http://www.icourses.cn 南開大學《抽象代數(shù)》

$\text{第一章?群}$

$\text{§}1.1運算及關系$

抽象代數(shù)的研究對象是代數(shù)體系，即帶有運算的集合，例如群、環(huán)、域。本書假定讀者已經(jīng)了解集合與映射的基本知識，下面僅介紹一下映射的嵌入與開拓、映射的交換圖以及直積集合的概念。
$定義1.1.1設A_0是集合A的非空子集，定義A_0到A的映射i如下$
$i(x)=x,?x\in A_0$
$則i稱為A_0到A的嵌入映射。$

$定義1.1.2設A_0是集合A的非空子集，f是A_0到集合B的映射，若有A到B的映射g,使$
$g(x)=f(x),?x\in A_0.$
$則稱g為f的開拓映射,稱f為g在A_0上的限制映射,并記$
$f=g{|}_{A_0}.$
直觀上，開拓映射是把一個映射的定義域擴大；限制映射是把一個映射的定義域縮小。從這個意義上說，嵌入映射是把一個恒等映射值域所在的集合擴大。嵌入映射一定是單射，不一定是滿射。開拓映射既不一定是單射，也不一定是滿射。
$定義1.1.3一個映射如果能表成某幾個映射的連續(xù)作用(也稱映射的乘積)的結果，$
$又能表成另幾個映射的連續(xù)作用的結果，例如有f_3{f}_2{f}_1=g_2{g}_1,就可有下邊的示意圖:$

$則稱上圖為映射的交換圖.$
$例1設f是A_0到B的映射，A_0是A的子集，i是A_0到A的嵌入映射，g是A到B的映射，$
$且g是f的開拓映射，則下面的圖是交換圖:即有g?i=f。$

$定義1.1.4設A，B是兩個集合，則稱$
$A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$
$為A與B的直積集合$
$類似的，可以定義有限多個(k個)集合的直積集合:$
$A_1\times ?\times A_k=\{(a_1,?,a_k)|a_i\in A_i,i=1,?,k\}$
我們要研究的是帶有運算的集合，對于數(shù)集中的運算，例如加法和乘法運算，我們是熟悉的。他們的本質(zhì)都在于，由數(shù)集中的一個元素，可以按照某種法則唯一地確定數(shù)集中的一個元素。在線性代數(shù)中我們又學習到線性空間中的“數(shù)乘”運算，其本質(zhì)在于，由數(shù)集中的一個元素和向量集中的一個元素，按照某種法則，可以唯一地確定向量中的一個元素。
現(xiàn)在我們把上述本質(zhì)抽象出來，利用集合、直積集合和映射的概念，來定義“代數(shù)運算”這一概念。
$定義1.1.5設A，B，D均是非空集合，則A\times B到D的任一映射f，稱為A與B到D的一個代數(shù)運算。$
$這就是說，若由a\in A,b\in B,則(a,b)\in A\times B，f((a,b))=d\in D，即a與b唯一地確定d，我們就說a與b運算的結果是d。$
$為簡單，常記f((a,b))為a°b,于是上面的運算就寫成a°b=d。為了區(qū)別不同的運算法則，我們有時也把代數(shù)運算的符號“°”改記為“+”或“\times ”，于是就有了$
$3+5=8和3\times 5=15$
$的寫法，也有了“加法”、“乘法”以及“數(shù)乘”等關于運算的叫法。在乘法或數(shù)乘等運算$
$中，我們常常把符號“°”省去，記a°b為ab。$
$例2設V是n維歐氏空間，\mathbb{R}是實數(shù)集，則求V中兩個向量\alpha ,\beta 的內(nèi)積，就是V與V到$
$\mathbb{R}的一個代數(shù)運算。$
$例3設A=\{1,2\},B=\{1,2\},D=\{奇,偶\}，f是一個A\times B到D的映射如下:$
$(1,1)\to 奇，(2,2)\to 奇$
$(1,2)\to 奇，(2,1)\to 偶$
$它也是一個A與B到D的代數(shù)運算。$
$當A、B都是有限集合的時候，A與B到D的代數(shù)運算，我們常用一個表來說明，$
$叫做“運算表”。$
$例3的運算表為\begin{array}{lcc}°& 1& 2\\ 1& 奇& 奇\\ 2& 偶& 奇\end{array}$
$(這里，豎行中的“1,2”，指A中的元素；橫行中的“1,2”，指B中的元素)$
通常較多用到的代數(shù)運算，是A=B=D時的情形，即A與A到A的代數(shù)運算，也稱為A中的“ $二元運算$ ” 或 “$運算$”。此時也說“$集合A，對于該運算是封閉的$”。一個集合中，可以有一種運算，也可以有多種運算。我們感興趣的運算，常常是滿足某種規(guī)律的運算，例如針對一種運算而言的結合律和交換律，針對兩種運算而言的分配律。他們都是數(shù)集中相應運算規(guī)律的推廣。
$定義1.1.6設集合A中有一種二元運算“°”，如果$
$(a°b)°c=a°(b°c),?a,b,c\in A,$
$則稱該運算滿足結合律。$
$定義1.1.7設集合A有一種二元運算“°”，如果$
$a°b=b°a,?a,b\in A$
$則稱該運算滿足交換律。$
$定義1.1.8設集合A中有兩種代數(shù)運算“°”和“+”，如果$
$a°(b+c)=a°b+a°c,?a,b,c\in A,$
$則稱該運算滿足“°對+的左分配律”，簡稱滿足左分配律。$
$類似可定義右分配律，左右統(tǒng)稱為分配律。$
$例4設\mathbb{Z}是全體整數(shù)的集合，\mathbb{Z}中的二元運算是數(shù)的減法,則該運算既不滿足結合律,$
$也不滿足交換律。$
$例5設{\mathbb{C}}^{n\times n}是復數(shù)域上全體n(n\ge 2)階方陣的集合，{\mathbb{C}}^{n\times n}中有兩種運算，$
$一種是矩陣的加法，一種是矩陣的乘法。加法運算即滿足結合律，又滿足$
$交換律；乘法運算滿足結合律，不滿足交換律；乘法對加法滿足分配律，$
$加法對乘法不滿足分配律。$
$結合律的一個重要作用是使表達式a_1°a_2°?°a_n有意義，因為這時無論怎么$
$樣加括號，運算的結果都是一樣的，這給我們帶來了方便，抽象代數(shù)中研究的$
$運算都滿足結合律。$
$交換律的一個重要作用是使等式(ab{)}^n=a^n{b}^n成立。抽象代數(shù)中研究的運算有的$
$滿足交換律，有的不滿足交換律。$
$分配律的一個重要作用是使一個集合中的兩種元素之間產(chǎn)生一種聯(lián)系。$
抽象代數(shù)在研究集合時，有時要把集合分成一些子集來討論。這時就要用到集合的分類，而集合的分類又和“等價關系”密切相關。為了講清楚“等價關系”，我們先來介紹“關系”的概念。
我們知道實數(shù)集合“大于”、“小于”、“等于”這些關系，也知道n階復方陣集合中“相等”、“相似”這些關系。下面我們把他們的本質(zhì)抽象出來。
如果有一種性質(zhì)R,使集合A中任意兩個元素a,b,或者有性質(zhì)R，或者沒有性質(zhì)R，二者必居其一，我們就說“$R給定了A中的一個關系$”。當a,b有性質(zhì)R時，稱a與b有關系，記為$aRb$;當a,b沒有性質(zhì)R時，稱a與b沒有關系，記為$aRb$。
有性質(zhì)R的a,b如果記為(a, b)，就是直積集合 $A\times A$ 中的一個元素，全體這樣的(a, b),就構成了 $A\times A$的一個子集，不妨把這個子集仍記為R，于是
$aRb?(a,b)\in R.$
這樣，我們就可以用$A\times A$的一個子集，來刻畫$A$中的一個關系。
$定義1.1.9設A是一個非空集合，R是A\times A的一個子集，a,b\in A,若(a,b)\in R,$
$則稱a與b有關系R,記為aRb,且稱R為A的一個關系(二元關系)。在不致引起混淆$
$時，aRb也可記為a～b。$
$例6實數(shù)集\mathbb{R}中的“\le ”關系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_1來刻畫；實數(shù)集\mathbb{R}中的“=”關系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_2來刻畫。$

實數(shù)集中的“=”關系，可以總結推廣為一般集合中的等價關系。
$定義1.1.10若集合A的一個關系R滿足$
$①反身性：aRa,?a\in A;$
$②對稱性：aRb?bRa,?a,b\in A;$
$③傳遞性：aRb,bRc?aRc,?a,b,c\in A.$
$則稱關系R為A的一個等價關系。$
$例7實數(shù)集中的“\le "關系不是等價關系，因為不滿足對稱性。$
$例8n階復方陣集合中的“相合”是等價關系，“相似”也是等價關系。$
$可見，同一集合中可以有多種不同的等價關系。$
$定義1.1.11若將集合A分成一些非空子集，每個子集稱為A的一個類，$
$使得A的每一個元素屬于且僅屬于一個類，則稱這些類的全體為集合A$
$的一個分類，也稱為A的一個劃分。$
$定理1.1.1集合A的一個分類決定A的一個等價關系。$
$證我們利用A的分類來定義A的一個關系R，然后證明R是等價關系。$
$定義:當且僅當a與b同在一類時，aRb。據(jù)定義知這樣的R是A的一個關系，$
$又因為a\in A,a與a同在一類,所以R滿足反身性；$
$a,b\in A,若aRb,表明a與b同在一類，則b與a也同在一類，所以bRa,即R滿足對稱性;$
$a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a與b同在一類，b與c同在一類，則a與c同在一類,所以aRc，$
$即R滿足傳遞性。$
$據(jù)定義1.1.10，R是A的一個等價關系。$
在給出下一個定理之前，我們先給出由等價關系派生出來的三個概念:等價類，商集合和自然映射。
$定理1.1.1集合A的一個分類決定A的一個等價關系。$
$證我們利用A的分類來定義A的一個關系R，然后證明R是等價關系。$
$定義:當且僅當a與b同在一類時，aRb。據(jù)定義知這樣的R是A的一個關系，$
$又因為a\in A,a與a同在一類,所以R滿足反身性；$
$a,b\in A,若aRb,表明a與b同在一類，則b與a也同在一類，所以bRa,即R滿足對稱性;$
$a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a與b同在一類，b與c同在一類，則a與c同在一類,所以aRc，$
$即R滿足傳遞性。$
$據(jù)定義1.1.10，R是A的一個等價關系。$
在給出下一個定理之前，我們先給出由等價關系派生出來的三個概念:等價類，商集合和自然映射。
$定義1.1.12設集合A中有等價關系R,a\in A,則A中與a有關系(也稱與a等價)的所有元素的集合\{b\in A|bRa\},稱為a所在的等價類,記為\bar{a},a稱為這個等價類的代表元。$
$從以上定義及等價類的傳遞性易知，若aRb,則\bar{a}=\bar{b},即等價的兩個元素所在的等價類是同一個，因此，同一個等價類可以有不同的$
$代表元。這使我們在討論有關等價類的問題時，經(jīng)常要注意說明，所討論的內(nèi)容$
$雖然形式上與等價類的代表元有關，實質(zhì)上卻與之無關。$
$定義1.1.13設集合A中有等價關系R，則以R為前提的所有等價類$
$(重復的只取一個)的集合\{\bar{a}\},稱為A對R的商集合,記為A/R。$
$我們注意到，等價類\bar{a}是A的子集合，卻是A/R的元素。$
$一個集合通過等價關系，在新的層次上產(chǎn)生出與原集合有聯(lián)系的新的集合$
$??商集合，這也反映出等價關系不同于一般二元關系的重要性。$
$定義1.1.14設集合A中有等價關系R,則映射\pi :A\to A/R,$
$\pi (a)=\bar{a},?a\in A$
$稱為A到A/R的自然映射。$
$自然映射一定是滿射，但卻不一定是單射。$
$定理1.1.2集合A的一個等價關系決定A的一個分類。$
$證記A中的等價關系為R，容易證明,R決定的商集合A/R，就是A的一個分類。$
$事實上，商集合的全體等價類(重復的只取一個)的集合，每個等價類是A的一個子集，$
$也是A的一個“類”，A中的每一個元素a屬于一個類\bar{a},以下證明a僅屬于\bar{a},便完成證明。$
$若還有a\in \bar{b},則據(jù)定義1.1.12，aRb,即a與b等價,而等價的兩個元素所在的等價類是$
$同一個，所以\bar{b}=\bar{a}.$

$定理1.1.1與定理1.1.2表明，對一個集合A，給定等價關系與給定分類，$
$是同一件事的兩種不同表現(xiàn)形式。$
$比等價關系更進一步的是二元關系是同余關系。$
$定義1.1.15設集合A中有二元運算“°”，如果A的一個等價關系R在該運算下仍然保持，即$
$aRb,cRd?(a°c)R(b°d),?a,b,c,d\in A$
$則稱R為A關于運算“°”的一個同余關系。此時，a所在的等價類\bar{a},也叫作a的同余類。$
$例9設\mathbb{Z}為整數(shù)集，0=/m\in \mathbb{Z},在\mathbb{Z}中定義關系R為$
$aRb?m|(a?b),$
$則R關于\mathbb{Z}中的加法和乘法都是同余關系.$
$此例中的關系R，也稱為“以m為模的模等關系”,aRb在初等整數(shù)論中記為$
$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),稱為“對模m，a與b模等”或“模m，a與b同余”$
$例10$ 是${\mathbb{P}}^{n\times n}$是數(shù)域$\mathbb{P}$上所有$n(n\ge 2)$階方陣的集合，在$\mathbb{P}$中定義關系R為:
$ARB?|A|=|B|$
則R關于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的加法運算不是同余關系，R關于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的乘法運算是同余關系。設R是集合A中關于運算“$°$”的同余關系，則因同余關系是等價關系，所以可以產(chǎn)生新的集合A/R，又因同余關系在運算“$°$”下仍然保持，所以可以在A/R中產(chǎn)生一種與A中運算“$°$”有聯(lián)系的運算“$\overline{°}$”：
$\bar{a}\overline{°}\bar{b}=\overline{a°b},?a,b\in A.$
要說明上面的規(guī)定確實是A/R中的一個二元運算，就要說明等號右邊的元素，確實是被等號左邊有次序的兩個元素 $\bar{a},\bar{b}$ 唯一確定的。即等價類的運算不僅歸結為代表元的運算，而且不依賴于代表元的選擇。這當且僅當該等價關系是同余關系時是正確的。作為提示，請讀者重溫定義1.1.13之前的那句話。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数 01.01 群-运算及关系的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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