承接上一篇(控制教程 —— 介紹篇：2.系統(tǒng)分析)
介紹完系統(tǒng)建模和基本的系統(tǒng)分析后，我們已經(jīng)了解了被控對(duì)象的特性，這時(shí)，就需要用一個(gè)合理的控制器，讓這個(gè)被控對(duì)象在該控制器下按照指定的給定來執(zhí)行，最為廣泛使用的那就是PID控制器了。
在本教程中，我們將介紹一個(gè)簡(jiǎn)單而通用的反饋補(bǔ)償結(jié)構(gòu)，比例積分微分(PID)控制器，PID控制器之所以被廣泛采用，是因?yàn)樗浅Ｈ菀桌斫獠⑶曳浅Ｓ行?#xff0c;工程師不需要太理解控制論，只需要理解積分和微分就可以實(shí)施控制系統(tǒng)。此外，即使微分積分很簡(jiǎn)單，它也很復(fù)雜，因?yàn)樗梢园讼到y(tǒng)的歷史(積分)，并可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來行為(微分)。我們將討論每個(gè)PID參數(shù)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，并將演示如何使用PID控制器來改善系統(tǒng)性能。
本教程中使用的主要MATLAB命令是：

文章目錄

• • PID概述
  • P I D 的特征
  • 例子
  • 設(shè)計(jì)PID控制器的一般流程
  • 自動(dòng)PID參數(shù)整定

PID概述

在本教程中，我們將考慮以下統(tǒng)一的反饋系統(tǒng)：

PID控制器的輸出等于被控對(duì)象的輸入，它在時(shí)域中根據(jù)反饋誤差計(jì)算如下：
$$u(t)=K_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de}{dt}$$首先，讓我們使用上面顯示的示意圖了解PID控制器在閉環(huán)系統(tǒng)中的工作方式，變量 $e$ 表示跟蹤誤差，即期望輸出 $r$ 與實(shí)際輸出 $y$ 之差。該誤差信號(hào)($e$)被送PID控制器，并且控制器計(jì)算該誤差信號(hào)相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和積分，發(fā)送到被控對(duì)象的控制信號(hào) $u$ 等于比例增益 $K_p$ 乘以誤差幅度加積分增益 $K_i$ 乘以誤差積分加微分增益 $K_d$ 乘以誤差導(dǎo)數(shù)。
該控制信號(hào)($u$)被送到被控對(duì)象，并獲得新的輸出($y$)，然后，將新的輸出($y$)反饋并與參考進(jìn)行比較計(jì)算新的誤差信號(hào)($e$)，控制器獲取這個(gè)新的誤差信號(hào)，并計(jì)算新的控制信號(hào)。
通過對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，可以找到PID控制器的傳遞函數(shù)。
$$K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s=\frac{K_d{s}^2+K_{p}s+K_i}{s}$$其中， $K_p$ 是比例增益， $K_i$ 是積分增益，$K_d$ 是微分增益.
我們可以使用傳遞函數(shù)直接在MATLAB中定義PID控制器，例如：

Kp = 1; Ki = 1; Kd = 1;s = tf('s'); C = Kp + Ki/s + Kd*s

或者，我們可以使用MATLAB的pid對(duì)象生成等效的連續(xù)時(shí)間控制器，如下表示：

C = pid(Kp,Ki,Kd)

讓我們將pid對(duì)象轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，可以看到產(chǎn)生的結(jié)果與上述相同：

tf(C)

P I D 的特征

增加比例增益($K_p$)具有在相同誤差水平下按比例增加控制信號(hào)的效果，對(duì)于給定的誤差級(jí)別，控制器將更"有力"，會(huì)使閉環(huán)系統(tǒng)做出更快的反應(yīng)，但也會(huì)導(dǎo)致超調(diào)，增加$K_p$的另一個(gè)效果是它將穩(wěn)態(tài)誤差趨于減少，但不能消除誤差。
在控制器中添加一個(gè)微分項(xiàng)($K_d$)，可以增加控制器對(duì)“未來”誤差的判斷能力，對(duì)于簡(jiǎn)單的比例控制，如果 $K_q$ 是固定的，要想增大控制輸出，則必須增大誤差，而利用微分項(xiàng)，即使誤差的幅值很小，但如果誤差的斜率是增大的，那么控制輸出也會(huì)增大，這種方式往往會(huì)增加系統(tǒng)阻尼，從而減少超調(diào)。但是，增加導(dǎo)數(shù)項(xiàng)并不會(huì)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響。
在控制器中添加一個(gè)積分項(xiàng)($K_i$)，有助于降低穩(wěn)態(tài)誤差，如果存在持續(xù)的，穩(wěn)定的誤差，則積分器會(huì)不斷累積，從而增加控制輸出來降低誤差。但是，積分項(xiàng)的一個(gè)缺點(diǎn)是，但誤差的正負(fù)發(fā)生改變時(shí)，積分器可能需要一段時(shí)間才能“改變符號(hào)”，這會(huì)使系統(tǒng)更加緩慢和振蕩。
下表總結(jié)了每個(gè)控制器參數(shù)( $K_p$，$K_d$，$K_i$)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的一般影響。請(qǐng)注意，這些準(zhǔn)則在許多情況下適用，但并非全部適用。如果你想知道調(diào)整各個(gè)增益的效果，則必須進(jìn)行更多分析，或者必須在實(shí)際系統(tǒng)上進(jìn)行測(cè)試。

參數(shù)上升時(shí)間超調(diào)穩(wěn)定時(shí)間誤差

$K_p$	減小	增大	變化小	減小
$K_d$	減小	增大	增大	減小
$K_i$	變化小	減小	減小	減小

例子

假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)量塊彈簧阻尼器系統(tǒng)，這個(gè)在前面建模部分有介紹過。

該系統(tǒng)的控制方程為：
$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F$$對(duì)控制方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到：
$$m{s}^{2}X(s)+bsX(s)+kX(s)=F(s)$$輸入力 $F(s)$ 和輸出位移 $X(s)$ 之間的傳遞函數(shù)變?yōu)?#xff1a;
$$\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{m{s}^2+bs+k}$$給定：
m = 1 kg
b = 10 N s/m
k = 20 N/m
F = 1 N
將這些值代入上述傳遞函數(shù)
$$\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{s^2+10s+20}$$此問題的目的是展示 $K_p$，$K_d$，$K_i$的調(diào)整來滿足一下目標(biāo)：

• 快速的上升時(shí)間
• 最小過沖
• 零穩(wěn)態(tài)誤差
  開環(huán)階躍響應(yīng)
  讓我們首先查看開環(huán)階躍響應(yīng)：

s = tf('s'); P = 1/(s^2 + 10*s + 20); step(P)

被控對(duì)象的傳遞函數(shù)的直流增益為1/20，因此0.05是單位階躍輸入的最終值，這相當(dāng)于95%的穩(wěn)態(tài)誤差，這是非常大的。此外，上升時(shí)間約為1s，穩(wěn)定時(shí)間約為1.5s，讓我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)控制器，該控制器將減少上升時(shí)間，減少穩(wěn)定時(shí)間并消除穩(wěn)態(tài)誤差。

比例控制
從上表中可以看出，比例控制器($K_p$)減少了上升時(shí)間，增加了超調(diào)，但減少了穩(wěn)態(tài)誤差。
以下是帶有比例控制器的單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，其中 $X(s)$ 是我們的輸出(等于 $Y(s)$)，而我們的參考 $R(s)$ 是輸入：
$$T(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{K_p}{s^2+10s+(20+K_p)}$$讓比例增益($K_p$)等于300。

Kp = 300; C = pid(Kp) T = feedback(C*P,1)t = 0:0.01:2; step(T,t)

上圖顯示比例控制器減少了上升時(shí)間，穩(wěn)定時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差，但增加了過沖。
比例微分控制
現(xiàn)在，讓我們看一下PD控制，從上表中可以看出，添加微分控制($K_d$)可以減少過沖和穩(wěn)定時(shí)間，具有PD控制器的給定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：
$$T(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{K_{d}s+K_p}{s^2+(10+K_d)s+(20+K_p)}$$令 $K_p$ 等于300，并讓 $K_d$ 等于10

Kp = 300; Kd = 10; C = pid(Kp,0,Kd) T = feedback(C*P,1)t = 0:0.01:2; step(T,t)

該圖表明，微分項(xiàng)的增加減少了超調(diào)和穩(wěn)定時(shí)間，并且對(duì)上升時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差的影響可忽略不計(jì)。
比例積分控制
在進(jìn)行PID控制之前，讓我們研究一下PI控制，從表中可以看出，積分控制($K_i$)的增加有減少上升時(shí)間，增加超調(diào)和穩(wěn)定時(shí)間，減小穩(wěn)態(tài)誤差的趨勢(shì)。對(duì)于給定的系統(tǒng)，帶有PI控制器的閉環(huán)傳遞函數(shù)：
$$T(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{K_{p}s+K_i}{s^3+10s^2+(20+K_p)s+K_i}$$讓我們將 $K_p$ 減少到30，并使 $K_i$ 等于70

Kp = 30; Ki = 70; C = pid(Kp,Ki) T = feedback(C*P,1)t = 0:0.01:2; step(T,t)

在MATLAB命令窗口中運(yùn)行，即可生成上面的圖，我們減小了比例增益($K_p$)，因?yàn)榉e分控制器也像比例控制器那樣減少上升時(shí)間和增加超調(diào)(雙重作用)，上面的響應(yīng)表明，在這種情況下，積分控制器消除了穩(wěn)態(tài)誤差。

比例積分微分控制
現(xiàn)在，讓我們研究一下PID控制，具有PID控制器的給定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：
$$T(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{K_d{s}^2+K_{p}s+K_i}{s^3+(10+K_d)s^2+(20+K_p)s+K_i}$$經(jīng)過多次調(diào)整，比例增益$K_p$ = 350，$K_i$ = 300 和 $K_d$ = 50

Kp = 350; Ki = 300; Kd = 50; C = pid(Kp,Ki,Kd) T = feedback(C*P,1);t = 0:0.01:2; step(T,t)

現(xiàn)在，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種閉環(huán)系統(tǒng)，該系統(tǒng)沒有超調(diào)，上升時(shí)間快且沒有穩(wěn)態(tài)誤差

設(shè)計(jì)PID控制器的一般流程

在為給定系統(tǒng)設(shè)計(jì)PID控制器時(shí)，請(qǐng)遵循以下所示的步驟來獲得所需的響應(yīng)

獲得開環(huán)響應(yīng)并確定需要改進(jìn)的內(nèi)容

添加比例環(huán)節(jié)來改善上升時(shí)間

添加微分環(huán)節(jié)來減少超調(diào)

添加積分環(huán)節(jié)來減少穩(wěn)態(tài)誤差

調(diào)整$K_p$，$K_i$，$K_d$ ，直到獲得所需的效果。

最后，請(qǐng)記住，你可以不用再系統(tǒng)中都使用三個(gè)控制環(huán)節(jié)，例如，如果PI控制器可以滿足所定的要求(如上述示例)，則無需在系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)PID控制器，保持控制器盡可能的簡(jiǎn)單。
在以下鏈接上可以找到在實(shí)際物理系統(tǒng)上調(diào)整PI控制器的示例，該示例還說明實(shí)現(xiàn)控制的一些挑戰(zhàn)：控制飽和，積分器飽和以及噪聲放大。

自動(dòng)PID參數(shù)整定

MATLAB提供了用于自動(dòng)選擇最佳PID增益的工具，從而無需進(jìn)行上述反復(fù)試驗(yàn)。您可以直接使用pidtuner訪問調(diào)優(yōu)算法，也可以使用pidTuner通過美觀的圖形用戶界面(GUI)訪問調(diào)優(yōu)算法
MATLAB自動(dòng)整定算法選擇PID增益來平衡性能(響應(yīng)時(shí)間，帶寬)和魯棒性(穩(wěn)定性裕度)。默認(rèn)情況下，該算法設(shè)計(jì)為60度的相位裕度。
讓我們探索這個(gè)自動(dòng)化工具，方法是首先輸入一下所示命令為質(zhì)量塊彈簧阻尼器系統(tǒng)生成比例控制器，在所示的語法中，P是之前生成的模型，"p"指控制器采用比例控制器。

pidTuner(P,'p')

將會(huì)顯示pidTuner GUI窗口，如下所示：

注意，所示的階躍響應(yīng)比我們手動(dòng)設(shè)計(jì)的比例控制器要慢，現(xiàn)在，單擊右上方的Show Parameters按鈕，正如預(yù)期的那樣，比例增益$K_p$ 小于我們采用的比例增益 $K_p$ = 94.86 < 300.

現(xiàn)在，我們可以調(diào)整控制器參數(shù)，并立即在GUI窗口中看到生成的響應(yīng)。嘗試將”Response Time slider“滑塊向右拖動(dòng)到0.14s，如下所示，這確實(shí)會(huì)加快響應(yīng)，并且我們可以看到$K_p$現(xiàn)在更接近于手動(dòng)選擇的值。我們還可以看到系統(tǒng)的其他性能和魯棒性參數(shù)，請(qǐng)注意，在調(diào)整滑塊之前，目標(biāo)相位裕度為60度，這是pidTuner的默認(rèn)設(shè)置，通常可以再魯棒性和性能之間取得良好的平衡。

現(xiàn)在，讓我們嘗試為我們的系統(tǒng)設(shè)計(jì)PID控制器，通過將先前設(shè)計(jì)的控制器指定第二個(gè)參數(shù)”C“，pidTuner將設(shè)計(jì)另一個(gè)PID控制器(而不是P或PI)，并將系統(tǒng)與自動(dòng)控制器的響應(yīng)與參考的響應(yīng)進(jìn)行比較

pidTuner(P,C)

我們?cè)谳敵龃翱谥锌吹?#xff0c;自動(dòng)控制器的響應(yīng)較慢，并且比參考表現(xiàn)出更多的超調(diào)，現(xiàn)在，從工具欄中選擇"Domain:Frequency"選項(xiàng)，該選項(xiàng)顯示了頻域調(diào)整參數(shù)。

現(xiàn)在輸入32rad/s(帶寬)和90deg(相位裕量)，以生成性能與參考相似的控制器，請(qǐng)記住，較高的閉環(huán)帶寬會(huì)導(dǎo)致更快的上升時(shí)間，而較大的相位裕量會(huì)減小超調(diào)并提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

最后，我們注意到我們可以使用命令行工具pidtune代替使用pidTuner的GUI

opts = pidtuneOptions('CrossoverFrequency',32,'PhaseMargin',90); [C, info] = pidtune(P, 'pid', opts)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的控制教程 —— 介绍篇：3.PID控制器设计的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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