莉薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）

圖片來源：Ian MacLellan for Quanta Magazine

當代最偉大的數(shù)學家之一約翰·霍頓·康威（John Horton Conway）于今年4月11日在普林斯頓逝世。就像其他一些偉大的數(shù)學家，他也留下了著名的難題。他在半個多世紀前發(fā)現(xiàn)的康威扭結(jié)引發(fā)的一個拓撲學難題——康威扭結(jié)是否為更高維結(jié)構(gòu)的切片——就難道了無數(shù)數(shù)學家。但最近，這個難題卻被一位博士生用一周的業(yè)余時間解決了。

康威扭結(jié)的切片問題，困擾了數(shù)學家?guī)资甑臅r間，卻在莉薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）的證明下迎刃而解。皮奇里洛是如何做到的？這還要從2018年說起。

那年夏天，她在一個低緯度拓撲學和幾何學會議上，了解到這一有趣的數(shù)學問題。當時，皮奇里洛還沒有意識到這是一個著名的難題，只是認為它或許能用來測試她在得克薩斯大學讀研究生時開發(fā)的工具。

皮奇里洛表示：“我并沒有用白天的工作時間去解決這個問題，也沒有把它看作真正的數(shù)學問題，更像是把它當作家庭作業(yè)?！?/p>

在一周之內(nèi)，皮奇里洛就得到了個答案：康威扭結(jié)不是高維空間扭結(jié)的切片(slice)。數(shù)天后，她遇到了得克薩斯大學奧斯汀分校的教授卡梅倫·戈登（Cameron Gordon），并簡單地提及了她的解決方法。戈登回憶說：“當時我說，‘什么？.....那你應該立刻把論文發(fā)到《數(shù)學年刊》?！边@是數(shù)學領域的頂級期刊之一。

現(xiàn)在，皮奇里洛已是布蘭迪斯大學的博士后，她回憶起當時的場景：“他開始叫嚷道，‘為什么你一點也不興奮？’他有點興奮過頭?！钡甑钦f：“我想說她并沒有意識到這是一個多么古老、經(jīng)典的難題?！?/p>

今年2月，《數(shù)學年刊》發(fā)表了皮奇里洛的證明。僅在完成博士學位僅僅一年后，皮奇里洛通過這篇論文和其他研究工作，獲得了麻省理工學院的終生教職。

四維空間中的扭結(jié)理論

說到扭結(jié)，大多數(shù)人會想到在一根有兩端的繩子上打的結(jié)，而數(shù)學家考慮的則是繩子的兩頭連在一起的情況，這時扭結(jié)就無法解開了。在過去的一個世紀里，這些扭結(jié)已經(jīng)幫助科學家解釋了從量子物理學到DNA結(jié)構(gòu)，以及三維空間的拓撲結(jié)構(gòu)等一系列問題。

如果將時間算在內(nèi)，我們的世界是四維的。因此，我們很自然地會想到一個問題：四維空間里是否存在相應的扭結(jié)理論？這不僅僅是將三維空間里的扭結(jié)放在四維空間里這么簡單，還需要解決的一個問題是，在四維空間中，如果繩結(jié)在第四個維度上相遇，這時扭結(jié)就會解開。

最早在20世紀20年代，數(shù)學家就建立了這一理論：為了在四維空間制造一個扭結(jié)，你需要一個二維的球面，而不是一個一維的環(huán)。正如三維空間能為構(gòu)建打結(jié)的環(huán)提供足夠的空間，但不足以讓扭結(jié)解開，四維空間中，打結(jié)的球面也是如此。

四維空間中打結(jié)的球面是什么樣的？要想象這樣的畫面似乎很難，為了幫助我們理解，讓我們首先考慮三維空間中的普通球面。穿過這個球面，你將看到一個沒有打結(jié)的環(huán)。但當你在四維空間穿過一個打結(jié)的球面時，你看到的可能是一個打結(jié)的環(huán)。（根據(jù)切割的位點，你還可能看到一個未打結(jié)的環(huán)，或幾個連接在一起的環(huán)）穿過打結(jié)的球面制造出來的扭結(jié)，就被認為是“切片”（slice）。另一些扭結(jié)不屬于切片，例如三葉結(jié)。切片扭結(jié)成為連接三維空間和四維空間中扭結(jié)理論的橋梁。

但是，一個特征讓四維空間中的扭結(jié)具有豐富性和獨特性。在四維拓撲學中，存在兩種不同的切片扭結(jié)。在20世紀80年代早期，隨著一系列革命性理論的發(fā)展，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)四維空間不僅含有最初發(fā)現(xiàn)的光滑球面，也包括含有各種皺褶的非光滑球面。而扭結(jié)是否是切片還取決于，是否選擇包含這些皺褶的球面。萊斯大學的謝利·哈維（Shelly Harvey）說：“有一些特別奇怪的物體，就像是由魔法產(chǎn)生的。”

這些奇怪的球面并不是四維拓撲學的bug，而是一種重要特征。這些扭結(jié)是“拓撲的切片”而不是“光滑的切片”，這也意味著它們是一些褶皺球面的切片。這也讓數(shù)學家建立了普通四維空間的特殊版本。從拓撲學的角度來看，它們看上去和普通的空間相同，但不可避免地存在皺褶。這些奇異空間的存在，能將第4個維度與其他的維度分開。

數(shù)十年的難題

20世紀50年代，約翰·康威在青少年時，就對扭結(jié)產(chǎn)生了興趣。他采用一種簡單的方法，列出了全部含有11個交叉的扭結(jié)（在此之前，數(shù)學家還只能完整地列出含有10個交叉的扭結(jié)）。在這些扭結(jié)中，有一個十分突出。波士頓大學的喬舒亞·格林（Joshua Greene）說：“我認為康威當時就意識到了這一扭結(jié)的特殊之處?！?/p>

而這一扭結(jié)引發(fā)的難題——康威扭結(jié)是否為更高維扭結(jié)的切片，困擾了數(shù)學家長達數(shù)十年的時間?！扒衅笔桥そY(jié)理論學家針對高維空間中的扭結(jié)，首先自然想到的多個問題之一。

格林表示，切片問題并不是這些奇怪的四維空間的“最低維度的探測器”。近些年來，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了多種屬于拓撲切片，而不是光滑切片的扭結(jié)。數(shù)學家已經(jīng)證實了幾乎所有含有不超過12個交叉的扭結(jié)的切片狀態(tài)，但唯一的例外，就是康威扭結(jié)。

當康威扭結(jié)作為一種拓撲切片扭結(jié)而為人熟知時，20世紀80年代的數(shù)學家意識到，這一結(jié)構(gòu)中蘊含著一些革命性的發(fā)現(xiàn)。他們無法計算出這種切片扭結(jié)是不是光滑的，但他們的推測答案是否定的，因為這一扭結(jié)缺乏傳統(tǒng)的光滑扭結(jié)均具有的“ribbonness”結(jié)構(gòu)。但問題并沒有這么簡單，它的另一個特征卻令數(shù)學家無法證實它不是光滑的切片扭結(jié)。

康威扭結(jié)還有一系列的變體。如果你在紙上畫一個康威扭結(jié)，剪下其中特定的一部分再將其翻轉(zhuǎn)，然后將斷開的結(jié)點相連，你將會得到另一種很有名的扭結(jié)——Kinoshita-Terasaka扭結(jié)。

康威扭結(jié)和Kinoshita-Terasaka扭結(jié)互為變體結(jié)構(gòu)。這也意味著，你能夠通過翻轉(zhuǎn)紅色矩形框中的部分扭結(jié)，實現(xiàn)兩者的轉(zhuǎn)化。

但問題是，這種新的扭結(jié)恰好為一種光滑的切片。盡管康威扭結(jié)如此接近一個光滑的切片扭結(jié)，但它幾乎躲開了所有數(shù)學家用來檢測費光滑扭結(jié)的工具（扭結(jié)不變量）。皮奇里洛表示，康威扭結(jié)就像是同時位于這些多個扭結(jié)不變量的盲區(qū)。

楊百翰大學的數(shù)學家馬克·休斯（Mark Hughes）創(chuàng)造了一個類似神經(jīng)系統(tǒng)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，利用扭結(jié)不變量和其他信息，預測扭結(jié)的切片等特征。對于大多數(shù)扭結(jié)，這一結(jié)構(gòu)均能做出清晰的預測，但它對康威結(jié)構(gòu)的判斷是：屬于光滑的切片結(jié)構(gòu)的概率是50%。印第安納大學榮譽教授查爾斯·利文斯頓（Charles Livingston）說：“很長時間以來，它都是我們無法解決的扭結(jié)。”

“有點古老”的解決方法

皮奇里洛喜歡扭結(jié)理論賦予的視覺直覺，但她并不認為自己是個扭結(jié)理論學家。她說：“我對三維和四維的形狀具有很大的興趣。由于這些形狀的研究與扭結(jié)理論緊密相連，所以我也做了一些相關研究?！?/p>

皮奇里洛遇到康威扭結(jié)的切片問題時，她正在考慮除變體之外，如何通過另一種形式將兩個扭結(jié)聯(lián)系起來。每個扭結(jié)都有一個相關聯(lián)的四維形狀，稱作扭結(jié)的跡（trace），它是將扭結(jié)放置在四維球面的邊界上，順著扭結(jié)的位置得到的結(jié)構(gòu)。

不同的扭結(jié)能擁有相同的四維跡，當數(shù)學家了解這些扭結(jié)的跡時，他們可以推測它們具有相同的切片狀態(tài)——要么都是切片，要么都不是。但皮奇里洛和萊斯大學的博士后艾利森·米勒（Allison Miller）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，對于所有用于研究切片的扭結(jié)不變量，這些相似的跡并不需要看起來一樣。

受此啟發(fā)，皮奇里洛想出了一個策略，來證實康威扭結(jié)并不是切片。如果她能構(gòu)建一個與康威扭結(jié)構(gòu)的跡相似的跡，相比于康威扭結(jié)，這一跡或能與一個切片不變量更相符。

皮奇里洛想設計了一種和康威扭結(jié)具有相同“跡”的扭結(jié)，并利用這個新扭結(jié)證實了康威扭結(jié)不平滑。

構(gòu)建相近的跡是一項棘手的工作，但皮奇里洛是這方面的專家?！斑@就像我正在從事的工作，”她說，“所以我回家立即開始進行這項研究?！?/p>

皮奇里洛成功構(gòu)建出一個復雜的扭結(jié)，它具有類似康威扭結(jié)的跡。而這一扭結(jié)已經(jīng)被Rasmussen不變量證實，是一個非切片扭結(jié)。因此，皮奇里洛證實康威扭結(jié)也不是切片扭結(jié)。

“這是一個非常優(yōu)美的證明。之前數(shù)學家很少認為皮奇里洛構(gòu)建的扭結(jié)，能通過 Rasmussen不變量證實，”戈登說，“因此，這一結(jié)果確實有點讓人驚訝?！?/p>

格林說，扭結(jié)跡作為一種經(jīng)典的工具，已使用了數(shù)十年的時間，但皮奇里洛無疑比其他人更了解這種工具。她的研究工作顯示，拓撲學家對扭結(jié)跡還有待進一步研究。他說：“她選擇了已被科學家棄置了一段時間的工具，但現(xiàn)在其他人已經(jīng)在跟隨這種研究方式了。”

原文鏈接：

https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/

編輯?∑Gemini

來源：環(huán)球科學

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總結(jié)

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