這一篇帖子主要介紹人類如何從一個基于幾何直觀或直覺的計算技巧或計算方法，進化到邏輯基礎(chǔ)嚴密的公理體系的例子，想說明人類抽象的另外一個方向：語言抽象（結(jié)構(gòu)抽象已經(jīng)在介紹伽羅華群論時介紹過）。?

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為了讓非數(shù)學專業(yè)的人能夠看下去，采用了大量描述性語言，所以嚴謹是談不上的，只能算瞎扯。?

現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)有三大分支：分析，代數(shù)和幾何。這篇帖子以盡量通俗的白話介紹數(shù)學分析。數(shù)學分析是現(xiàn)代數(shù)學的第一座高峰。?

最后為了說明在數(shù)學中，證明解的存在性比如何計算解本身要重要得多，用了兩個理論經(jīng)濟學中著名的存在性定理（阿羅的一般均衡存在性定理和阿羅的公平不可能存在定理）為例子來說明數(shù)學家認識世界和理解問題的思維方式，以及存在性的重要性：阿羅的一般均衡存在性，奠定了整個微觀經(jīng)濟學的邏輯基礎(chǔ)--微觀經(jīng)濟學因此成為科學而不是幻想或民科；阿羅的公平不可能存在定理，摧毀了西方經(jīng)濟學界上百年努力發(fā)展，并是整個應(yīng)用經(jīng)濟學三大支柱之一的福利經(jīng)濟學的邏輯基礎(chǔ)，使其一切理論成果和政策結(jié)論成為泡影。?

一、微積分

數(shù)學分析是微積分基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，所以先說說微積分。?

微積分的基本思想是以直為曲，也即用直線來逼近曲線，在中國古代，劉徽，祖沖之計算圓周率用的割圓術(shù)就是典型的微積分方法，三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到的“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”魏晉南北朝時期的祖沖之說的更簡單：以曲為直逼近。在古代巴比倫，希臘都用這種方法來處理曲線計算問題，有史可查的記錄是公元前三世紀，古希臘的阿基米德計算拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積時，就用了直線逼近。?

所以在牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）發(fā)明微積分之前，很多實際上的微積分的工具已經(jīng)開始運用在科學和工程之中。例如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都用這種以直為曲的逼近方法計算工程問題。?

但是微積分為什么說是十七世紀牛頓和萊布尼茨發(fā)明的呢，我覺得主要是兩點：第一點是引入了函數(shù)概念來描繪變量；第二點是發(fā)明了一套符號體系，可以計算各種初等函數(shù)微分（初等函數(shù)簡單說就是多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或函數(shù)的復合而得的所有函數(shù)）。?

牛頓和萊布尼茨發(fā)明的最原始的微積分可以解決以下問題：?

求即時速度的問題；求曲線的切線；求函數(shù)的最大值和最小值；求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力等等。

牛頓和萊布尼茲最本質(zhì)的貢獻是把求切線問題（微分學的中心問題）和求積問題（積分學的中心問題）變成一個問題。這就是著名的牛頓--萊布尼茲公式。?

牛頓和萊布尼茨建立微積分的基本思想是以曲為直，逐步逼近，其中創(chuàng)造是引入了無窮小量Δ，因此微積分也稱為無窮小分析。?

不過他們兩個有區(qū)別，牛頓從運動角度入手，萊布尼茨從幾何角度路入手。?

牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程（積分法）。?

萊布尼茨1684年發(fā)表世界上最早的微積分文章：《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，創(chuàng)立了現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則（遠遠優(yōu)于牛頓的符號，現(xiàn)在使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨創(chuàng)造的），1686年，萊布尼茨發(fā)表了人類第一篇積分學的文章。?

微積分的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解。例如牛頓應(yīng)用微積分及微分方程從萬有引力定律推導出了開普勒行星運動三定律。?

微積分也極大的推動天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學等的發(fā)展。?

由于爭搶微積分發(fā)明權(quán)，歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立，英國數(shù)學陷入牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，英國數(shù)學后來比歐洲整整落后了一百年。?

雖然原始微積分是一種強大計算工具，但是從邏輯上講，牛頓和萊布尼茨的工作都是很不完善的，他們?yōu)榱擞嬎阄⒎?#xff0c;引入的在無窮和無窮小量概念，其實沒有說清楚是個什么東西，例如牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨干脆回避解釋。無窮小的邏輯基礎(chǔ)存在的問題導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生（這個在介紹現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)的帖子里已經(jīng)介紹了，不重復）。?

19世紀初，法國的柯西對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來德國的魏爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分在邏輯上站住腳，而不僅僅是一種計算工具。?

微積分的基礎(chǔ)概念是函數(shù)和極限。前者是微積分的工作對象，后者是微積分的基本工作技巧。

1、函數(shù)

函數(shù)概念是人類一個很偉大的發(fā)現(xiàn)，價值不下于對于數(shù)的發(fā)現(xiàn)，也是高度抽象的產(chǎn)物。?

不過函數(shù)的思想?yún)s很早，至少在公元前就有了：因果關(guān)系，也即有因必有果，一個因?qū)?yīng)一個或多個果，或者一個果對應(yīng)多個因。?

這在中國《易經(jīng)》中已經(jīng)有成熟的體現(xiàn)（其實《易經(jīng)》就是64變量的函數(shù)論），正因為有了這種因果關(guān)系概念，中國遠古時代我們先人就有了成熟精妙的辯證法（比黑格爾的辯證法高級多了，精細多了）。西方辯證法也是在有了成熟的函數(shù)概念后才成熟的。恩格斯就說過：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學”。?

不過近代函數(shù)概念直接來源于代數(shù)方程中對不定方程的求解。?

笛卡兒在1637年出版的《幾何學》中，引入了現(xiàn)代函數(shù)的思想。英國人格雷果里在1667年論文《論圓和雙曲線的求積》給出了函數(shù)的定義：從一些其他量經(jīng)過一系列代數(shù)運算或任何其他可以想象的運算而得到的一個量。這里的運算指的是加減乘除開方五種代數(shù)運算以及求極限運算。?

不過現(xiàn)在我們看到的函數(shù)定義來自于德國人萊布尼茲，他在1673年論文中，把任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量，如切線、法線、點的縱坐標都稱為函數(shù)；并且強調(diào)這條曲線是由一個方程式給出的。直接定義了：函數(shù)表示依賴于一個變量的量。?

緊接著函數(shù)概念被不斷改進，第一個重要改進是瑞士人約翰.伯努利于1698年給出的：由變量和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫做的函數(shù)。這里的任何方式包括了代數(shù)式和超越式。

第二個重要改進是1748年歐拉在《無窮小分析引論》中給出的函數(shù)定義：變量的函數(shù)是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的。現(xiàn)代函數(shù)的符號就是歐拉發(fā)明的。歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)、單值函數(shù)和多值函數(shù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)等。?

1775年，歐拉在《微分學》一書中，給出了函數(shù)的另一定義：如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量為后面變量的函數(shù)。這個定義，為辯證法數(shù)學化打開了大門。?

第三次重要改進是從函數(shù)的幾何特性開始的，是1746年達朗貝爾給出的，把曲線稱為函數(shù)（因為解析表達式在幾何上表示為曲線）。但是后來歐拉發(fā)現(xiàn)有些曲線不一定是由單個解析式給出的，因此提出了一個新的定義：平面上隨手畫出來的曲線所表示的x與y的關(guān)系。即把函數(shù)定義為由單個解析式表達出的連續(xù)函數(shù)，也包括由若干個解析式表達出的不連續(xù)函數(shù)（不連續(xù)函數(shù)的名稱是由歐拉提出的）。?

在整個十八世紀，函數(shù)定義本質(zhì)就是一個解析表達式（有限或無限）。?

第四次最重要的改進是1821年柯西在《解析教程》中，給出了如下函數(shù)定義：在某些變量間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱為自變量，其他各個變量稱為函數(shù)。這個定義把函數(shù)概念與曲線、連續(xù)、解析式等糾纏不清的關(guān)系給予了澄清，也避免了數(shù)學意義欠嚴格的變化一詞。函數(shù)是用一個式子或多個式子表示，甚至是否通過式子表示都無關(guān)要緊。?

不過函數(shù)精確定義是德國人狄利克里于1837年給出的：若對x（a≤x≤b）的每一個值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，不管建立起這種對應(yīng)的法則的方式如何，都稱y是x的函數(shù)。這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)，即對應(yīng)思想。?

對應(yīng)思想是人類偉大的發(fā)現(xiàn)，后來的映射，同構(gòu)，同態(tài)等等概念來源于此，這是這個概念最偉大的地方。?

當然我們知道狄利克里偉大，主要不是他給出函數(shù)的科學定義，而是他給出了著名的狄利克里函數(shù)，這個函數(shù)是難以用簡單的包含自變量x的解析式表達的，但按照上述定義的確是一個函數(shù)。?

為使函數(shù)概念適用范圍更加廣泛，人們對函數(shù)定義作了如下補充：“函數(shù)y=f（x）的自變量，可以不必取[a，b]中的一切值，而可以僅取其任一部分”，換句話說就是x的取值可以是任意數(shù)集，這個集合中可以有有限個數(shù)、也可以有無限多個數(shù)，可以是連續(xù)的、也可以是離散的。這樣就使函數(shù)成了一個非常廣泛的概念。但是，自變量及函數(shù)仍然僅限于數(shù)的范圍，而且也沒有意識到“函數(shù)”應(yīng)當指對應(yīng)法則本身。?

最后，我們要說說現(xiàn)代數(shù)學理解的函數(shù)（來自于美國人維布倫）：設(shè)集合X、Y，如果X中每一個元素x都有Y中唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么我們就把此對應(yīng)叫做從集合X到集合Y的映射，記作f：X-->Y，y=f（x）。?

不過從布爾巴基以后，基于數(shù)學結(jié)構(gòu)的函數(shù)概念更進一步抽象，從函數(shù)、映射進化到關(guān)系：

1939年布爾巴基用集合之間的關(guān)系定義了函數(shù)：設(shè)E和F是兩個集合，E中的每一個元素x和F中的每一個元素y之間的一個關(guān)系f稱為函數(shù)，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它們滿足給定的關(guān)系。記作f：E→F。在布爾巴基的定義中，E和F不一定是數(shù)的集合，函數(shù)是集合之間的一個關(guān)系。也即設(shè)集合E和F，定義E與F的積集E*F如下：E*F＝{（x，y）|x∈ E，y∈ Y}。積集E*F中的一個子集f稱為E與F的一個關(guān)系，若（x，y）∈ f，則稱x與y有關(guān)系f，記為xfy,若（x，y）不屬于f，則稱x與y無關(guān)系f。設(shè)f是x與y的關(guān)系，即f∈X*Y，如果（x，y）∈f,（x，z）∈f ，必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的映射或函數(shù)。?

這個定義回避了對應(yīng)這種模糊不清的描述語言，而且把函數(shù)從單純的數(shù)的概念推廣到一切對象，例如結(jié)構(gòu)，圖像，集合等等。?

不過微積分要處理的函數(shù)概念還是原始的，甚至只能處理初等函數(shù)。特點就是函數(shù)自變量的變化范圍是數(shù)域，也即函數(shù)定義域與因變量的變化范圍值域都是數(shù)域。這就是微積分的工作對象。這個對象可以描述一部分基于初等函數(shù)規(guī)律描述的變量跟結(jié)果的因果關(guān)系，通過對這種因果關(guān)系的分析和計算，人類就能預測或控制符合相應(yīng)初等函數(shù)規(guī)律描述的事件或事物的因果關(guān)系，例如各種工程設(shè)備，武器系統(tǒng)等等，就能建立工業(yè)文明。?

2、極限

極限是微積分的主要工作技巧。整個數(shù)學分析就是建立在極限概念上（包括級數(shù)）來處理初等函數(shù)因果關(guān)系的一門學科。?

極限技巧一般是：對無法把握的連續(xù)變量，用可以計算的序列（例如數(shù)列，時間序列，多項式序列等等）逐步逼近變量，并能夠證明這些序列可以無限逼近所求的未知量，然后計算這個序列的極限就可得到變量。?

極限思想是微積分的基本思想，函數(shù)的連續(xù)性，導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。?

所以可以說：數(shù)學分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學科。?

極限的思想在劉徽割圓術(shù)就有了，但是僅僅是一種計算方法，而不是一個思維方式。真正的現(xiàn)代極限思想來自于16世紀荷蘭人斯泰文計算三角形重心過程中，用逐步逼近方式逼近重心。?

牛頓和萊布尼茨最早并不是用極限思想來建立微積分的，他們的概念基礎(chǔ)是無窮小，但是由于無窮小是個邏輯上有瑕疵的概念，導致微積分的邏輯基礎(chǔ)無法自洽。例如牛頓用路程的改變量ΔＳ與時間的改變量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示運動物體的平均速度，讓Δｔ無窮小，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數(shù)概念和微分，他并沒有極限概念，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。這是一種幾何直觀而不是邏輯，就像小孩在紙上順便劃一下圓，就說是太陽。所以牛頓說不清楚他理解的無窮小到底是是什么。其實牛頓的說法如果用極限概念，很容易在邏輯上說清楚：如果當變量（例如時間t)無限增大或變量的差無限接近0時（Δｔ-->0)，則ΔＳ／Δｔ無限地接近于常數(shù)Ａ，那么就說ΔＳ／Δｔ以Ａ為極限，這個極限就是s（路徑函數(shù)）在t0時的導數(shù)。?

不過上述無限的概念仍然是幾何直觀的，并沒有用邏輯描述出無限這個過程是什么，也沒有定量地給出ΔＳ和Δｔ兩個無限過程之間的數(shù)量聯(lián)系，所以在邏輯上仍然有漏洞。?

所以牛頓和萊布尼茲的微積分不斷收到懷疑和攻擊，例如最常見的質(zhì)疑是貝克萊大主教的：在瞬時速度概念中，究竟Δｔ是否等于零？如果說是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項去掉呢？這就是數(shù)學史上所說的無窮小悖論。?

牛頓由于沒有極限概念，無法回答這種質(zhì)疑，只能混戰(zhàn)。主要原因是微積分起源于人類計算需要從常量擴展到變量，但是牛頓采用處理常量的傳統(tǒng)思想來處理變量。?

18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人明確表示極限是微積分嚴格化的基礎(chǔ)。其中最接近現(xiàn)代定義的是達朗貝爾的極限定義：一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量。但是這些定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。例如什么叫“接近”，邏輯上的含義是什么，其實還是幾何直觀。?

現(xiàn)代極限概念來自于柯西，19世紀，柯西出版的《分析教程》定義：當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小。?

柯西把無窮小視為以0為極限的變量，也即無窮小不是似零非零，無窮小非零，只是其極限為零。?

魏爾斯特拉斯把柯西的語言翻譯成ε--δ語言，給微積分提供了嚴格的理論基礎(chǔ)。所謂?
limaｎ(n-->∞)＝Ａ，是指：如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)Ｎ，使得當ｎ＞Ｎ時，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立。?

這個定義，借助不等式而不是幾何直觀，通過ε和Ｎ之間的關(guān)系，定量刻劃了兩個無限過程之間的聯(lián)系。這個定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。?

這個定義，本質(zhì)揭示了無限與有限有本質(zhì)的不同：無限個數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，它是部分和的極限，是動態(tài)過程，而非靜態(tài)計算結(jié)果。舉例來講，用任何靜態(tài)計算，都無法計算出變速直線運動的瞬時速度，因為速度是變量。這其實就是量變和質(zhì)變的一個例子：量變能引起質(zhì)變。例如對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說，當它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就變成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積，這就是量變到質(zhì)變，這就是極限概念的本質(zhì)。極限是區(qū)分初等數(shù)學和高等數(shù)學的分界線，初等數(shù)學處理靜態(tài)問題，高等數(shù)學可以處理非靜態(tài)問題了，例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題。?

極限概念中，最重要的定理，非魏爾斯特拉斯的多項式逼近連續(xù)函數(shù)定理莫屬，這個定理的簡單表述是：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可由多項式一致逼近。?

這個定理意味著任何連續(xù)函數(shù)，都能構(gòu)造一個多項式函數(shù)來逼近它，而多項式函數(shù)的導數(shù)，微分，積分的計算，簡單易行，也即這個定理解決了連續(xù)函數(shù)的近似計算的邏輯基礎(chǔ)問題：存在性。?

這個定理最著名的證明是蘇聯(lián)數(shù)學家伯恩斯坦構(gòu)造的著名的伯恩斯坦多項式，這個方法開啟了函數(shù)構(gòu)造法這一研究領(lǐng)域（當然對周期性的函數(shù)，還可以用三角級數(shù)，也即傅利葉級數(shù)逼近）。用多項式函數(shù)或三角級數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)，是現(xiàn)代工程解決問題的主要方法，例如通信領(lǐng)域，如果不懂傅利葉級數(shù)，基本寸步難行，在流體力學、結(jié)構(gòu)力學和彈性力學領(lǐng)域，不用多項式函數(shù)逼近，也基本無法計算海量的變量函數(shù)。函數(shù)構(gòu)造方法其實是計算數(shù)學算法的基礎(chǔ)（伯恩斯坦多項式符號太多，無法介紹，有興趣可以上網(wǎng)搜索：伯恩斯坦多項式即可，有魏爾斯特拉斯定理用伯恩斯坦多項式證明的全過程）。?

魏爾斯特拉斯本人最初的證明，是使用的核函數(shù)（正態(tài)核），并將核函數(shù)展開成一致收斂的冪級數(shù)，截取前面有限部分就構(gòu)造出了逼近多項式。現(xiàn)在教材上選取的核函數(shù)是Landau核，這個核函數(shù)本身就是多項式，因此相比原證明減少了一步，但本質(zhì)沒有改變。魏爾斯特拉斯本人最初的證明不如伯恩斯坦的證明那么直截了當，那么優(yōu)美（可以翻教科書參考，如果想詳細了解過程，可以看菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》，這是經(jīng)典微積分教材）。當然這個定理最直觀的證明是勒貝格的折線逼近法：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用折線逼近 （可以查書）。?

極限是微積分的核心概念，微積分處理初等函數(shù)變化，一般都涉及無窮概念，無窮概念只有從極限角度理解，才能正確描述和把握，其實描述極限的語言體系是ε--δ語言是一個相當于公理體系的定義，ε--δ意義下的極限是一種公理定義下的逼近，這種逼近不是幾何描述的，所以沒有邏輯悖論的可能。?

逼近的常見技巧是放縮和夾逼，也即不等式是極限的主要技巧。?

微積分中討論的連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等等概念都是基于極限的思想方法給出。?

3、連續(xù)

前面說過，微積分主要對象是初等函數(shù)，初等函數(shù)的本質(zhì)性質(zhì)就是連續(xù)，就像一元n次方程的根的本直性質(zhì)的是對稱一樣，這是很本質(zhì)的核心問題，當然微積分必須抓住。?

所以換句話說，微積分主要工作對象就是連續(xù)函數(shù)。其實人類在直到牛頓萊布尼茲時代，并不知道還有非連續(xù)的函數(shù)概念。預先假定都是連續(xù)的，而且他們對連續(xù)函數(shù)理解僅僅是幾何直觀，把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)叫做連續(xù)函數(shù)。例如伽利略所研究的落體運動，開普勒所研究的繞日運轉(zhuǎn)的行星所掃描的扇形面積，牛頓所研究的流等都是連續(xù)變化的量。?

所謂連續(xù)，直觀解釋就是運動變化的過程連綿不斷，連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學模型。?

微積分是以直為曲的，所以對連續(xù)函數(shù)也要進行這種處理，例如柯西和魏爾斯特拉斯就用離散的多項式來逼近連續(xù)函數(shù)，這就是極限理論的由來，有了極限，才開始真的能夠把握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。?

最早人類理解連續(xù)函數(shù)，就是當x逐漸改變時，函數(shù)f(x)的相應(yīng)變動也是逐漸的，不會有任何突增或突減的跳躍式振蕩。但這種理解毫無用處，因為既不能計算，也不能控制。?

函數(shù)連續(xù)的精確表述：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，任給ε大于零，存在δ大于零，當｜x-x0｜<δ時，有｜f(x)-f(x0)｜<ε,則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)。?< span="">

這就是數(shù)學分析的基本語言：ε--δ語言，不熟悉這套語言體系，無法學會數(shù)學分析。?

用ε--δ語言定義的連續(xù)函數(shù)，就能計算其極限問題 ，這是微積分的重要內(nèi)容，因為微分本質(zhì)就是計算極限。?

而連續(xù)函數(shù)求極限這種復雜問題本質(zhì)是可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題的，這就可以大大簡化求極限難度。?

我們知道，函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性質(zhì)，對區(qū)間也不例外。但如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，卻能把局部性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整體性質(zhì)，象閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致連續(xù)性等。?

用ε--δ語言，我們就能把握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：?

連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)：若函數(shù)f在點x0連續(xù)，則f在點x0有極限，且極限值等于函數(shù)值f(x0)。根據(jù)這個性質(zhì)，可以容易證明下述定理：?

局部有界性定理：若函數(shù)f在點x0連續(xù)，則f在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有界。?

局部保號定理：若函數(shù)f在點x0連續(xù)，且f（x0）>0（或<0），則對任何正數(shù)r<f(x0)（或r<-f(x0)），存在某u(x0)，使得對一切x∈u(x0)有r<f(x)（或r<-f(x)）。?< span="">

四則運算定理：若函數(shù)f和g在點x0連續(xù)，則f±g，f*g，f/g（這里g(x0)≠0)也都在點x0連續(xù)。?

復合函數(shù)定理：若函數(shù)f在點x0連續(xù)，g在點uo連續(xù)，u0=f(x0),則?
limg(f(x))(x-->x0)=g(limf(x))(x-->x0)=g(f(x0))?

海涅（Heine)定理：limf(x)(x-->x0)存在的充分必要條件是對任給的序列{xn}，若滿足limxn(n-->∞)=x0(xn≠x0)，則有l(wèi)imf(xn)(n-->∞)存在。?

最大、最小值定理：若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f在[a,b]上有最大值與最小值；或稱函數(shù)f在[a,b]上達到最大值。?

推論（有界性定理）：若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f在[a,b]上有界。?

介值性定理：設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a）≠f(b）。若μ為介于f(a）與f(b）之間的任何實數(shù)（f(a）<μμ>f(b）），則至少存在一點x0∈(a,b)使得f（x0）=μ。?

根的存在定理：若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a）與f(b）異號，則至少存在一點x0∈(a,b)使得f（x0）=0。即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個根。?

反函數(shù)連續(xù)定理：若函數(shù)f在[a,b]上嚴格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)f^-1在其定義域[f(a),f（b）]或[f（b）,f(a)]上連續(xù)。?

初等函數(shù)的連續(xù)定理：任何初等函數(shù)在它的定義域上都連續(xù)。

4、導數(shù)

導數(shù)最初定義是1823年柯西在《無窮小分析概論》中定義的：如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那么是使變量得到一個無窮小增量。?

現(xiàn)在導數(shù)定義是19世紀60年代魏爾斯特拉斯用ε--δ語言定義的：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地函數(shù)增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果任意給ε>0,存在常數(shù)a和δ>0,當│Δx│<δ時,使│δy δx-a│<ε，則稱函數(shù)y="f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),記為f'(x0)，也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0。?

導數(shù)的幾何直觀就是函數(shù)形成的曲線在一點的切線的斜率。?

最早導數(shù)主要用于求變速運動的瞬時速度（計算彈頭的穿透能力或動能必須知道彈頭接觸目標的瞬時速度）和求曲線上一點的切線。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā)，分別給出了導數(shù)的概念。?

牛頓的想法很直觀，如一輛汽車在10小時內(nèi)走了600公里，它的平均速度是60公里/小時。但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60公里/小時。設(shè)汽車所在位置s與時間t的關(guān)系為：s=f（t）,那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內(nèi)的平均速度是：?

(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)，當 t1與t0無限趨近于零時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，瞬時速度就近似等于平均速度 。?

自然就把當 t1-->t0時的極限 lim(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這顯然就是導數(shù)。?

顯然根據(jù)上述定義，導數(shù)是通過極限對函數(shù)進行局部的線性逼近，所以導數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。?

顯然不是所有的函數(shù)都有導數(shù)（例如產(chǎn)生突變點，奇點的函數(shù)就沒有導數(shù)），一個函數(shù)也不一定在所有的點上都有導數(shù)。?

若某函數(shù)在某一點導數(shù)存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。顯然很容易證明：可導的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。?

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)可導。這時函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，這個函數(shù)為原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，記作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，簡稱導數(shù)。?

顯然，導數(shù)運算滿足一下性質(zhì)：?

(u+-v)’=u’+-v’；（uv）’=u’*v+u*v’；（u/v)’=(u’*v-u*v’)/v^2。?

根據(jù)上導數(shù)定義和性質(zhì)，很容易計算出一些常見函數(shù)的導數(shù)：?

y=x^n，y'=n*x^(n-1)；?
y=a^bx，y'=b*a^bx*lna；?
y=a^u，y'=u’*a^u*lna；?
y=e^bx，y’=b*e^bx；?
y=e^u，y’=u’&e^u；?
y=loga^x，y’=1/(xlna)；?
y=lnx，y’=1/x；?
y=sinx，y’=cosx；?
y=cosx，y’=-sinx；?
y=tanx，y’=sec^2(x)；?
y=cotx，y’=-csc^2(x)；?
y=secx，y’=secx*tanx；?
y=cscx，y’=-cscx*cotx；?
y=arcsinx，y’=1/(1-x^2)^1/2；?
y=arccosx，y’=-1/(1-x^2)^1/2；?
y=arctanx，y’=1/(1+x^2)；?
y=arccotx，y’=-1/(1+x^2)；?
y=shx，y’=chx。?

在實際上應(yīng)用中，大部分常見的函數(shù)都上述函數(shù)的和、差、積、商或相互復合的結(jié)果。所以一般情況下，函數(shù)的導函數(shù)計算是簡單容易的。?

導數(shù)的幾個用途：?

判別單調(diào)性：若導數(shù)大于零，則單調(diào)遞增；若導數(shù)小于零，則單調(diào)遞減；導數(shù)等于零為函數(shù)駐點，不一定為極值點。?

求極值：如果存在一點，使得導數(shù)在之前區(qū)間上都大于等于零，而在之后區(qū)間上都小于等于零，那么是一個極大值點，反之則為極小值點。?

自然推論：若已知函數(shù)為遞增函數(shù)，則導數(shù)大于等于零；若已知函數(shù)為遞減函數(shù)，則導數(shù)小于等于零。?

判斷函數(shù)凹凸性：如果函數(shù)的導函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，那么這個區(qū)間上函數(shù)是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數(shù)存在，如果在某個區(qū)間上二階導數(shù)恒大于零，則這個區(qū)間上函數(shù)是向下凹的，反之這個區(qū)間上函數(shù)是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。?

導數(shù)的最著名應(yīng)用是中值定理和洛必達法則。?

中值定理應(yīng)包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。?

羅爾中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)="0。?

幾何上，羅爾定理含義是一條連續(xù)的曲線弧 ，如果除端點外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等，則弧上至少有一點的切線是水平的。?

拉格朗日定理：如果函數(shù) f(x) 滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)="f’(ξ)(b-a)" 成立。?<="" span="">

柯西定理：如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；對任一x∈(a,b)，F'(x)≠0，那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

泰勒公式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于（x-x0)多項式和一個余項的和：?

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f^(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn?
其中Rn=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，這里ξ在x和x,0之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。?
（f^(n)(x0)是f(x0)的n階導數(shù)，不是f(n)與x0的相乘）?

推論：麥克勞林公式：?

若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于x多項式和一個余項的和：?
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2,+f'''(0)/3!*x^3+……+f^(n)(0)/n!*x^n+Rn?
其中Rn=f^(n+1)(θx)/(n+1)!*x^(n+1),這里0<θ<1。?< span="">

達布定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值。?

推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。?

洛必達法則：設(shè)當x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；在點a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；當x→a時limf'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么x→a時 limf(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。?

又設(shè)當x→∞時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；當x→∞時limf'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么x→∞時 limf(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。?

中值定理經(jīng)常用于證明方程根的存在性，證明恒等式，證明不等式，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)極限（用羅必達法則求0/0，∞/∞函數(shù)極限是常用手段），求函數(shù)的極值與最值，討論函數(shù)的凸凹性，求函數(shù)的拐點 ，求函數(shù)的漸近線，描繪函數(shù)的圖象等等。具體例子可以查教科書。

—版權(quán)聲明—

來源：豆瓣，編輯：nhyilin

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—THE END—

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總結(jié)

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