題號

答案

知識點與備注

填空題

1

2^m

生成子圖的定義

2

n=6;m=9

握手定理

3

2+\sum_{i=3}^{k}(i-2)ni

握手定理 + 邊數=點數-1

4

20

最小生成樹算法

5

9

疑似錯題！9/1=9；或者可以理解成最小點覆蓋

選擇題

1

D

圖序列的判定(充要條件)

2

D

度數均為偶數且連通

3

B

必要條件：若是H圖，則w(G-S)<=S 的逆否：

若w(G-S)>S,則不是H圖

4

B

不含K5.K3,3同胚子圖

A包含K5；C包含K3,3; D包含K3,3

5

B

偶圖 當且僅當 不含奇圈

大題

三

11個。

長度為6：1個；

長度為5：2個；

長度為4：5個；

長度為3：2個；

長度為2：1個

四

轉換為簡單圖中沒有兩個度相等的點；

分為無孤立點/1個孤立點/2個孤立點+鴿籠原理討論

五

自補圖定義+n為奇數-->同奇同偶-->奇數頂點個數相同

六

(1)考慮G中除兩個不相鄰頂點外，邊數最多是K(n-2)的邊數，故若設不相鄰度數之和為x，則由握手定理，有：

2m<=(n-2)(n-3)+2x，結合條件即可得到x>=n;

(2)C2,5或者C1,n滿足

七

不能。轉換為匹配問題，由Hall定理，S={孫李周}，N(S)=數理，故不存在飽和老師的匹配，故不能。

八

n-m+Φ=p+1；

2m>=kΦ

聯立即可得證

九

2[k]3+6[k]4+5[k]5+[k]6

過程略，建議理想子圖計數法

十

經?？?。

?(1)、 在u與v間求出一條最短路P; (最短路算法)

(2)、 在最短路P上，給每條邊添加一條平行邊得G的歐拉母圖G*;

(3)、 在G的歐拉母圖G* 中用Fleury算法求出一條歐拉環游。

證明：設u與v是G的兩個奇度頂點,G*是G的任意一個歐拉母圖。

考慮G*[E*-E], 顯然它只有兩個奇數頂點u與v, 當然它們必須在G*[E*-E]的同一個分支中，因此，存在(u, v)路P*.?

所以歐拉環游的總權值>=w(P*)>=w(P)

證畢。

?

(1) 在G中刪掉一點v(任意的)得圖G1;

(2) 在圖G1中求出一棵最小生成樹T;

(3) 在v的關聯邊中選出兩條權值最小者e1與e2.

若H是G的最優圈，則：

W(H)>=W(T)+W(e1)+W(e2)

理由：見課本P88最后一段

設C為最優哈密爾頓圈，

則對任意頂點v，C-v是最優哈密爾頓路，也是G-v中的生成樹

因此，若T是G-v的最小生成樹，同時e和f是和v關聯的兩條邊，并使得w(f)+w(e)盡可能小，則W(T)+W(e)+W(f)將是一個下界。