文章目錄

• 一、理論基礎
• • 1、布谷鳥算法(CS)及其存在的局限性
  • 2、萬有引力加速機理的布谷鳥算法(GASCS)
  • • 2.1 萬有引力算法
    • 2.2 GASCS算法
    • 2.3 GASCS算法實現
• 二、實驗仿真及分析
• 三、參考文獻

一、理論基礎

1、布谷鳥算法(CS)及其存在的局限性

布谷鳥采用一種特殊的寄生宿主巢穴的方式孕育繁殖，它將孵育的蛋置入寄生宿主的巢穴，讓寄生宿主孵化布谷鳥蛋。由于布谷鳥幼雛能發出比寄生宿主幼雛更閃亮的叫聲，因此獲得更多的食物，具有更高的存活率。在某些情形下，寄生宿主發現巢穴內不是宿主幼雛，則會遺棄該巢穴，并重新選擇新的巢穴孵育繁殖。Yang X. S.和Deb等人基于上述孵育寄生機理，提出布谷鳥算法。它遵循以下3個理想規則：
規則1. 每只布谷鳥1次有且僅有孵化1個蛋，并隨機選擇1個寄生宿主巢穴存放。
規則2. 在隨機選擇的1個寄生宿主巢穴中，最優的寄生宿主巢穴將被保留至下一代。
規則3. 可利用的寄生宿主巢穴數量是固定的，1個寄生宿主巢穴的宿主發現寄生布谷鳥蛋的概率為$P_a$。
基于上述3個理想規則，可以得到1個宿主巢穴代表1個候選解。因此，布谷鳥算法的基本算法流程包含 3部分：首先，在當前候選解的基礎上，以Levy飛行隨機游動生成新的候選解，評價并保留較好的候選解；其次，按照發現概率$P_a$舍棄部分候選解；最后，按照偏好隨機游動方式產生新的候選解并替代舍棄的解，保留較好解后進入下一次進化，直至滿足算法的收斂條件。
設布谷鳥算法進化至第$r$代時第$m$個候選解為${\mathbf{X}}_{r,m}$，${\mathbf{X}}_{r,m}=(x_{r,m}^{(1)},x_{r,m}^{(2)},?,x_{r,m}^{(j)},?,x_{r,m}^{(D)}),j\in [1,D]$。采用Levy飛行隨機游動產生新的個體(候選解)${\mathbf{X}}_{r+1,m}$更新律的表達式為$${\mathbf{X}}_{r+1,m}={\mathbf{X}}_{r,m}+({\mathbf{X}}_{r,m}?{\mathbf{X}}_{r,gb})?(\gamma \oplus L(\beta ))\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，${\mathbf{X}}_{r,gb}$為當前搜索到的全局最優解，$L(\beta )$表示Levy飛行隨機游動路徑，${\gamma }_0$表示初始搜索步長，$\oplus$表示點對點乘法，$t$為飛行時間：$$L(\beta )～?=t^{?1?\beta },0<\beta \le 2\text{\hspace{1em}(2)}$$通過數學代換，式(2)等價于：$$L(\beta )～\frac{?}{|v{|}^{1/\beta }}?{?\frac{\Gamma (1+\beta )\sin (\pi ?\beta /2)}{\Gamma \left(\frac{1+\beta }{2}\right)?\beta ?2^{(\beta ?1)/2}}?}^{1/\beta }\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$\Gamma (?)$為伽瑪函數，取$\beta =1.5$；$?,v$為標準高斯分布隨機數。
在偏好隨機游動方式中，按照發現概率$P_a$舍棄部分候選解后，生成相同數量的新解：$${\mathbf{X}}_{r+1,m}={\mathbf{X}}_{r,m}+??({\mathbf{X}}_{r,k}?{\mathbf{X}}_{r,s})\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$?$為算法的控制縮放系數，滿足$?\in U(0,1)$；${\mathbf{X}}_{r,k}$和${\mathbf{X}}_{r,s}$分別為第$r$代時第$k$個和第$s$個隨機候選解。
基本CS算法雖然具有一定的收斂能力，但是存在以下局限性：
（1）采用Levy飛行隨機游動產生新候選解的搜索步長設置困難：如果搜索步長較大，則尋優速度增大，但由于Levy飛行具有無限跳躍特性，使得算法執行過程中極易跳過全局最優解；如果搜索步長較小，雖然能以較大概率獲得全局最優解，但是尋優速度會降低。考慮到Levy飛行具有無限大方差并且其增量服從二階分布，因此，設計合理的搜索步長變得尤為困難。
（2）CS算法采用發現概率$P_a$舍棄偏好隨機游走方式產生新的候選解。這種方法雖然加強了算法的全局搜索性能，但隨機處理會舍棄較好的種群個體，而保留適應度較差的種群個體，進而降低算法搜索速度和收斂精度。
（3）CS算法僅通過兩個隨機個體的位置向量差獲得下次進化的方向，未能充分利用當前宿主巢穴的足夠信息，因此在搜索過程中具有盲目性，不能對種群個體進行局部精細化搜索，導致算法具有較差的局部搜索能力?？v然算法具有一定的全局搜索能力，但是仍然存在全局搜索和局部搜索不平衡的問題。

2、萬有引力加速機理的布谷鳥算法(GASCS)

2.1 萬有引力算法

受萬有引力定律啟發，伊朗學者Esmat Rashedi等人于2009年提出了萬有引力搜索算法(Gravitational search algorithm, GSA)。GSA算法的原理是：物質個體之間由于引力作用相互吸引，并且引力沿質量較大的個體方向移動。物質個體的質量決定其萬有引力的大小，質量越大的個體所受的引力越大。在外有引力的作用下，物質個體位置不斷變化，最終，整個群體都聚集在物質個體質量最大的周圍，即逼近優化問題的全局最優解。
在萬有引力算法中，借鑒理論物理學中質量定義的3種屬性描述函數適應度值，即主動引力質量$M_a$、被動引力質量$M_p$和慣性質量$M_i$。每個物質個體的位置對應優化問題解，其萬有引力和慣性質量$M_i$共同決定相應的函數適應度數值。事實上，GSA算法通過調節$M_a,M_p$和$M_i$來控制算法進化，促使群體中的物質個體聚集在萬有引力最大的物質個體附近，進而搜索到最優解。
GSA算法模型包含物質個體的質量計算、引力計算、加速度計算和速度更新與位置更新。算法首先對解空間內的物質個體位置和速度初始化。設$D$維空間維度中進化至第$r$代時第$m$個物質個體的位置和速度分別為$${\mathbf{X}}_{r,m}=(x_{r,m}^{(1)},x_{r,m}^{(2)},?,x_{r,m}^{(j)},?,x_{r,m}^{(D)}),{\mathbf{V}}_m=(v_{r,m}^{(1)},v_{r,m}^{(2)},?,v_{r,m}^{(j)},?,v_{r,m}^{(D)}),$$其中，$j=1,2,?,D,x_{r,m}^{(j)}$和$v_{r,m}^{(j)}$分別表示第$m$個物質個體在第$j$維的位置分量和速度分量。通過物質個體位置對應的適應度數值，確定物質個體的質量$M_i$和受到的萬有引力。根據牛頓第二定律計算物質個體的加速度，并更新物質個體位置${\mathbf{X}}_{r,m}$和速度${\mathbf{V}}_{r,m}$。GSA算法主要包括以下4個步驟。
（1）物質個體質量計算
物質個體$m$的質量定義為$$q_{r,m}=\frac{f_{r,m}?f_{r,worst}}{f_{r,best}?f_{r,worst}}\text{\hspace{1em}(5)}$$$$M_{r,m}=\frac{q_{r,m}}{\sum _{m=1}^N{q}_{r,m}}\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$f_{r,m}$和$M_{r,m}$分別表示GSA算法第$r$次進化時，物質個體$m$的函數適應度值和相應的質量。假設所求解的為最小化問題，$f_{r,best}$和$f_{r,worst}$分別表示第$r$次進化時物質個體最優的適應度數值和最差適應度數值，其數學表達式如下：$$f_{r,best}=\underset{m\in \{1,2,?,N\}}{\min }{f}_{r,m}\text{\hspace{1em}(7)}$$$$f_{r,worst}=\underset{m\in \{1,2,?,N\}}{\max }{f}_{r,m}\text{\hspace{1em}(8)}$$（2）物質個體萬有引力計算
根據萬有引力定律，在維度$j$上，物質個體$m$對物質個體$k$的萬有引力定義如下：$$F_{r,mk}^{(j)}=G_r?\frac{M_{r,pm}?M_{r,ak}}{R_{r,mk}+\epsilon }?(x_{r,m}^{(j)}?x_{r,k}^{(j)})\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$\epsilon$為一個無窮小的常數；$M_{r,pm}$表示被作用于物質個體$m$第$r$次進化時的慣性質量，$M_{r,ak}$表示為作用于物質個體$m$第$r$次進化時的慣性質量，并且$M_{r,pm}=M_{r,ak}=M_{r,m}$；$R_{r,mk}$為物質個體$m$和物質個體$k$的歐氏空間距離，即$R_{r,mk}=||{\mathbf{X}}_{r,m}?{\mathbf{X}}_{r,k}|{|}_2$；$G_r$表示第$r$次進化時物質個體的萬有引力常數，其表達式如式(10)所示：$$G_r=G(G_0,r)=G_0?e^{?\theta ?r/W}\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$G_0$為進化初始時物質個體的萬有引力系數；$\theta$為算法控制參數，一般取$\theta =20$；$W$為算法進化代數的最大值。
在維度$j$上，物質個體$m$所受的萬有引力合力為$F_{r,m}^{(j)}$：$$F_{r,m}^{(j)}=\sum _{k\in b,k=m}^N{d}_j?F_{r,mk}^{(j)}\text{\hspace{1em}(11)}$$其中，$d_j$為區間$(0,1)$內均勻分布的一個隨機數，$b$為物質個體數目。
（3）物質個體加速度計算
由牛頓第二定律，物質個體$m$在維度$j$上第$r$次進化時的加速度定義如下：$$a_{r,m}^{(j)}=\frac{F_{r,m}^{(j)}}{M_{r,mm}}\text{\hspace{1em}(12)}$$其中，$M_{r,mm}=M_{r,pm}=M_{r,ak}=M_{r,m}$。
（4）物質個體更新速度和位置
算法在每次進化過程中，物質個體按照式(13)和式(14)分別更新速度$v_{r,m}^{(j)}$和位置$x_{r,m}^{(j)}$，其具體的數學表達式分別為：$$v_{r+1,m}^{(j)}=d_j?v_{r,m}^{(j)}+a_{r,m}^{(j)}\text{\hspace{1em}(13)}$$$$x_{r+1,m}^{(j)}=x_{r,m}^{(j)}+v_{r+1,m}^{(j)}\text{\hspace{1em}(14)}$$

2.2 GASCS算法

傳統的CS算法是基于Levy飛行隨機游動方式和偏好隨機游動方式兩種搜索機理，雖然具有一定的收斂性能，但仍然存在第1節所闡述的3點局限性。為此，文獻[1]提出具有萬有引力加速機理的布谷鳥算法。它基于萬有引力搜索無需學習外部環境因素的變化亦能感知全局最優信息的特點，將布谷鳥巢穴賦予不同的個體質量，其在優化過程中不僅遵循Levy飛行規律，而且遵循萬有引力定律。
根據牛頓第二定律，宿主巢穴在進化過程中所受的加速度由巢穴所受的合外力及自身質量共同決定。基于此，將布谷鳥算法的個體更新律(1)和更新律(4)改進為式(15)和式(16)：$${\mathbf{X}}_{r+1,m}={\mathbf{a}}_r?({\gamma }_0\oplus L(\beta ))?({\mathbf{a}}_r?{\mathbf{X}}_{r,gb})\text{\hspace{1em}(15)}$$$${\mathbf{X}}_{r+1,m}={\mathbf{X}}_{r,gb}+p?({\mathbf{X}}_{r,k}?{\mathbf{X}}_{r,s}?{\mathbf{a}}_r)\text{\hspace{1em}(16)}$$其中，式(15)和式(16)分別表示Levy飛行隨機游動和偏好隨機游動方式的個體位置，$p\in (0,+\infty )$，${\mathbf{a}}_r$為${\mathbf{F}}_{r,t}$產生的合加速度。
針對第3點局限性中存在全局搜索和局部搜索不平衡的問題，GASCS算法提出一種概率變異方法增大種群進化的多樣性，避免算法陷入局部搜索以及算法執行后期出現的遲滯現象。
假設${\mathbf{X}}_{r,m}=(x_{r,m}^{(1)},x_{r,m}^{(2)},?,x_{r,m}^{(j)},?,x_{r,m}^{(D)})$，并且$x_{r,m}^{(j)}\in [l^{(j)},u^{(j)}]$。執行概率變異操作時，首先從${\mathbf{X}}_{r,m}$中以概率$1/D$選取種群個體$x_{r,m}^{(j)},j\in [1,D]$；其次，利用式(17)的${\tilde{x}}_{r,m}^{(j)}$取代$x_{r,m}^{(j)}$，其中，$k$為$[1,D]$內的隨機整數，$\xi$為$(0,1)$內的均勻分布隨機數，$l^{(j)}$和$u^{(j)}$分別為$x_{r,m}^{(j)}$的上界和下界；最后，通過概率變異將候選解${\mathbf{X}}_{r,m}$更替為${\tilde{\mathbf{X}}}_{r,m}$，并進入算法執行過程，其中，${\tilde{\mathbf{X}}}_{r,m}=({\tilde{x}}_{r,m}^{(1)},{\tilde{x}}_{r,m}^{(2)},?,{\tilde{x}}_{r,m}^{(j)},?,{\tilde{x}}_{r,m}^{(D)})$。經過概率變異后的種群進化獲得更大的多樣性，避免算法尋優過程單一化而造成的全局搜索效率較低的問題。通過兩個隨機個體的位置向量差、當前搜索到的最優解及群體中宿主巢穴所受到的萬有引力加速度，獲得下一次進化的方向，充分利用宿主巢穴及群體內部進化過程出現的有效信息：$${\tilde{x}}_{r,m}^{(j)}=?\begin{array}{l}(u^{(j)}+l^{(j)})/2+(1?2?\xi )?(u^{(j)}?l^{(j)})/2,j=k\\ x_{r,m}^{(j)},j=k\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$GASCS算法在進化過程中不僅利用了Levy飛行隨機游動方式的無限跳躍特性易于跳出局部最優解的特點，而且采用概率變異增大算法的多樣性，確保算法能夠跳離局部最優解。因此，GASCS算法較好地解決了CS算法存在全局搜索和局部搜索不平衡的問題。

2.3 GASCS算法實現

基于CS算法存在的3點局限性，文獻[1]提出了具有萬有引力加速機理的GASCS算法。該算法通過當前搜索到的最優解、Levy飛行隨機游動和偏好隨機游動方式產生的個體更新位置及宿主巢穴所受到的萬有引力加速度共同作用，獲得下一次進化的方向及最佳巢穴位置，并采用概率變異方法，引導宿主巢穴沿全局最優解方向移動，進而搜索到全局最優解。
GASCS算法的執行步驟如下所示。
步驟1. 算法初始化，種群為$N$個宿主巢穴，優化問題的空間維度$D$，最大進化代數$W$，發現概率 $P_a$，初始時刻萬有引力系數$G_0$，算法控制參數$\theta$，宿主巢穴的初始移動速度${\mathbf{V}}_{r,m}$，其中，進化代數$r=1$。
步驟2. 計算隨機化宿主巢穴位置${\mathbf{X}}_{r,m}(m=1,2,?,N)$對應的適應度函數值$f({\mathbf{X}}_{r,m})$。
步驟3. 由式(10)計算$G_r$，同時，由式(7)和式(8)計算當前最優值$f_{r,best}$和最差值$f_{r,worst}$，以及對應的最優解${\mathbf{X}}_{r,gb}$。
步驟4. 根據式(5)和式(6)計算宿主巢穴的質量$q_{r,m},M_{r,m}$。
步驟5. 分別根據式(11)和式(12)計算當前進化代數的宿主巢穴所受到的萬有引力合力$F_{r,m}^{(j)}$和加速度$a_{r,m}^{(j)}$。
步驟6. 采用式(15)的Levy飛行隨機游動方式產生新的宿主巢穴，按照發現概率$P_a$舍棄候選解${\mathbf{X}}_{r+1,m}$。
步驟7. 采用式(16)的偏好隨機游動方式產生新的宿主巢穴，替換步驟6中被舍棄的候選解。
步驟8. 采用概率變異方法產生候選解${\tilde{\mathbf{X}}}_{r+1,m}$對應的函數適應度值$f({\tilde{\mathbf{X}}}_{r+1,m})$。
步驟9. 計算步驟8中種群產生的候選解對應的函數適應度值$f({\tilde{\mathbf{X}}}_{r+1,m})$，同時更新當前最優值$f_{r+1,best}$和最差值$f_{r+1,worst}$以及對應的最優解${\mathbf{X}}_{r+1,gb}$。
步驟10. 若滿足算法終止條件，則輸出當前進化的最優值及最優解，并停止算法；否則，轉向步驟3繼續執行算法。

二、實驗仿真及分析

將GASCS與GSA、CS、PSO和ABC進行對比，以常用23個測試函數中的F1、F5(單峰函數/30維)、F10、F13(多峰函數/30維)、F14、F16(固定維度多峰函數/2維、2維)為例，實驗設置種群規模為20，最大迭代次數為400，每種算法獨立運算30次，結果顯示如下：

• 函數適應度值的收斂曲線對比及收斂結果

函數：F1 GSA：最優值: 0.23077, 最差值: 588.5136, 平均值: 81.2518, 標準差: 122.5703 CS：最優值: 15.7073, 最差值: 128.0775, 平均值: 57.6246, 標準差: 23.681 PSO：最優值: 162.3483, 最差值: 940.4387, 平均值: 456.4764, 標準差: 184.8215 ABC：最優值: 0.067679, 最差值: 1184.4898, 平均值: 159.9748, 標準差: 274.4239 GASCS：最優值: 1.5303e-149, 最差值: 1.4195e-125, 平均值: 4.9421e-127, 標準差: 2.5901e-126 函數：F5 GSA：最優值: 29.3923, 最差值: 1088.5277, 平均值: 197.5399, 標準差: 183.1622 CS：最優值: 968.9382, 最差值: 107929.0128, 平均值: 8600.9133, 標準差: 19473.3501 PSO：最優值: 4539.3427, 最差值: 135094.6679, 平均值: 35655.2356, 標準差: 28678.7236 ABC：最優值: 12.9133, 最差值: 11851.841, 平均值: 1325.5531, 標準差: 2925.8172 GASCS：最優值: 27.7906, 最差值: 28.8253, 平均值: 28.6015, 標準差: 0.18926 函數：F9 GSA：最優值: 36.8135, 最差值: 123.5968, 平均值: 76.1909, 標準差: 22.7362 CS：最優值: 71.9859, 最差值: 136.2665, 平均值: 107.9521, 標準差: 15.6606 PSO：最優值: 66.685, 最差值: 165.3538, 平均值: 101.6716, 標準差: 23.317 ABC：最優值: 278.7571, 最差值: 340.2926, 平均值: 317.6587, 標準差: 15.2433 GASCS：最優值: 0, 最差值: 0, 平均值: 0, 標準差: 0 函數：F13 GSA：最優值: 9.6037, 最差值: 41.6958, 平均值: 27.8702, 標準差: 9.3281 CS：最優值: 10.2221, 最差值: 390.2833, 平均值: 55.3644, 標準差: 71.777 PSO：最優值: 35.7413, 最差值: 30597.4275, 平均值: 5411.6015, 標準差: 9015.082 ABC：最優值: 0.039083, 最差值: 34.6121, 平均值: 6.3655, 標準差: 7.976 GASCS：最優值: 0.26526, 最差值: 1.2775, 平均值: 0.65661, 標準差: 0.28374 函數：F14 GSA：最優值: 0.998, 最差值: 13.0697, 平均值: 5.2528, 標準差: 3.6007 CS：最優值: 0.998, 最差值: 0.998, 平均值: 0.998, 標準差: 1.2555e-12 PSO：最優值: 0.998, 最差值: 13.6186, 平均值: 4.7318, 標準差: 3.3877 ABC：最優值: 0.998, 最差值: 0.998, 平均值: 0.998, 標準差: 2.0623e-15 GASCS：最優值: 0.998, 最差值: 0.998, 平均值: 0.998, 標準差: 1.2333e-12 函數：F16 GSA：最優值: -1.0316, 最差值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 標準差: 4.7012e-16 CS：最優值: -1.0316, 最差值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 標準差: 1.5863e-15 PSO：最優值: -1.0316, 最差值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 標準差: 6.4539e-16 ABC：最優值: -1.0316, 最差值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 標準差: 1.0006e-05 GASCS：最優值: -1.0316, 最差值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 標準差: 1.6951e-10

• 獨立運行30次的函數最優適應度值比較特性圖

實驗結果表明：提出的GASCS算法與其他算法相比具有更優秀的全局尋優性能、更好的魯棒性、更快的搜索速度和更高的收斂精度。

三、參考文獻

[1] 傅文淵. 具有萬有引力加速機理的布谷鳥搜索算法[J]. 軟件學報, 2021, 32(5): 1480-1494.
[2] Yang X S, Deb S. Engineering Optimisation by Cuckoo Search[J]. International Journal of Mathematical Modelling & Numerical Optimisation, 2010, 1(4): 330-343.
[3] Esmat Rashedi, Hossein Nezamabadi-pour, Saeid Saryazdi. GSA: A Gravitational Search Algorithm[J]. Information Sciences, 2009, 179(13): 2232-2248.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的具有万有引力加速机理的布谷鸟搜索算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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