 f 是G的一個面，構成 f 的邊界的邊數(割邊計算2次)稱為面 f 的次數，記為deg( f )

　　2、

　　3、設G是具有m條邊的平面圖，則

　　4、設G是具有n個點，m 條邊，φ個面的連通平面圖，則有n–m+φ=2

　　5、設G是具有n個點，m條邊，φ個面，k個連通分支的平面圖，則

　　6、設G是具有n個點，m條邊，φ個面的連通平面圖，如果對G的每個面f，有deg(f )≥ l ≥3，則(注意：G是平面圖的必要條件，不是充分條件)

　　7、設G是具有n個點，m條邊的簡單平面圖且n≥3，則

　　8、若G是簡單平面圖，則δ≤5

　　9、一個連通平面圖G是2連通的當且僅當G的每個面的邊界是圈

　　10、一個圖可嵌入平面當且僅當它可嵌入球面

　　11、設G是極大平面圖，則G必連通；若G的階數至少等于3，則G無割邊

　　12、設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖的充分必要條件為G中各面的次數均為3且為簡單圖(極大平面圖的三角形特征，即每個面的邊界為三角形)

　　13、設G是一個有n個點，m條邊，φ個面的極大平面圖，且n≥3，則(1) m=3n–6(2) φ=2n–4

　　14、如果在不可平面圖G中任意刪去一條邊所得的圖為可平面圖，則稱G為極小不可平面圖。例如K5和K3,3

　　15、設 G 是一個有 n (n≥3)個點，且所有點均在外部面上的外平面圖，則G是極大外平面圖當且僅當其外部面的邊界是圈，內部面是三角形

　　16、設G是一個階數為n (n≥4)且所有點均在外部面上的極大外平面圖，則G中存在兩個度數均為2且不相鄰的點

　　17、設G是一個有n (n≥3)個點，且所有點均在外部面上的極大外平面圖，則G有n–2個內部面

　　18、設G是一個具有n (n≥4)個點，m條邊的簡單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

　　19、每個至少有7個頂點的外可平面圖的補圖不是外可平面圖，且7是這個數目的最小者

　　20、圖G是可平面的當且僅當它不含與K5或K3,3同胚的子圖

7.邊色數、點色數、色多項式

• 邊色數：設G是圖，對G進行正常邊著色需要的最少顏色數，稱為G的邊色數，記為χ'(G)
• 點色數：對圖G正常頂點著色需要的最少顏色數，稱為圖G的點色數，用χ(G)表示
• 色多項式：對圖進行正常頂點著色，其方式數Pk(G)是k的多項式，稱為圖G的色多項式

注：

　　1、邊著色/k邊可著色：設G是圖，對G的邊進行著色，若相鄰邊著不同顏色，則稱對G進行正常邊著色； 如果能用k種顏色對圖G 進行正常邊著色，稱G是k邊可著色的

　　2、在任何正常邊著色中，與任一頂點關聯的各邊必須著不同色，由此推知：對無環圖

　　 3、Km,n的一個正常邊著色為?χ′(Km, n)=Δ

　　4、設G是非空的簡單圖。若G中恰有一個度為Δ(G)的點，或G中恰有兩個度為Δ(G)的點并且這兩個點相鄰，則χ′(G)=Δ(G)

　　5、設圖G=(V, E)是n階簡單圖，若n=2k+1且邊數m>kΔ，則χ′=Δ+1

　　6、設G是奇階Δ正則簡單圖。若Δ>0，則 χ′=Δ+1

　　7、對任意的無環圖G，均有χ ≤Δ+1

　　8、設G是簡單連通圖。假定G既不是完全圖又不是奇圈，則χ ≤ Δ

　　9、設G是非空簡單圖，若G中度數最大的點互不相鄰，則

　　10、對任意的簡單平面圖，均有χ≤5

　　11、若k<χ(G)，則Pk(G)=0； χ(G)=min{k | Pk(G)≥1}

　　12、若G為n階空圖，則Pk(G)=k^n

　　13、

　　14、若圖G含有n個孤立點，則Pk(G)=k^n*Pk(G′)，其中G′是 G去掉n個孤立點后所得的圖

　　15、若圖G有環或有重邊，則去掉環并將重邊用單邊代替之 后所得圖的k著色數目與原圖一樣

?　　16、設e=uv是圖G的一條邊，并且d(u)=1，則?Pk(G)=(k-1)Pk(G-u)

　　17、對n階簡單圖G，Pk (G)是k的整系數n次多項式，首項為k^n，常數項為零，并且各項系數的符號正負相間

8.強連通圖、單向連通圖、弱連通圖

• 強連通圖：若D的中任意兩點是雙向連通的，稱D是強連通圖
• 單向連通圖：若D中任意兩點是單向連通的，稱D是單向連通圖
• 弱連通圖：若D的基礎圖是連通的，稱D是弱連通圖

注：1、有向圖D=(V, E)是強連通的當且僅當D中存在含有所有頂點的有向閉途徑

　　2、設D'是有向圖D=(V, E)的一個子圖。如果D'是強連通的(單向連通的、弱連通的)，且D中不存在真包含D'的子圖是強連通的(單向連通的、弱連通的)，則稱D'是D的一個強連通分支(單向連通分支、弱連通分支)

　　3、有向圖D=(V, E)的每個點位于且僅位于D的一個強(弱)連通分支中

　　4、若G是2邊連通的，則G存在強連通定向圖

　　5、若有向圖D的基礎圖是樹，則稱D為有向樹

　　6、恰有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度均為1的非平凡有向樹稱為根樹。根樹中入度為0的頂點稱為樹根，出度為0的頂點稱為樹葉，其余點稱為內點，內點和根統稱為分支點。

　　7、根樹T中，若每個分支點至多有m個兒子，則稱T為m元樹；若每個分支點恰有m個兒子，則稱T為m元完全樹

　　8、設m元完全樹T的樹葉數為t，分支點數為i，則(m-1)i=t-1

二、重要結論

1、握手定理及其推論

定理1? 圖G中所有頂點的度數和等于邊數的2倍。

推論1? 在任何圖中，奇點個數為偶數。

推論2? 正則圖的階數和度數不同時為奇數。

2、Turan定理

定理2? 若n階簡單圖G不包含，則G度弱于某個完全l 部圖 H，且若G具有與H相同的度序列，則G≌H

3、樹的性質

定理3 設T是(n, m)樹，則m=n-1

4、最小生成樹算法

Kruskal算法，Prim算法，破圈法。

5、偶圖判定定理

定理4 圖G是偶圖當且僅當G中沒有奇圈

6、Menger定理

定理5?? (1) 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最小點數等于獨立的(x, y)路的最大數目；(2) 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最小邊數等于G中邊不重的(x, y)路的最大數目。

7、歐拉圖、歐拉跡的判定

定理6? 下列命題對于非平凡連通圖G是等價的：
(1)? G是歐拉圖；
(2)? G的頂點度數為偶數；
(3)? G的邊集合能劃分為圈。

推論?? 連通非歐拉圖G存在歐拉跡當且僅當G中只有兩個頂點度數為奇數。

8、H圖的判定

定理7 (必要條件)? 若G為H圖，則對V(G)的任一非空頂點子集S，成立：ω(G－S) ≤|S|。

定理8 (充分條件)? 對于n≥3的簡單圖G，如果δ(G) ≥n/2，則G是H圖。

定理9 (充分條件)? 對于n≥3的簡單圖G，如果G中的任意兩個不相鄰頂點u與v，有d(u)+d(v) ≥n，則G是H圖。

定理10 (閉包定理)?? 圖G是H圖當且僅當它的閉包是H圖。

定理11 (度序列判定法) 設簡單圖G的度序列是(d1, d2,…,dn)，其中d1≤d2≤…≤dn，并且n≥3。若對任意的m<n/2，或者，或者，則G是H圖。

定理12? 設G是n階簡單圖。若n≥3且則G是H圖；并且具有n個頂點條邊的非H圖只有C1,n以及C2,5

9、偶圖匹配與因子分解

定理13? 設G=(X, Y)是偶圖，則G存在飽和X的每個頂點的匹配的充要條件是：

推論? 若G是k (k>0)正則偶圖，則G存在完美匹配。

定理14? 在偶圖中，最大匹配的邊數等于最小覆蓋的頂點數。

定理15? K2n可一因子分解。

定理16? 具有H圈的三正則圖可一因子分解。

定理17? K2n+1可2因子分解。

定理18? K2n可分解為一個1因子和n-1個2因子之和。

定理19? 每個沒有割邊的3正則圖是一個1因子和1個2因子之和。

10、平面圖及其對偶圖

1)平面圖的次數公式

定理20? 設G是平面圖，則次數之和等于2倍的邊數。

2)平面圖的歐拉公式

定理21 (歐拉公式) 設G=(n, m)是連通平面圖， φ是G的面數，則n-m+φ=2。

3)幾個重要推論

推論1 設G是具有n個點m條邊φ個面的連通平面圖，如果對G的每個面f，有deg (f )≥l ≥3，則：

推論2?? 設G=(n,m)是簡單平面圖，則m≤3n-6。

推論3? 設G是簡單平面圖，則δ(G)≤5。

注：推論2的證明

4)對偶圖的性質

定理22? 平面圖G的對偶圖必然連通。

5)極大平面圖的性質

定理23? 設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖，當且僅當G的每個面的次數是3且為簡單圖。

11、著色問題

1)邊著色

定理24? 完全二部圖的邊色數等于頂點度數的最大值。

定理25? 二部圖的邊色數等于頂點度數的最大值。

定理26 若G是簡單圖，則邊色數要么為最大度，要么等于最大度+1。

定理27? 設G是簡單圖且Δ(G)>0。若G中只有一個最大度點或恰有兩個相鄰的最大度點，則邊色數等于最大度。

定理28? 設G是簡單圖。若點數n=2k+1且邊數m>kΔ，則邊色數等于最大度+1。

定理29? 設G是奇數階Δ正則簡單圖，若Δ>0，則邊色數等于最大度+1。

2)點著色

定理30? 對任意的圖G，

定理31 若G是連通的簡單圖，并且它既不是奇圈，又不是完全圖，則。

3)色多項式

a)遞推計數法

定理32 設G為簡單圖，則對任意e∈E(G)，有

b)、理想子圖計數方法

?

12根樹問題

定理32 在完全m元樹T中，若樹葉數為t，分支點數為i，則(m-1)i = t-1。

?

Note：以上為暫時的全部總結，在近些天復習的過程中發現漏洞會及時填補。

補充內容

1、關于正則與完全圖的一些理解：k正則圖，指的是每個點都有k度，n階k正則圖就是n個頂點的度數都為k，而完全圖是最大的正則，因此完全圖中每個頂點的度數為n-1，為n-1正則圖。

2、鄰接矩陣的概念

? ? ? 定義? 設n階標定圖G = (V, E)，V = {v1, v2,…, vn}，則G的鄰接矩陣是一個n×n 矩陣A(G) = [ aij ] (簡記為A)，其中若 vi鄰接vj，則aij =1；否則aij =0

? ? ? 若aij 取為連接vi與vj 的邊的數目，則稱A為推廣的鄰接矩陣。

? ? ? 性質：鄰接矩陣是一個對稱方陣；簡單標定圖的鄰接矩陣的各行 (列) 元素之和是該行 (列) 對應的點的度

? ? ??定理? 令G是一個有推廣鄰接矩陣A的 p階標定圖，則An的i 行 j 列元素aij(n)等于由vi到vj的長度為n的通道的數目?

? ? ? 推論 設A為簡單圖G的鄰接矩陣，則(1)?的元素?是 vi 的度數。A3 的元素?是含 vi 的三角形的數目的兩倍 (2) 若G是連通的，對于i≠j，vi? 與vj 之間的距離是使An 的aij(n) ≠0 的最小整數n

?3、l部圖概念及特征

? ? ?定義? 若簡單圖G的點集V有一個劃分：且所有的Vi 非空，Vi 內的點均不鄰接，稱G是一個 l 部圖。

? ? ? ? ? ? ??

? ? ??定義? 如果在一個l 部圖G中,? |Vi|=ni,? 任何兩點u∈Vi ,? v∈Vj , i ≠ j ,? i, j =1, 2,…, l 均鄰接，則稱G為完全l 部圖。記作

?4、生成樹：若圖G的生成子圖T是樹，則稱T為G的生成樹；若T為森林，稱它是G的生成森林。生成樹的邊稱為樹枝，G中非生成樹的邊稱為弦。

? ? ? ?定理? 每個連通圖至少包含一棵生成樹

? ? ? ?計數：用τ(G) 表示G的生成樹的個數，

　　一個定理：

?5、單調不增正整數序列(d1, d2,…, dn)是一棵非平凡樹的度序列當且僅當∑ di=2(n-1)

6、

7、簡單圖一定存在度數相同的頂點

8、k正則二部圖（k正則偶圖）G的相關結論：

　　（1）若k≥2，則G無割邊

? ? ? ?（2）存在完美匹配

? ? ? ?（3）可1-因子化

?9、彼得森圖：，其相關結論有：

• 點連通度為3，邊連通度為3
• 是一個3正則圖
• 點色數為3，邊色數為4
• 半徑與直徑均為2
• 不是H圖（刪去任意頂點后為H圖）
• 是不可平面圖
• 存在完美匹配
• 雖然該圖無割邊，但也不可1-因子分解（3正則圖有割邊，不能1-因子分解）
• 是一個1-因子和一個2-因子的并

?10、歐拉圖相關等價命題：

• 每個點的度為偶數
• 是連通圖
• 邊集可以劃分為邊不重的圈的并

?11、歐拉跡相關結論：

• 連通圖存在歐拉跡當且僅當G最多有兩個奇度頂點
• 有向圖中存在歐拉跡，當且僅當D連通且除了兩個點外，每個點出度與入度相等。而這兩個點中，一個點入度比出度大1，另一個點出度比入度大1

?12、完全偶圖：是指具有二分類(X, Y )的簡單偶圖，其中X的每個頂點與Y 的每個頂點相連，若 |X|=m，|Y|=n，則這樣的偶圖記為

?13、相關結論（從平時作業中的選擇題提煉出來）：

• 有割邊的圖不一定有割點，比如K2
• 有割點的圖不一定有割邊，比如8字形的圖
• 割點至少屬于圖的兩個塊
• 割邊不在圖的任意一個圈之中
• 階數至少是3的連通圖中，圖的割點也是子圖的割點
• G為n階簡單圖，若δ(G) ≥n/2，則G連通且λ(G)=δ(G)
• 非平凡樹不一定存在割點，但一定存在割邊，比如K2
• ?完全圖不一定沒有割邊，比如K2
• 2連通圖一定沒有割邊
• 若圖G是塊，則塊中不一定有圈，比如K2；塊中不一定無環，比如自環
• 非平凡樹T，最多包含一個完美匹配
• 非平凡樹T是只有一個面（外平面）的平面圖
• 非平凡樹T的對偶圖不一定是簡單圖，比如K2的對偶圖為自環，自環不是簡單圖
• 無割邊的三正則圖一定存在完美匹配，有割邊的三正則圖不一定有完美匹配
• 有完美匹配的三正則圖不一定沒有割邊
• 三正則哈密爾頓圖存在完美匹配，可1-因子分解
• 任意非平凡正則偶圖包含完美匹配且能夠1-因子分解
• 只有一個面的連通平面圖一定是樹
• 存在一種方法，總可以把平面圖中任意一個內部面轉為外部面
• 無環圖是2連通的平面圖，一定不包含割點，同時不包含割邊，一定不包含只屬于一個面的邊，邊界均為圈
• 若（n,m）圖是極大外平面圖且n大于等于3，則m=2n-3
• 階數至少為3的極大外平面圖一定是H圖

14、塊的定義：沒有割點的連通圖稱為塊圖，簡稱塊。若圖G的子圖B是塊，且G中沒有真包含B的子圖也是塊，則稱B是G的塊

　　相關性質：

• 僅有一條邊的塊，要么是割邊，要么是環
• 僅有一個點的塊，不是孤立點就是自環
• 至少兩個點的塊無環
• 階數至少為3的塊無割邊
• 階數至少為3的塊中的任意兩點都位于同一個圈上
• 階數至少為3的塊中的任意兩條邊都在同一個圈上

?15、歐拉圖的相關結論：

• 一定是連通圖
• 歐拉圖不一定沒有割點，比如8字形的圖
• 歐拉圖一定沒有割邊
• 非平凡的歐拉圖中一定有圈
• 至少具有兩個點的無環歐拉圖一定是2邊連通的

16、閉圖：在n階簡單圖G中，若對d(u)+d(v)≥n的任何一對點u和v都是相鄰的，則稱G是閉圖

17、閉包：若一個與G 有相同點集的閉圖 ?，使G?，且對異于?的任何圖H，若有GH?，則H不是閉圖，則稱?是G的閉包

18、H圖相關結論：（舉反例想到長度為５的圈）

• 一定沒有割邊
• 不一定沒有割點，比如H圖+自環（也是H圖，而自環讓該點成為了割點）
• 一個簡單圖是H圖當且僅當它的閉包是H圖

• G是n≥3的簡單圖，若G的閉包是完全圖，則G是H圖

• 若G是階數至少為3的簡單圖，其中任何兩個不鄰接的點u和v均有d(u)+d(v)≥n，則 G是H圖

• 若G是階數至少為3的簡單圖，若G中每個點的度d(v)≥n/2，則G是H圖
• 圖G的閉包是Kn，則G是H圖
• G為階數至少為3的非H的簡單圖，G度弱于某個Cm,n圖（度極大的H圖）
• H圖不一定是完全圖，比如長度為5的圈
• G為階數至少為3的H簡單圖，若n為奇數，則G一定不是偶圖

?19、G為n階簡單圖，若任意兩個頂點存在d(u)+d(v)大于等于n-1，則該圖G存在H路

?20、n方體：超立方體Qn簡稱為n方體，。其構造方式為：n方體有2^n個頂點，每個頂點可以用長度為n的二進制碼來表示，兩個頂點連線當且僅當代表兩個頂點的二進制碼只有一位坐標不同

　　其相關結論有：

• 　　
• 每個n方體都有完美匹配（n大于等于1）

?21、因子分解相關結論

• 若G有一個1-因子(其邊集為完美匹配)，則顯然G的階數是偶數。所以，奇數階圖不能有1-因子。
• 完全圖是可以1-因子化
• k正則偶圖(k>0)是1-可因子化
• 具有Hamilton圈的3正則圖是1-可因子化的（注意：1-可因子分解的3正則圖不一定有Hamilton圈）
• 若3正則圖有割邊，則不可1-因子分解（注意：無割邊的3正則圖可能也沒有1-因子分解，比如彼得森圖）
• K4有唯一的1-因子分解
• 一個圖2-可因子化，則每個2-因子是邊不重圈的并

• 2-可因子化的圖的所有點的度一定是偶數，所以完全圖不是2-可因子化的

• 若一個2-因子是連通的，則它是一個H圈
• 圖是n個H圈的并
• 完全圖是一個1-因子和n-1個H圈的并
• 每一個沒有割邊的3正則圖是一個1-因子和一個2-因子的并
• 若沒有割邊的3正則圖中的2-因子是一些偶圈，則該圖也是1-可因子化的
• 一個連通圖是2-可因子化的當且僅當它是偶數度正則圖
• 的不同1-因子數目為(2n-1)!!

?22、存在且只存在5種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體

?23、一個有n個頂點，m條棱和φ個面的凸多面體的棱數與面數滿足：n–m+φ=2。設每個面的次數為l，每個點的度數為r，則

?24、對偶圖相關結論：

• 平面圖G的對偶圖G*也是平面圖，且G*的點數 = G的面數；G*的邊數 = G的邊數；G*的面數 = G的點數 (G連通)；d(vi*) = deg ( fi )
• 設G*是平面圖G的對偶圖，則G*必連通
• 假定G是平面圖，則(G*)* = G當且僅當G是連通圖
• 若G1≌G2，在一般條件下，只存在非同構的對偶圖G1*與G2*

25、2度頂點的擴充與收縮：在圖G的邊上插入一個新的2度頂點，使一條邊分成兩條邊，則稱將圖G在2度頂點內擴充；去掉圖G的一個2度頂點，使這個2度頂點關聯的兩條邊合成一條邊，則稱將G在2度頂點內收縮

　　同胚：兩個圖G1和G2，如果G1≌G2，或者通過反復在2度頂點內擴充和收縮它們能變成同構的，則稱G1和G2是同胚的或G1和G2在2度頂點內是同構的

26、初等收縮/收縮邊uv運算：設uv是簡單圖G的一條邊。去掉該邊，重合其端點，再刪去由此產生的環和重邊。這一過程稱為圖G的初等收縮或收縮邊uv運算，并記所得之圖為G/uv。一個圖G可收縮到H，是指H可從G通過一系列初等收縮而得到

27、基礎簡單圖：給定圖G，去掉G中的環(若有的話)，將G中的重邊(若有的話)用單邊代替，稱這樣所得的圖為G的基礎簡單圖

　　與可平面性的關系：（1）圖G是可平面圖當且僅當其基礎簡單圖是可平面圖（2）圖G是可平面圖當且僅當它的每個塊是可平面圖

28、瓦格納定理（平面圖的判定定理）：簡單圖G是可平面圖當且僅當它不含可收縮到K5或K3,3的子圖（還是必要條件，不是充要條件）

29、臨界圖：若對圖G的任意真子圖H都有χ(H)< χ(G)，則稱G是臨界圖；色數為k的臨界圖稱為k臨界圖

　　相關性質：k色圖均有k臨界子圖；每個臨界圖均為簡單連通圖；若G是k臨界圖，則δ≥k-1；臨界圖沒有割點

30、每個k色圖至少有k個度不小于k-1的頂點

31、唯一可著色圖：設簡單標號圖G的色數是k，如果在任意的k正常點著色方案下，導出的頂點集合劃分唯一，稱G是唯一k可著色圖，簡稱唯一可著色圖

　　相關結論：?

• δ≥k-1；
• 在G的任意一種k著色中，G的任意兩個色組的并導出的子圖是連通的；
• 每個唯一k (k≥2)可著色圖是(k-1)連通的；
• 設G是唯一n(n≥2)可著色圖，π是任意一種n著色方案，則由π的任意k個色組導出的子圖是(k-1)連通的
• 唯一1可著色圖是空圖
• 唯一2可著色圖是連通的偶圖
• 每個唯一4可著色可平面圖都是極大可平面圖

32、團：圖G的一個團是指G的頂點子集S，使得導出子圖G[S]是完全圖。G的k團是指G的含k個點的團；G的最大團的點數稱為G的團數記為cl(G)，即cl(G)=max{|S| | S是G的團}。圖G的色數與團數的關系為

33、完美圖：設G是一個圖，若對G的每個點導出子圖H，均有 χ(H)=cl(H)，則稱G為完美圖。圖G是完美圖當且僅當G的補圖是完美圖

　　相關結論：

• 完全圖、偶圖均為完美圖，而不含三角形但含奇圈的圖不是完美圖
• 偶圖的補圖是完美圖
• 長度至少為5的奇圈及其補圖均不是完美圖

34、理想子圖：設H是圖G的生成子圖。若H的每個分支均為完全圖，則稱H是G的一個理想子圖。用Nr (G)表示G的具有r個分支的理想子圖的個數。設G是具有n個點m條邊的圖，則有(1) Nn(G)=1;?

　　(2) Nn-1(G)=m;(3) 若k<ω(G)，則Nk(G)=0

35、獨立數:一個圖的點獨立集，簡稱獨立集，是指圖中一些互不相鄰的點構成的點子集。圖G中含點數最多的獨立集稱為G的最大獨立集；最大獨立集所含的頂點數稱為G的點獨立數，簡稱獨立數，記為α(G)，簡記為α

36、圖G的最大獨立集中包含的頂點個數與G的最小覆蓋中包含的頂點個數之和等于G的階數

37、覆蓋數：G的一個包含頂點數最少的覆蓋稱為G的最小覆蓋。G的最小覆蓋包含的頂點數，稱為G的點覆蓋數，簡稱覆蓋數，記為β(G)

38、拉姆齊數：設m和n是兩個正整數，令R(m, n)是最小的正整數l使得任意的l階圖要么包含m個頂點的團，要么包含n個頂點的獨立集。R(m, n)稱為(m, n)Ramsey數。R(2, n)=n，R(3, 3)=6，

　　R(m, n)=R(n, m)，R(1, n)=R(n, 1)=1

39、高為h的完全二元樹至少有h+1片樹葉

40、最優樹：設T是一棵有t片樹葉的二元樹，若對T的所有t片樹葉賦以權值(實數) w1, w2,…, wt，則稱T為帶權二元樹；若帶有權wi的樹葉的層數為l(wi)，則稱為T的權，給定實數w1, w2,…, wt，在所有樹葉帶有權w1, w2,…, wt 的二元樹中，W(T)最小的二元樹稱為最優樹。

41、頻序列：設n階圖G 的各點的度取s個不同的非負整數d1, d2,…, ds。又設度為di的點有bi個(∑bi=n)，則稱 (b1, b2,…, bs) 為G的頻序列

　　相關結論：

• 一個n階圖G 和它的補圖有相同的頻序列
• 一個簡單圖G 的n個點的度不能互不相同

42、完全圖Kn相關結論

• 點色數為n
• 邊色數為：n（n為奇數時）；n-1（n為偶數時）
• 點連通度為n-1
• 邊連通度為n-1
• 是臨界圖
• 是唯一可著色圖

43、關聯矩陣：無環圖G的關聯矩陣B(G) = [bij] (簡記為B)是一個n×m 矩陣，當點vi 與邊ej 關聯時 bij =1，否則 bij =0。其性質為：關聯矩陣的每列和為2；其行和為對應頂點的度數。

44、有向圖的鄰接矩陣、關聯矩陣：設D=(V, E)是一個標定有向圖，其中設V={v1, v2,…, vn}，E={e1, e2,…, em}：

　　(1) 稱矩陣A(D)=(ai j)n×n為D的鄰接矩陣，其中ai j是以vi作為始點，vj作為終點的邊的數目，1≤ i ≤n, 1≤ j ≤n

　　(2) 若D無環，稱矩陣M(D)=(mi j)n×m為D的關聯矩陣，其中。由定義可知，鄰接矩陣A(D)的所有元素之和等于邊數。關聯矩陣中列和等于0；一行中1的和等于出度之和，-1的和等于入度之和；其全部元素之和等于0。

45、有向圖相關結論

?

• 有向圖D的任意一個頂點只能處于D的某一個強連通分支中
• 有向圖D中，頂點ｖ可能處于D的不同的單向連通分支中
• 有向連通圖中頂點間的關系是等價關系
• 強連通圖的所有頂點必然處于某一有向閉途徑之中

?

46、假定G*是在圖G中添加一些重復邊得到的歐拉圖，則G*具有最小權值的充要條件是（1）G的每一條邊最多被添加一次（2）對于G*的每個圈來說，新添加的邊的總權值不超過該圈總權值的一半

47、5階度極大非哈密爾頓圖族有

48、設樹T 中度數為i 的頂點的個數為ni (1≤ i ≤k) ，則

49、圖蘭定理： 若G是n階簡單圖，并且不包含Kl+1，則邊數 m(G) ≤ m(Tl, n)。 此外，僅當G ≌ Tl, n時，m(G) = m(Tl, n)。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的电子科技大学《图论及其应用》复习（史上最全汇总）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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