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相對它的唯一競爭者??來說，??就像是初來乍到的。?由于其可追溯到巴比倫時期的輝煌歷史而顯得更具威嚴，而??卻沒有什么值得稱道的歷史為其添彩。常數??是年輕而充滿生機的，當涉及“增長”時，它就會出現。無論是人口、金錢或其他的自然數量，它們的增長總是不可避免地會涉及??。

?是一個近似值為??的數。那么它為什么這么特別呢？它并不是一個隨機產生的數，而是數學中最偉大的常數之一。它萌發于 17 世紀早期，那時，幾個數學家正致力于如何闡明對數的思想，這個偉大的發明使得大數之間的乘法可以轉換為加法。

但是，故事真正開始于 17 世紀。當時，瑞士的伯努利家族像個生產數學家的工廠，涌現了一批杰出的數學家，而雅各布 ·伯努利正是這個家族的一員。1683 年，雅各布開始研究復利的問題。

金錢，金錢，金錢

假設我們考慮??年定期存款，利率為?，初始存款（稱為本金）為￡。當然我們幾乎不可能得到??這么高的利息，這個數字僅僅是為了便于計算，我們完全可以將其推廣到真實的利率，例如??或??。同理，如果我們假定本金為￡?的話，那么計算過程中的所有數字都要乘以?倍。

在第一年結束后，按??的利率來算，我們現在擁有了本金以及相應的利率￡。也就是說，現在的總額高達￡。現在我們假設將利率降低到?，但是每半年單獨結算一次。在前半年結束后，我們得到了??便士的利息，總額增加到￡?。所以，在全年結束時，我們將以這個基數計算利率，共得到??便士的利息。一年結束后，我們最初的存款￡?增長到了￡?！通過每半年計算一次復利，我們得到了額外??便士的利息。雖然這看起來很少，但是如果我們投資了￡的本金，我們最后得到的將是￡，而不是￡。通過半年復利的計算方法，我們得到了額外的￡。

但是，如果每半年計算一次復利可以使我們的本金獲得更多的利息，銀行也同樣可以從我們欠銀行的債務上獲得更多的利息，所以我們一定要小心！現在假設將一年劃分為??個季度，每個季度的利率為??。經過類似的計算，我們發現本金￡?增加到了￡。我們的錢在增加，對于￡?的本金來說，如果能進一步減小計算利息的周期和利率，我們將能獲得更多的利息。

我們的錢會無限增長下去，并使我們變為百萬富翁嗎？如果我們將一年時間繼續劃分為越來越短的周期，這個“極限過程”最終將使本息和停留在某一個常數上，如下表所示。當然，現實中計算復利的最短周期是每天（銀行正是這么做的）。這個過程的數學結論是，這個極限值（數學家稱之為e ）是將復利的計算變得連續發生時，￡?的本金最后所獲得的本息和。這是個好消息還是壞消息呢？你應該知道答案：如果你是在存款，那么它是好消息；如果你欠銀行錢，它就是壞消息。這是一個“?學習”的問題。

e的精確值

和??一樣，??也是一個無理數，因此，我們也無法知道它的精確數值。將?擴展到小數點后??位的結果是?

如果僅僅使用分數，并且限定分母和分子都是??位數的話，?的最佳近似是??。有趣的是，如果將分母和分子限定到??位數，則最佳近似是??。第二個分數恰好為第一個分數的一個回文展開：一一一數學總是習慣于給我們奉上一些小的驚喜。關于??的一個著名的展開序列為：

上式中的階乘用感嘆號來表示更方便一些。例如，。根據這種表示法，??可以表示為我們更熟悉的形式

因此，數字??看起來應該有一定的模式。從數學性質來說，??比??更加“對稱”。

如果你想知道一種記住??的前幾位數字的方法，嘗試一下這個：“Weattempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count...”，每個單詞中的字母個數依次代表??中小數點后面的數字。如果你熟悉美國的歷史，應該將??記為“?Andrew Jackson Andrew Jackson”，因為安德魯 ·杰克遜（外號“老山胡桃”）是在??年當選為美國第??任總統的。有很多幫助記憶??的方法，它們的趣味在于它們所涉及的離奇事物，而并非在數學上有過人之處。

歐拉在 1737 年證明了??是無理數（而不是分數）。1840 年，法國數學家劉維爾證明了??不是**任何**??次方程的解，而在 1873 年，他的同胞埃爾米特，開創性地證明了??是超越的（不是任何代數方程的解）。這里重要的是埃爾米特所使用的方法。?年之后，林德曼沿用埃爾米特的方法證明了?是超越的，而這個問題顯得更惹人注目。

舊的問題剛剛解決，新的問題又會接踵而來。?的??次冪也是超越的嗎？這個表述顯得如此怪誕，但是還能有什么更好的表述呢？它至今仍未被嚴謹地證明，按照數學的嚴格標準，它仍應算作猜想。數學家們的證明已經很接近了，證明出了它和??的??次冪不可能同時都是超越的。接近了，但是還不夠接近！

?和??之間的關系非常令人著迷！??和??的值非常接近，但是我們很容易證明?（無需精確計算它們的數值）。如果使用計算器算一下，你會發現它們的近似值為??。

e很重要嗎

?主要出現在涉及增長的地方。比如說經濟增長和人口增長。與其相關的還有用??決定曲線來描述放射性衰變。

數字??也出現在與增長無關的地方。蒙特莫特（Pierre Montmort）在18世紀研究了一個概率問題，隨后對該問題的研究推廣開來。簡單地說，一群人去吃午飯，吃完后要離開時隨機拿起一頂帽子。那么沒有人拿到自己帽子的概率為多大？

可以證明這個概率是?（大約?），所以至少有一個人拿到了他自己帽子的概率為?（?）。這只是它在概率論中諸多應用中的一個。用于描述小概率事件的泊松分布是另一個例子。這些都是較早的應用，但還不只這些。詹姆士·斯特林利用??和??得到了一個對階乘??的著名近似：在統計學中，正態分布的“鐘形曲線”涉及?：在工程學中，懸索橋纜索的曲線取決于??。如此列舉下去的清單是無窮無盡的。

一個驚世駭俗的恒等式

數學中最吸引人眼球的等式也涉及??。當我們思考數學中的著名數字時，我們會想到??以及虛數??。下面的式子真的成立嗎？

成立：這個結果要歸功于歐拉。

也許，??的重要性就在于它的神秘吸引和魅惑了一代代的數學家。總而言之，??是無可替代的。不知為何作家E.V. 懷特（或許他還有一個筆名）要花費那么多力氣完成了一部不含字母??的小說，他的《蓋茨比》（Gadspy）確實就是一部這樣的小說。很難想象一個數學家想要或是有能力寫這樣一本沒有??的教科書。

來源：圖靈新知

—?THE END —

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總結

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