• 容易得到，它是零均值的（控制收斂定理） ，自協方差函數γk=σ2∑∞?∞ajaj+k（控制收斂定理）。
• 一般只要求平方可和，這時仍然是平穩的序列。（平方可和弱于絕對可和）
• 若一個序列是零均值白噪聲的線性組合，系數序列平方可和，那么自協方差函數γk→0
• （當然，我們也可以取單面滑動平均。這也是應用時間序列分析中最常用的方法）

時間序列的線性濾波

• 線性低通濾波器
• 例子：保時線性濾波器。絕對可和的H={hj}。經過它可以輸出Yt=∑∞?∞HjXt?j. 它是平穩的。有自協方差函數：γY(n)=∑∞j,k=?∞hjhkγn+k?j.

嚴平穩序列

• 同分布時間序列的定義：對兩個時間序列的任意有限維時間采樣，都是同分布的。
• 嚴平穩序列：任意的k,n，連續n個采樣和向后平移k個位置的兩個r.v.是同分布的。即平移不變性。對任何多元函數?(x1,?,xm)，Yt=?(Xt+1,Xt+2,?,Xt+m)仍然是嚴平穩序列。

*嚴平穩序列的遍歷性：意義是 從一次實現x1,x2,?可以推出所有有限維分布F(X1,?,Xm). 對于嚴平穩遍歷序列{Xt}我們有遍歷定理如下：

• 強大數律：若一階矩有限，那么樣本均值收斂到均值，a.s.
• 對于任何多元函數?(x1,?,xm)，Yt=?(Xt+1,?,Xt+m)為嚴平穩序列。
  另有嚴平穩遍歷序列的判定定理：如果{?t}is?iid?WN(0,σ2),∑∞j=1a2j<∞，那么Xt=∑∞?∞aj?t?j,是嚴平穩遍歷序列。
  也就是說，如果一個序列是嚴平穩遍歷的，那么在幾乎必然的意義下，基于每一次觀測都可以決定序列的有限維分布

平穩序列的譜函數

這個東西是類似于單個隨機變量的分布函數或密度函數存在的。平穩序列的二階統計性質可以由它的 譜分布函數或譜密度函數刻畫。

• 譜分布函數：如果平穩序列有自協方差函數{γk},
  
• 如果有[?π,π]上的單調不減右連續函數F(λ)，使得γk=∫∞?∞eikλdF(λ),F(?π)=0,k∈?
• 如果有[?π,π]上的非負函數f(λ)，使得γk=∫∞?∞f()λ(eikλdλ，那么f(λ)就是譜密度函數。
• 平穩序列的譜函數總是唯一存在的！（Herglotz定理）（a.s.意義下）。
• Xt=∑∞?∞aj?t?j有譜密度f(λ)=σ22π|∑ajeijλ|
• 正交序列的線性組合的譜函數等于對應的譜函數的線性組合。

思考