1.共軛復特征值

設

是的實矩陣，

假設

是的特征值，為對應的特征向量，則同樣是的特征值，而是對應的特征向量，

所以，當

是的實矩陣，它的復特征值以共軛復數對出現。

2. rotation-scaling matrix

假如

,為實數，且不同時為0，則將下面的矩陣稱為rotation-scaling matrix，

則有，

A可以寫成下面的旋轉+縮放形式，

其中，

，則先旋轉，再倍乘。 2. 的特征值為。

3. 矩陣的復特征值

首先我們假定下面的記號，

這里首先討論的矩陣是

的實矩陣，且矩陣有復特征值，而與特征值相對應的特征向量為，這時候有個很漂亮的結論，其中

其中

矩陣為rotation-scaling matrix。

為了證明矩陣

的分解公式成立，我們首先證明是可逆的，即和是線性無關的。用反證法，假設和是線性相關的，則存在，使得，，則

依然是屬于特征值的特征向量，而從式(5)可以得到是個實向量，而對于一個實矩陣的實特征向量對應的特征值一定是實的，但是和是復特征根矛盾，因此可證和是線性無關的。

此外，我們假設復特征值

，同時對應的特征向量為，則有，

同時，

比較式(6)和(7)，可以得到，

接下來我們計算

，和，由(4)式可以馬上得到,(自然基取對應的列)，則有

因為

和的線性無關的，可以組成的基，對于任意的向量，，則有，

因此

。 對于的帶有rotation-scaling matrix的分解，我們可以這么理解，中含有旋轉和比例變換，矩陣提供了變量代換，如。的作用相當于先將代換為，然后在所形成的基下利用矩陣進行旋轉和縮放，旋轉產生一個橢圓，然后將再變量代換回。注意，旋轉是在所形成的基下，即順著和所形成的基旋轉。

對于

矩陣，都有類似上述矩陣的分解形式，下面以為列，如果矩陣有一個實的特征值，一個復特征值，則為另外一個復特征值，對應的實特征向量為，對應的復特征向量為，將分解為,

對于上述矩陣

，在中存在某個平面對平面的作用是旋轉和縮放，該平面在的作用下是不變的。 舉一個例子，例如，

上述矩陣

與式(11)中的矩陣形式相同，如下圖所示，對于平面(第三坐標為0)的任一向量被旋轉到該平面的另外一個位置上，不在該平面的任一向量的第三坐標乘1.07。下圖顯示了和被作用的迭代結果，在平面旋轉，而在乘1.07后在旋轉的同時也在盤旋上升。

總結

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