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理想世界的流體方程

1757年，數學家歐拉（Leonhard Euler）發現了后來被稱為“歐拉方程”的流體方程，這些方程描述了流體隨時間的演化，就像牛頓的力學方程描述臺球在桌子上的運動一樣。

歐拉方程是一種理想化的對流體運動的數學描述，它們在一定的假設范圍內，模擬流體的運動。更確切地說，歐拉方程描述了流體中無窮小的粒子的瞬時運動。這個描述包括一個粒子的速度和它的渦量（即旋轉的速度和方向）。總的來說，這些信息匯聚成了一個“速度場”，描繪了流體在給定時刻的運動情況。歐拉方程從一個初始速度場開始，預測它在未來每一刻會發生的變化。

兩個多世紀以來，它們似乎做到了描述任何情況下的任何流體運動。然而多年來，一些數學家一直懷疑歐拉方程在某些特定的情況下會失效，因為歐拉方程并不是對真實世界流體的完全描述，它包括幾個非物理性的假設。例如，它們假設當流體的內流在流過彼此時，不會產生摩擦；再比如它們還假設流體是“不可壓縮的”，這意味著在歐拉方程的世界里，流體是無法被壓縮到比它已經占據的空間更小的空間里的。

○?由不可壓縮的歐拉方程支配的理想流體的運動：u為流體的速度場，p為內壓強的力。

顯然，真正的流體內部是有摩擦的，歐拉方程的描述將流體的運動規定在了一個特定的理想化世界中。若要模擬更真實的流體運動，則需要使用納維-斯托克斯方程（NS方程）。許多數學家和其他研究人員想要知道，在科學上仍占有非常崇高地位的歐拉方程，在無摩擦、不可壓縮的理想化世界中，是否總是能夠精確地描述流體的所有未來運動狀態。

終于，一個新的證明找到了會讓歐拉方程失效的特定條件。

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尋找歐拉方程的缺陷

今年，加利福尼亞大學圣迭戈分校（UCSD）的數學家Tarek Elgindi分別于4月和10月向arXiv提交了兩篇論文，這兩篇論文推翻了這組著名流體方程在幾個世紀以來的假設。

Elgindi證明了，在一組特定的情況下，歐拉方程會開始輸出無意義的東西。他所找到的特例令眾數學家們大吃一驚，因為這一“特例”是過去數學家們一直以為總能使方程有效的條件。但這并不代表歐拉方程從此將失去它在科學界的重要地位。

從理論上說，根據歐拉方程的運作原理，當你將當前狀態的值代入方程中之后，就能產生未來某一時刻的精確值；再將未來某一時刻的值代入方程，就能再次延伸預測。通常情況下，這個過程是一直有效的，它似乎能延伸到我們可預見的遙遠未來。但是，一旦在這個過程中歐拉方程開始產生一個無法繼續代入計算的值時，歐拉方程便失效了。

是什么樣的值無法被繼續代入計算？它們一定是以某種非常不合理的方式放大了流體中的某個點的速度或渦量。這種放大非常極端，會將某一點的速度或渦量在有限的時間內放大到無窮大。一旦出現無窮大，方程就會崩潰，無法再繼續對未來狀態進行描述。

這些致命的極值被稱為“奇點”。因此當數學家在詢問“歐拉方程是否總是成立”時，他們實際上是在問：歐拉方程是否會在某些情況下產生奇點？

多數數學家相信答案是肯定的，但他們從來沒有找到一個具體的實例。直到Elgindi的證明出現。他的結果雖然沒有表明歐拉方程會在某個確切條件下產生奇點，但這已經是迄今為止最接近這一目標的結果。

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降低復雜度

為了實現這個目標，Elgindi考慮了一個簡化版的流體運動模型。在真實的三維流體中，任何粒子都有三個可以移動的軸，即x軸（左右）、y軸（上下）和z軸（前后），它們有很大的運動自由度；而且流體中的不同部分的粒子的運動不一定有任何密切聯系。

在Elgindi的研究中，他簡化了歐拉方程需要處理的工作。他讓流體的運動關于z軸對稱，這種對稱在真實流體中雖然并不存在，但卻能使得對速度場的計算更加容易。他還限制了流體的運動范圍，流體中的粒子只可以沿z軸的方向，或朝著或遠離z軸運動，不能繞著z軸旋轉。這樣的設定基本上把問題簡化成一個二維問題。

最后，Elgindi對他輸入歐拉方程中的初始數據設定了一些額外規定。從某種意義上說，這些數據比描述真實世界流體的數值更加粗糙，更有可能形成奇點。

在現實世界里，如果你從流體中的一個點移動非常小的距離到另一點，那么第二個點的速度和第一個點的速度應該非常相似，它們的渦量應該也非常相似。具有這種特性的速度場被稱為是“平滑”的，也就是說，當你從一個點移動到下一個點時，速度場的值會連續平滑地變化，而不是快速變化。

但在Elgindi對流體的描述中情況卻不是這樣，他的數據中的渦量變化更大。雖然看起來Elgindi的簡化似乎與現實的流體行為偏離太多，但與許多其他數學家為研究歐拉公式所做過的簡化相比，這已經是非常溫和的設定。最終，Elgindi證明了在這些簡化過的情況下，歐拉方程已經開始產生非常意外的結果。

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極值出現

在Elgindi的證明中，他設定的流體是沒有邊界的，就像是在空間漂浮的一個點。現在，我們用水箱中的水為例來理解他的證明。想象在水箱的兩端有兩個厚厚的水環，它們就像漩渦一樣在流體的主體內形成有組織的擾動。這種現象在自然界中確實存在。

現在，假設這兩個環朝著相對的方向移動。在前進的過程中，歐拉方程正常運行，計算出流體在每個時刻的速度場。但當環越靠越近時，方程就開始出現一些異常值。方程計算出的結果顯示，當兩個環越靠越近時，它們就以越來越大的強度相互吸引，導致環的中央被拉長了，看起來更像一對漏斗。隨著它們的中心越靠越近，它們的速度也越來越快，最終相撞。

觀察相撞時的速度場，就能看到從未在歐拉方程的假設情況下所看到的東西——奇點。Elgindi證明了歐拉方程在相撞的點能計算出無窮大的渦量。

Elgindi的結果完全改變了數學家看待歐拉方程的方式。在此之前，數學家從來沒有證明過，在沒有邊界的情況下，歐拉方程只在短時間內有效，而不是永遠有效。在這場漫長的尋找歐拉方程中的“弱點”的拉鋸戰中，終于有一位數學家作出了突破。

參考來源：

https://www.quantamagazine.org/mathematician-makes-euler-equations-blow-up-20191218/

https://arxiv.org/abs/1904.04795

https://arxiv.org/abs/1910.14071

編輯?∑Gemini

來源：數學加油吧

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總結

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