【注：狹相=狹義相對論，廣相=廣義相對論】

從純數的觀點看，廣相是切叢聯絡的動力學，規范場論是纖維叢聯絡的動力學。二者都是(不同)纖維叢上的某種聯絡幾何。而這種聯絡結構的出現恰是對理論作出規范不變要求的結果。

Yang-Mills方程和Riemann曲率張量的相似性

規范場纖維叢對應關系字典 (Wu-Yang Dictionary)

從物理的觀點看，規范不變的源頭之一是理論力學里的諾特定理：拉氏量的每一個全域連續對稱(李群)對應一個物理守恒量。若時空每個位置的場在相同的變換下保持物理方程的數學形式不變(協變)，那我們就能得到一個對應的守恒定律。具體來講，比如能量守恒，對應的就是時間平移對稱；線性動量守恒，就是空間平移對稱；角動量守恒，就是空間旋轉對稱。現把全域不變推廣成局域不變，即要求時空每點在不同變換下保持物理方程的數學形式不變(協變)，我們就得到所謂規范不變。具體到規范場論，這里規范群(由保范緊李群刻畫)作用的是各種內秉空間SU(N)。以EM為例，這里內秉空間由U(1)群描述。現對內秉空間作轉動，若要求全域在相同轉動之下保持物理定律數學形式不變，那就得到U(1)群的力荷守恒；若要求全域在不同轉動之下保持物理定律數學形式不變，即規范不變，那就可以得到電磁場作用量，從而得到一整套電動力學。

具體到廣相，這里廣義坐標變換群(由非緊李群-微分同胚群刻畫)作用的是時空流形每點的切空間。若要求全域在相同坐標群作用下保持物理不變，就得到狹相(廣相的特例)的閔可夫斯基幾何；若要求全域在不同坐標群作用下保持物理不變(廣義協變)，即規范不變，就得到廣相里由愛因斯坦方程描述的彎曲時空幾何。由此可見，規范不變原理是對物理定律一類相當強的約束條件。這類約束基本上決定了規范玻色子場/引力場的物理行為。這也正是楊振寧70年代提出所謂(規范)對稱支配相互作用的精神所在。

然而值得注意的是，廣相和規范場論的兩套框架體系并不能融合。后者纖維叢的底流形是前者，這兩者基本算是風馬牛不相及的。細致點說，廣相探討的是外部對稱，而規范場論是內部對稱。我們自然可以硬把外部對稱當內部對稱來做(不反過來做的原因是規范場量子化我們知道如何處理，比如把規范場的經典作用量丟去費曼路徑積分的指數位置或者把經典泊松括號替換成量子泊松括號)，即得到所謂局域龐加萊規范場論。該理論六七十年代就有人研究過，但并沒什么好的發展。

另一條路是采用高維時空緊致化，這也是超弦理論的基本思想。Kaluza-Klein理論(超引力)就是該思想的源頭：5維真空時空的愛因斯坦方程緊致化掉第5維后得到的理論自動包括4維引力和麥克斯韋方程(存在于被緊致化的蜷縮維中，而緊致化基本可視為將外部維度縮到纖維中，從而將纖維，底流形，內外部對稱聯系在一起)。進一步可以將維度推廣成11維，其中4個廣延維容納了廣相，7個蜷縮維容納了標準模型的規范場論。然而不幸的是，這樣算出來的荷質比不對。

再另一方面，一些數學手段可以用來統一內外部對稱，比如大名鼎鼎的超對稱。它不但可以結合內外部對稱，還建立了費米子和玻色子間的對應關系：費米子經由超對稱作用變成玻色子，反之亦然。且超對稱作用下量子場論的重整化與發散問題都可以得到明顯的緩解。只不過現在的問題是：超對稱的正確性還未被實驗證實。

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編輯: Gemini????

來源：知乎

作者：VIC

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