線性代數(shù)學(xué)的中國根源

Joseph F. Grcar

Roger Hart, The Chinese Roots of Linear Algebra, Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 2011, xi+286 pp., ISBN 978-0-8018-0765-9.

在數(shù)學(xué)史上一個重現(xiàn)的主題是成果的文化背景。無論相信與否，社會背景是有爭議的。一方面，背景一定是重要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)基于人類的經(jīng)驗(yàn)；另一方面，社會無法左右數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是純粹的思想，后一個觀點(diǎn)經(jīng)專家通過他們的著作了解過去而得到加強(qiáng)，把著名想法的“遺產(chǎn)”歸因于過去，但用最新的術(shù)語表達(dá)，使這些想法顯得是一成不變的。Roger Hart的《線性代數(shù)學(xué)的中國根源（The Chinese Roots of Linear Algebra）》將引起生動的討論。因?yàn)樵S多關(guān)于數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的書籍幾乎沒有提到中國。

在古代中國進(jìn)行的幾種計算，在整個19世紀(jì)的東亞被繼續(xù)使用。這些計算在歷史研究中有描述，偶爾在數(shù)學(xué)教科書中會提到它們。一些古代的計算與今天的那些計算類似，包括美國在講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書中的“Gauss（高斯）消去法”。在不同的文明中的這種相似性產(chǎn)生這樣的問題，它們是否分享了一個不變的數(shù)學(xué)概念，以及這個概念可能是什么，它在一種文明中的發(fā)展涉及符號代數(shù)學(xué)，而在另一種文明中則沒有涉及。

這些古代的計算用被稱為算籌（算盤是相對較近的發(fā)明）的工具進(jìn)行，算籌是短棒，它們按（一定次序）排列以表示十進(jìn)制記號中正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)字。復(fù)雜的計算通過把算籌放在一張記數(shù)“板”或“表”的方格中進(jìn)行。古代的這種表沒有遺留下來，但人們可以推測，它們是任何平的表面，也許上面覆蓋著一塊畫有方格的布。從字面上來說，記數(shù)表是古代用于手算的“數(shù)據(jù)表（spreadsheet）”，在計算進(jìn)行中數(shù)可以進(jìn)入數(shù)據(jù)表并被改變。

對于來自古代中國的數(shù)學(xué)遺存，最全面的是《九章算術(shù)》，在大約2000年前它由無名氏匯集而成。如同許多古代的文本那樣，《九章算術(shù)》曾從殘缺不全的抄本重新匯集過，這些抄本是在被認(rèn)為的原始文本之后很久形成的。一些重構(gòu)（reconstruction）可以在其英、法文的譯本中讀到。該書9章（《九章算術(shù)》中用的是卷；為了與“九章”的“章”對應(yīng)，在此譯為“章”——譯注）中的每一章通過示范性的例子處理一個不同類型的計算，書中的大多數(shù)單元是就事論事，沒有指出其中所用的知識。（其他文本描述管理和天文用的數(shù)學(xué)）在衍生的著作中，《九章算術(shù)》中的問題通過解釋得到補(bǔ)充。最早的這些“評注”為劉徽所寫，大約在《九章算術(shù)》成書后200年。

Roger Hart的書集中于《九章算術(shù)》的第8章，這些內(nèi)容可以用現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的語言解釋為聯(lián)立線性方程組的一些問題。Hart的觀點(diǎn)之一就是：第8章是“民間高手”的結(jié)果，這些結(jié)果是被“有志文人”記錄后呈現(xiàn)給宮廷的。在別處對于更近的時期也有這樣的看法。如果我們對古代中國的學(xué)術(shù)發(fā)展能夠有更多的了解，那將是很有趣的。這在我們的社會中也有相似之處。今天，在美國“年輕數(shù)學(xué)家事業(yè)的關(guān)鍵任務(wù)”正在獲得中央政府認(rèn)可。此外，在沒有電子計算機(jī)的時代，計算是由無名的計算員進(jìn)行的，而現(xiàn)在。計算機(jī)程序員的工作亦處于類似的默默無聞的狀態(tài)。

《九章算術(shù)》中第8章的線性計算描述如下，為了避免迂回的陳述，注意適用于全文的說明：這是用現(xiàn)代術(shù)語解釋古代數(shù)學(xué)。在一個計算表中，通過在豎直的列中放置每個方程的各個數(shù)來表示有 個未知量的個線性方程的組：，對于

列旋轉(zhuǎn)90度給出行（按中國古代為書寫習(xí)慣，從右數(shù)第列放置第個方程的各個數(shù)，再把表逆時針旋轉(zhuǎn)90度—校注），成為現(xiàn)代的表，對于，

古代的計算通過該表 左乘矩陣

得到第二張表 ，它的第一列對角線 下的元素為0。我將使用統(tǒng)一的記號 表示第 張表中的元素。經(jīng)過 次這樣的步驟，帶表的計數(shù)板呈代數(shù)學(xué)家所說的“行階梯”形，而數(shù)值分析學(xué)家稱為“上三角的”:

轉(zhuǎn)回到符號代數(shù)學(xué)，表的這一形式對應(yīng)于未知量可以逆序計算的遞推公式:

對于

“Gauss消去法”是以與古代中國相同的視覺方式出現(xiàn)在現(xiàn)代講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書中的，這是值得注意的。在歐洲發(fā)現(xiàn)的最早的例子是Joan Borrel在1560年的書，這已在很晚之后。他通過相同的約化過程保持整數(shù)，然后在一個現(xiàn)在被稱為“回代（back substitution）”的過程中他使用遞歸求未知量，他用這些過程解3個未知數(shù)的3個方程只管計算看起來像我們所做的，但“方程”的概念在Borrel寫書時并沒有完全形成。對于4個未知數(shù)的4個方程，Borrel以符號消去開始，但他接著轉(zhuǎn)到用語言論證且沒有完成消去過程。

由于回代假定符號代數(shù)學(xué)，Hart提出古代記數(shù)表計算的結(jié)論被誤解了。他相信，把表弄成對角形繼續(xù)了相同類型的約化過程，并帶有保持整數(shù)的益處，即使解中有分?jǐn)?shù)，列從右到左可以使對角線之上為0，余下的數(shù)的大小可以用除法加以調(diào)節(jié)。在一個例子（常常展示的《九章算術(shù)》第8章的問題1）中，第一次后向步驟相當(dāng)于左乘矩陣

這就產(chǎn)生了下一張表 ，它第 3 列的非對角線的元素都為0。Hart 表明除法保持整數(shù)。在 次這樣的后向步驟之后，這些方程被做成對角線形式，以 在對角線上重復(fù):

Hart 關(guān)于延緩使用分?jǐn)?shù)的觀點(diǎn)很引人注目。至于除法的計算是否如他所假設(shè)的那樣，似乎依賴于《九章筫術(shù)》中僅有的幾個完整例子了。

在第 8 章的問題中，有幾個其表具有如下所示的特殊形式，對于 ，

這里和是指示矩陣（indicated matrix）和列向量。在《九章算術(shù)》中，這些問題有3-5個方程，第9章的例子有更多的方程。如果在約化階段用整數(shù)以直截了當(dāng)?shù)姆绞饺プ?#xff0c;那么，最終行階梯矩陣對角線上元素的形式是。一個這樣的問題——“水井問題”，其中作為未知數(shù)，給出未知數(shù)的數(shù)目多于方程的數(shù)目。這個例子經(jīng)常被引用，表示《九章算術(shù)》的作者（們）理解不定方程問題。Hart則唱反調(diào)：他認(rèn)為第8章只是斷定了。綜觀現(xiàn)存的文獻(xiàn)，顯示其不確定性可能直到17世紀(jì)才被明顯處理。

Hart進(jìn)一步提出，特殊問題的“行列式風(fēng)格”的解法通過Gottfried Wilhelm Leibniz（萊布尼茨）可能影響了歐洲人對行列式，更廣一些，對線性代數(shù)學(xué)的工作。這就留待將來在Leibniz的數(shù)學(xué)作品中尋找中國的影響，無論怎樣，Leibniz對Gauss消去法并無貢獻(xiàn)，而不用行列式的Gauss消去法出現(xiàn)在一些歐洲數(shù)學(xué)家（如Borrel）的工作中，lsaac Newton（牛頓）為了指導(dǎo)符號代數(shù)學(xué)，開始創(chuàng)造消去方程式的傳統(tǒng)，這在18世紀(jì)末的一部標(biāo)準(zhǔn)的教科書中達(dá)到高峰，這個程式即是講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書中的“Gauss消去法”。

總之，《線性代數(shù)學(xué)的中國根源》記錄了《九章算術(shù)》中古代中國的線性問題，并提供了關(guān)于它們解法的新見解。剩下的是要研究《九章算術(shù)》的第8章是否影響了現(xiàn)代線性代數(shù)學(xué)。《九章算術(shù)》是一個“根源”嗎？或者它們是分割開來地發(fā)展，無論如何，難道它們不是我們數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的一部分嗎？Roger Hart引起爭議的著作值得每一所學(xué)院和大學(xué)收藏。本文作者自己的研究，以及他對其他學(xué)術(shù)著作的評估，將是無數(shù)學(xué)期論文的起點(diǎn)。除此之外，書名的特定論題使閱讀引人入勝。

附錄

也許應(yīng)當(dāng)提到，用整數(shù)消元可以完成的最好的方法是Chiò方法。對有行（用第1個下標(biāo)表示）及相同或更多列（用第2個下標(biāo)表示）的一個表約化為行階梯形，可以用相繼的表（用上標(biāo)表示）中元素變化的一個公式來表示：

,對于

這里需要選擇 。(注意 的情形把 0 引進(jìn)列中.) 在 《九章算術(shù)》中 ，Gauss 消去法的常見形式取 ，而 Chiò 取 , 對 取為 1 . 對 Chiò 的選擇，可以證明: (1) 表中的元素保持整數(shù), (2) 對 作為初始表中元素的多項式的次數(shù)是 ，這是對任何計算所能期望的最小的值，以及 (3) 對初始表，元 素 是階為 的前主子式。

對于行列式的計算，許多作者，包括 Charles Dodgson (道奇森) (Lewis Carroll)重 新發(fā)明了 Chiò 的方法. 這個方法也歸之于 Bareiss，他的新貢獻(xiàn)加速了高階行列式的過程。Chiò 的方法當(dāng)然適用于整區(qū) (integral domains) 中的消元，在交換代數(shù)學(xué)和復(fù)雜性理論中可見到這種方式。

如果允許除外遍歷，則第張表是對角的，這一約化相對于Gauss消去法被稱為Gauss-Jordan（若爾當(dāng)）消去法。與通過向后約化為行階梯形相比，為得到對角形，Jordan消去法需要更多的算術(shù)運(yùn)算。

（趙振江譯 陸柱家校）

—版權(quán)聲明—

來源：《數(shù)學(xué)譯林》，編輯：nhyilin

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—THE END—

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總結(jié)

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