數(shù)學里也能耍流氓

本文作者：matrix67

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數(shù)學一向以嚴謹?shù)乃季S著稱，每一步推理都需要嚴格的理由。但在數(shù)學歷史中，漏洞百出的數(shù)學推理也頻頻出現(xiàn)。有趣的是，即使是這些不嚴格的思路也充滿著智慧，在數(shù)學中的地位不亞于那些偉大的證明。今天，果殼死理性派會用幾個經(jīng)典例子告訴你，在數(shù)學里也是可以耍流氓的

”

邏輯中的那些流氓

耍流氓是各種數(shù)學悖論的來源。你能想一個命題，使得它和它的否定形式同時成立嗎？令人難以置信的是，這樣的命題真的存在。“這句話是七字句”就是這樣一種奇怪的命題。它的否定形式是“這句話不是七字句”，同樣是成立的。

你肯定會大叫“賴皮”，命題的真假與這個命題本身的形式有關(guān)，這樣的命題算數(shù)學命題嗎？沒錯，這些涉及到自己的命題都叫做“自我指涉命題”，它們的出現(xiàn)會引發(fā)很多令人頭疼的問題。從說謊者悖論（Liar paradox）到羅素悖論（Russell's paradox），各種邏輯悖論的產(chǎn)生根源幾乎都是自我指涉。數(shù)理邏輯中的流氓遍地都是，它們直接引發(fā)了數(shù)學史上的第三次數(shù)學危機。

歐拉的流氓證明法

在數(shù)學史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數(shù)學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經(jīng)仔細研究過所有完全平方數(shù)的倒數(shù)和的極限值，并且給出了一個漂亮的解答：

這是一個出人意料的答案，圓周率 π 毫無征兆地出現(xiàn)在了與幾何完全沒有關(guān)系的場合中。歐拉的證明另辟蹊徑，采用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據(jù)方程 sin(x)/x = 0 的解，對 sin(x)/x 的級數(shù)展開進行因式分解，再利用對比系數(shù)的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用于有限多項式，在當時的數(shù)學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數(shù)上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結(jié)果。歐拉大師耍了一個漂亮的流氓。

最經(jīng)典的“無字證明”

一些定理的直觀理解雖然毫無邏輯可言，完全算不上是數(shù)學證明，但這些精巧而歡樂的視角，依然讓數(shù)學家們?nèi)绨V如醉。

1989 年的《美國數(shù)學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數(shù)學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現(xiàn)在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤后，你所使用的每種菱形數(shù)量一定相同。

文章末尾提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形涂上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側(cè)、右側(cè)、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數(shù)目顯然應(yīng)該相等。

嚴格地說，這個本來不算數(shù)學證明的。但它把一個純組合數(shù)學問題和立體空間圖形結(jié)合在了一起，實在讓人拍案叫絕。因此，這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數(shù)學家們的喜愛。《最迷人的數(shù)學趣題——一位數(shù)學名家精彩的趣題珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一書的封皮上就赫然印著這個經(jīng)典圖形。在數(shù)學中，類似的流氓證明數(shù)不勝數(shù)，不過上面這個可能算是最經(jīng)典的了。

《最迷人的數(shù)學趣題——一位數(shù)學名家精彩的趣題珍集》的封面

旋輪線的面積

旋輪線 ?圖片來源：Wikipedia

車輪在地上旋轉(zhuǎn)一圈的過程中，車輪圓周上的某一點劃過的曲線就叫做“旋輪線”。在數(shù)學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優(yōu)美的性質(zhì)。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。這個結(jié)論最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）發(fā)現(xiàn)的。不過，在沒有微積分的時代，計算曲線下方的面積幾乎是一件不可能完成的任務(wù)。伽利略是如何求出旋輪線下方的面積的呢？

他的方法簡單得實在是出人意料：它在金屬板上切出旋輪線的形狀，拿到秤上稱了稱，發(fā)現(xiàn)重量正好是對應(yīng)的圓形金屬片的三倍。

在試遍了各種數(shù)學方法卻都以失敗告終之后，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。用物理實驗解決數(shù)學問題也不是一件稀罕事了，廣義費馬點（generalized Fermat point）問題就能用一套并不復(fù)雜的力學系統(tǒng)解出，施泰納問題（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜實驗瞬間秒殺。

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總結(jié)

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